Тема 8. Системы взаимозависимых эконометрических моделей

8.1. Особенности систем взаимозависимьех моделей

При формировании и построении эконометрических моделей в преды­дущих разделах предполагалось, что между независимыми переменными и зависимой переменной в каждый момент времени сущест­вует только односторонняя прямая связь: В такой си­туации зависимая переменная не оказывала никакого влияния на пере­менные, входившие в правую часть модели.

Это не означает, что переменные ,, характеризовались как абсолютно независимые. Однако предопределяющие их значения причи­ны, факторы не находились под воздействием явления, отражаемого пе­ременной .

Таким образом, в тенденциях развития переменных х_и и у, просматри­валась как бы строгая очередность. Сначала в момент (период) t возника­ли явления, выражаемые независимыми в модели переменными х„, а за­тем под их влиянием формировалось явление, которое выражалось пере­менной .

В реальной жизни многие экономические и социальные явления разви­ваются, воздействуя друг на друга одновременно, так что в единичный период времени, обозначаемый индексом t, невозможно установить, ка­кое из этих явлений первично, а какое вторично. В качестве типичного примера такой взаимосвязи обычно называют соотношение между спро­сом и предложением, характеризующееся в единичном интервале време­ни взаимным влиянием друг на друга цены и объема производства (по­требления) товара при участии некоторого количества других факторов, которые можно считать независимыми. Простейший (и достаточно ус­ловный) вариант эконометрической модели, описывающей динамику этих переменных на равновесном рынке, можно представить в виде следующей системы, состоящей из двух уравнений:

(8.1)

где средняя цена за единицу товара, зафиксированная на рынке в период t; объем производства (предложения) в период t; средний уровень дохода потребителя в период t; и коэффициен­ты первого и второго уравнений соответственно; и ошибки перво­го и второго уравнений соответственно.

Первое уравнение системы (8.1) показывает, что объем производства товара в период t зависит от сложившейся на него на рынке цены. Во втором уравнении уже уровень цены на товар ставится в зависимость от объема его предложения и дохода потребителей, величина которого в этой системе предполагается известной. Таким образом, переменная , в системе (8.1) является единственной чисто независимой переменной, а переменные и являются взаимозависимыми, т.е. в одном уравне­нии одна переменная рассматривается как зависимая, а другая - высту­пает в качестве независимой. Во втором уравнении они меняются мес­тами.

Вообще говоря, «одновременность влияния» различных переменных друг на друга в большинстве случаев можно рассматривать как одно из допущений модели, целесообразность введения, которого вызывается, на­пример, укрупнением временного интервала t. В реальности вряд ли можно обнаружить рынок, на котором равновесные цены и объемы това­ров формировались бы одновременно. Обычно эти показатели изменяют­ся в ходе работы рынка на основе попеременной корректировки одного из них с учетом известного значения другого. Производитель, реагируя на рыночные цены, выпускает определенное количество товара (продавец закупает товар у оптовика). С учетом нового объема предложения и по­купательской способности населения на рынке формируется новая цена (корректируется цена на товар). Такая очередность во взаимовлиянии предложения товара и его цены относительно непродолжительный пери­од времени соответствует несколько другой модификации системы эко­нометрических уравнений, имеющей следующий вид:

(8.2)

в которой взаимосвязи между взаимозависимыми переменными выража­ются следующей последовательностью:

В системе (8.2) одновременные взаимосвязи между переменными и отсутствуют. Однако если периоды будут укрупнены (например, дневные в недельные, месячные в квартальные и т.п.), то в рамках укруп­ненного периода уже возникают одновременные взаимосвязи между пе­ременными и . Использование в данной ситуации в качестве объяс­няющей переменной значения становится нецелесообразным, по­скольку реакции покупателя и продавца проявляются уже в рамках одно­го и того же периода. В этом случае взаимосвязи между переменными и уже определяются системой (8.1). При этом, например, может рассматриваться как средняя цена за этот укрупненный период, а как объем продаж (предложения). Разумеется, что при определении длины укрупненного периода большое значение имеет вид товара. Для товаров повседневного спроса уже неделю можно рассматривать в качестве тако­го периода, а для некоторых средств производства и годовой продолжи­тельности может быть недостаточно.

В отношении ошибок системы (8.1) и выдвинем традиционные предположения об отсутствии в ряду каждой из них явлений гетероскедастичности и автокорреляции:

В целях упрощения предварительных рассуждений предположим так­же, что временные ряды ошибок и статистически независимы, т.е. .

