3.3. Линейная парная регрессия и оценка параметров

Линейная парная регрессия находит широкое применение в экономет­рике в виде четкой экономической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

или . (3.6)

Уравнение вида позволяет по заданным значени­ям фактора х иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора x.

Построение парной линейной регрессии сводится к оценке ее пара­метров и . Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами. Например, методом наименьших квадратов (МНК).

Согласно метода наименьших квадратов оценки параметров и выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений ре­зультативного признака (у) от расчетных (теоретических, модельных) была ми­нимальна.Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной (рис. 3.2):

, (3.7)

y

O x

Рис. 3.2. Линия регрессии с минимальной суммой квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией

Для дальнейших выводов в выражении (3.7) подставим модельное значение, т. е. и получим:

. (3.8)

Чтобы найти минимум функции (3.8), надо вычислить част­ные производные по каждому из параметров и и приравнять их к нулю:

;

.

Преобразуя эту систему, получим следующую систему нор­мальных уравнений для оценки параметров и :

. (3.9)

Матричная форма записи этой системы имеет вид:

. (3.10)

Решая систему нормальных уравнений (3.10) в матричной форме получим:

(3.11)

Алгебраическая форма решения системы (3.11) можно записать следующим образам:

После несложных преобразовании формулу (3.12) можно записать в удобной форме:

Необходимо заметить, что оценки параметров уравнения регрессии можно получить и по другим формулам, например:

(3.14)

. (3.15)

Здесь выборочный парный линейный коэффициент корреляции.

После вычисления параметров регрессии мы можем записать уравнение математической модели регрессии:

. (3.16)

Необходим заметить, что параметр показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Так, если в функции издержек (у — издержки (тыс. руб.), х — количество единиц продукции). То, следовательно, с увеличением объема продукции (х) на 1 ед. издержки производства возрастают в среднем на 2 тыс. руб., т. е. дополнительный прирост продукции на 1 ед. потребует увеличения затрат в среднем на 2 тыс. руб.

Возможность четкой экономической интерпретации коэф­фициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследова­ниях.

Формально — значение у при х = 0. Если признак-фактор не имеет и не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного члена не имеет смысла. Параметр может не иметь экономического содержания. Попытки экономически интерпретировать параметр могут привести к абсурду, особен­но при < 0.

Пример 3.2. Предположим по группе предприятий, выпускающих один и тот же вид продукции, рассматривается функция издержек: . Информация, необходимая для расчета оценок параметров и , представлена в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Расчетная таблица

№ предприятия	Выпуск продукции, тыс. ед. ()	Затраты на производство, млн руб. ()
1	1	30	30	1	900	31,1
2	2	70	140	4	4900	67,9
3	4	150	600	16	22500	141,6
4	3	100	300	9	10000	104,7
5	5	170	850	25	28900	178,4
6	3	100	300	9	10000	104,7
7	4	150	600	16	22500	141,6
Итого	22	770	2820	80	99700	770,0

Система нормальных уравнений будет иметь вид:

.

Решение этой системы по формуле (4.13) дает результат:

Запишем модель уравнения регрессии (4.16):

.

Подставив в уравнение значения x, найдем теоретические (модельные) значения у, (см. последнюю графу табл. 3.1).

В данном случае величина параметра не имеет экономичес­кого смысла.

В рассматриваемом примере имеем:

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесно­ты связи. При использовании линейной регрессии в качестве та­кого показателя выступает линейный коэффициент корреляции . Существуют разные модификации формулы линейного коэф­фициента корреляции. Некоторые из них приведены ниже:

Как известно, линейный коэффициент корреляции находит­ся в границах: .

Если коэффициент регрессии , то, и, наобо­рот, при, .

По данным табл. 4.1 величина линейного коэффициента кор­реляции составила 0,993, что достаточно близко к 1 и означает наличие очень тесной зависимости затрат на производство от ве­личины объема выпущенной продукции.

Следует иметь в виду, что величина линейного коэффициента корреляции оценивает тесноту связи рассматриваемых признаков в ее линейной форме. Поэтому близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает от­сутствие связи между признаками. При иной спецификации мо­дели связь между признаками может оказаться достаточно тесной.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчиты­вается квадрат линейного коэффициента корреляции , назы­ваемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детермина­ции характеризует долю дисперсии результативного признака у, объяснимую регрессией, в общей дисперсии результативного признака.

Соответственно величина характеризует долю дисперсии вызванную влиянием остальных не учтенных в модели факторов.

В нашем примере . Следовательно, уравнением регрессии объясняется 98,6% дисперсии результативного признака,а на долю прочих факторов приходится лишь 1,4% ее дисперсии (т. е. остаточная дисперсия). Величина коэффициента детерминации служит одним из критериев оценки качества линейной модели. Чем больше доля объясненной вариации, тем соответственно меньше роль прочих факторов, и, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные и ею можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака. Так, полагая, что объем продукции предприятия может составить 6 тыс. ед., прогнозное значение для издержек производства ока­жется 221,01 тыс. руб.