2.2. Понятие о двумерном корреляционном анализе

Для выявления взаимосвязей между двумя переменными применяется двумерный корреляционный анализ. Корреляционный анализ разработан английским статистиком К. Пирсоном.

Одним из основных показателей взаимозависимости двух случайных величин является парный коэффициент корреляции, служащий мерой линей­ной статистической зависимости между двумя величинами. Этот показатель соответствует своему прямому назначению, когда ста­тистическая связь между соответствующими признаками в генераль­ной совокупности линейна. То же самое относится к частным и множественным коэффициентам корреляции. Одним из требований, определяющих корреляционный метод, является требование линейности статистической связи, т. е. линейности всевозможных уравнений регрессии.

Парный коэффициент корреляции, характеризующий тесноту связи между случайными величинами X и Y в генеральной совокупности, определяется по фор­муле:

, (2.1)

где и математические ожидания величин и , а их среднеквадратические отклонения.

Парный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1, то есть . При этом между величинами и связь функциональная (прямая - при =+1 и обратная - при = -1). Если же = 0, то между величинами х и у линейная связь отсутствует и они называются некоррелированными.

Содержательная интерпретация коэффициента корреляции при­ведена в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Содержательная интерпретация коэффициента корреляции

Значение	Связь	Интерпретация связи
	Отсутствует	Отсутствует линейная связь между величинами и
	Прямая	С увеличением величинав среднем увеличивается и на оборот
	Обратная	С увеличением величинав среднем уменьшается и на оборот
	Функциональная	Каждому значению соответствует одно строго определенное значение величиныи на оборот

Коэффициент корреляции, определяемый (2.1), относится к ге­неральной совокупности и как всякий параметр генеральной сово­купности нам не известен. Его можно лишь оценить по результа­там выборочных наблюдений.

Выборочный парный коэффициент корреляции, найденный по вы­борке объемом п, где результатго наблюдения определяется по формуле:

(2. 2)

где ;; а выборочные среднеквадратические ошибки:

; .

В некоторых случаях выборочные среднеквадратические отклонения находят по формулам:

; , (3.3)

где

; . (2.4)

Формула (2.2) симметрична, т.е. r_ху= r_ух =r. Если в ее числителе раскрыть скобки, то после несложных преобразований получим формулу, которую широко используют при вычислении коэффи­циента корреляции.

, (2.5)

где - средняя арифметическая произведения двух величин, т. е.

. (2.6)

Выборочный коэффициент корреляции r, как всякая выбороч­ная характеристика, является случайной величиной, и по отдель­ным его значениям нельзя делать окончательные выводы о степени тесноты линейной связи между двумя величинами. Здесь речь мо­жет идти о некоторых практических, качественных рекомендациях (табл. 2.2) при достаточно больших n (n > 40).

Таблица 2. 2

Качественные характеристики связи

Значение	Связь
От 0 до От до От до От до	Практически отсутствует Слабая Умеренная Сильная

Оценка существенности линейного коэффициент корреляции при большом объеме выборки (свыше 500) проводится с использованием отношения коэффициента корреляции () к его средней квадратической ошибке :

, (2.7)

где - среднеквадратическая ошибка коэффициента корреляции, рассчитываемая по формуле:

. (2.8)

Примечание. называют расчетным коэффициентом распределения Стьюдента.

Если это отношение окажется больше значения t – критерия Стьюдента, определяемого по специальным таблицам теории вероятностей, то коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.

При недостаточном большом объеме выборки величину средней квадратической ошибки коэффициента корреляции определяют по формуле:

. (2.9)

В этом случае:

(2.10)

Полученные значения сравнивается с табличным значением t – критерия Стьюдента.

Пример 2.1. На основании выборочных данных (табл.2.3) о дея­тельности = 6 коммерческих фирм оценить тесноту связи между прибылью (млн. руб.) и затратами на 1 руб. произведенной про­дукции .

Таблица 2.3. Исходные и расчетные данные для определения r

Номер наблюдения i
1	96	0,22	21,12	9216	0,049
2	78	1,07	83,46	6084	1,145
3	77	1,00	77,00	5929	1,000
4	89	0,61	54,29	7921	0,372
5	81	0,78	63,18	6561	0,608
6	82	0,79	64,78	6724	0,624
Сумма	503	4,47	363,83	42435	3,798
Средняя	83,833	0,745	60,638	7072,5	0,633

Используем формулу (3.5): Прежде всего определимS_x и S_y: ;

Тогда

Прежде чем анализировать вычисленный коэффициент корреляции необходимо проверить его на значимость. Для этого предварительно рассчитаем среднюю квадратическую ошибку коэффициента корреляции по формуле (2.9):

.

Необходимо получить по формуле (2.10) расчетный коэффициент Стьюдента:

.

По таблице приложения №№№ найдем табличное значение критерия Стьюдента при P=0,95 и k=6-2;

Так как, то можно утверждать существенность коэффициента корреляции.

Следовательно, между прибылью () и затратами на 1 руб. про­изведенной продукции ()существует достаточно тесная обрат­ная зависимость, т.е. фирмы, имеющие большую прибыль, име­ют, как правило, меньшие затраты на 1 руб. произведенной про­дукции.