Посмотрим, сохраняется ли для системы (8.1) условие (2.23), выпол­нение которого позволяет получить несмещенные оценки коэффициентов модели с использованием МНК.

Подставим во второе уравнение системы (8.1) значение , выражен­ное через . Получим

откуда следует, что

где коэффициенты новой модели и новая случайная ошибка, являющаяся линейной комбинацией независимых ошибок и. В силу условия (8.3) несложно убедиться, что

Из выражения (8.4) следует, что в общем случае на зависимую пере­менную воздействует случайная ошибка , в которую входит ошибка первого уравнения . Таким образом, переменные и нельзя считать независимыми и

(8.5)

Иными словами, входящие в первое уравнение независимая перемен­ная и ошибка оказываются коррелированными, а следовательно, и прямое использование МНК для получения оценок коэффициентов этого уравне­ния даст смещенные результаты. При этом из выражения (8.5) следует, что это смещение не может быть устранено увеличением объема выборки, поскольку при всех значенияхТ. Напомним, что величину смещения оценок а₀ и щ, согласно выражению (2.9), можно оценить как

Оценки со смещением, не устраняемым увеличением объема выборки, называют несостоятельными. Если такие оценки получены с использо­ванием МНК, то часто употребляется термин «несостоятельный МНК».

Аналогично можно показать, что во втором уравнении системы (8.1) переменная связана с ошибкой и применением обычного МНК и в этом случае ведет к смещенным оценкам параметров .

Заметим далее, что, вообще говоря, уравнения системы (8.1) могли бы быть рассмотрены и по отдельности. Однако это не будет озна­чать, что взаимосвязи между переменными, входящими в их правые час­ти, и соответствующими ошибками исчезли. Эти взаимосвязи сущест­вуют вне зависимости от того, объединяются ли данные уравнения в систему. Они предопределены характером взаимоотношений в экономи­ке между рассматриваемыми процессами, а не самим объединением их в систему. Просто в системе взаимосвязи между независимыми переменными и ошибкой становятся непосредственно очевидными, поскольку они могут получить количественную оценку.

Таким образом, системы взаимозависимых эконометрических мо­делей выражают через структурную форму взаимосвязей между яв­лениями их новое содержание, характеризующееся взаимным влия­нием друг на друга некоторых зависимых и независимых перемен­ных. В этой связи следует заметить, что можно строить отдельную модель этой системы для отдельно взятой зависимой переменной, но при этом следует иметь в виду, что если она, в свою очередь, в то же время влияет на какую-либо из независимых переменных, то исполь­зование МНК для получения оценок коэффициентов этой модели да­ет смещенные результаты.

Здесь следует отметить, что корреляционные взаимосвязи между эн­догенными переменными и ошибками появляются и в том случае, когда некоторые из уравнений системы (8.1) имеют характер тождества. Рас­смотрим, например, упрощенную модель агрегированного спроса в зави­симости от величины дохода при балансовом ограничении на величину дохода:

(8.6)

где потребительские расходы в периодt, определяющие величину спроса; размер дохода в периодt; чистые инвестиции в период t; ошибка модели, удовлетворяющая свойствам типа (8.3); и ко­эффициенты модели. Заметим, что во втором уравнении системы (8.6) отсутствует ошибка, и коэффициенты при объясняющих переменных строго предопределены балансовым соотношением. Они равны едини­це.

Подставив первое уравнение из (8.6) во второе, получим

Таким образом, коэффициент ковариации между переменными и в силу условий (8.3) оказывается отличным от нуля:

Вместе с тем следует отметить, что существует класс систем взаимо­зависимых эконометрических моделей, в которых эндогенные перемен­ные и ошибки можно считать статистически независимыми. Это — так называемые «рекурсивные системы». Простейшим их примером можно считать систему (8.2).

В результате подстановки первого уравнения из (8.2) во второе полу­чим

. (8.8)

Из выражения (8.8) вытекает, что цена товара в период , опреде­ляемая вторым уравнением, зависит от ошибки первого уравнения. Одна­ко поскольку при определении коэффициентов первого уравнения из (8.2) используется не значение, а значение , которое не связано с ошиб­кой (так как ошибка формируется позже чем значение, поэтому связь между этими переменными отсутствует), то использование МНК не приводит к смещению оценок коэффи­циентов и .

С учетом этого факта коэффициенты каждой из эконометрических моделей, входящих в рекурсивную систему, могут быть оценены с ис­пользованием обычного МНК и полученные их оценки не будут сме­щенными.

Рассмотрим проблемы построения систем взаимозависимых эконо­метрических моделей более подробно, в том числе и с формальных пози­ций.