- •Розділ 1 Постановка контактних задач і їх математична формалізація
- •1.1. Математична формалізація контактних задач
- •Розділ 2 основні рівняння плоскої задачі теорії пружності для масивних циліндричних тіл
- •2.1. Ізотропна пластинка з криволінійним отвором
- •2.2. Круглий ізотропний диск
- •2.3. Граничні умови контактних задач для нескінченної пластинки з криволінійним отвором і жорсткого диска
- •Розділ 3 взаємодія жорсткого диска з криволінійним отвором нескінченної пластинки при їх повному контакті
- •3.1. Передача моментного навантаження від жорсткого диска до нескінченної пластинки з криволінійним отвором
- •3.2. Передача силового навантаження від жорсткого диска до криволінійного отвору нескінченної пластинки.
- •Розділ 4 неповний контакт жорсткого диска з криволінійним отвором нескінченної пластинки
- •4.1. Передача моментного навантаження до нескінченної пластинки з криволінійним отвором
- •4.2. Передача силового навантаження до нескінченної пластинки з криволінійним отвором.
- •Розділ 5 контактна взаємодія нескінченної пластинки з криволінійним отвором і двозв’язних штампів з кутовими точками
- •5.1. Односторонній контакт двозв’язного штампа з кутовими точками і криволінійного отвору в нескінченній ізотропній пластинці
- •5.2. Двосторонній контакт криволінійного отвору в нескінченній пластинці і двозв’язних симетричних штампів з кутовими точками
- •Розділ 6 Вплив тертя на розподіл напружень при контакті гладких циліндричних тіл і штампів з кутовими точками
- •6.1. Нескінченна ізотропна пластинка з круговим отвором
- •6.2. Стискування пружного диска двома жорсткими штампами.
Розділ 2 основні рівняння плоскої задачі теорії пружності для масивних циліндричних тіл
У розділі систематизовано основні співвідношення плоскої задачі теорії пружності масивних циліндричних тіл у вигляді нескінченних ізотропних пластин з гладкими криволінійними отворами, які перебувають в умовах узагальненого плоского напруженого стану. Компоненти тензора деформації контурних точок подано інтегральними співвідношеннями з ядрами Гільберта через компоненти зовнішнього навантаження. Вони дають можливість формулювати граничні умови задач про контактну взаємодію циліндричних тіл з гладкими поверхнями. Аналогічні інтегральні співвідношення записано і для компонент вектора зміщення точок контуру отвору.
Побудовано уточнений варіант граничних умов задачі про контактну взаємодію нескінченної пластинки з криволінійним отвором і жорсткого диска при їх спряженні з нульовим зазором або натягом в профільних з’єднаннях для передачі обертального руху.
2.1. Ізотропна пластинка з криволінійним отвором
Допустимо, що криволінійний отвір нескінченної ізотропної пластинки товщиною обмежений гладким контуром у вигляді правильного ‑ кутника із закругленими кутами (гіпотрохоїди). Сумістимо із серединною площиною пластинки комплексну площину . Систему прямокутних і полярних координат оберемо таким чином, щоб початок відліку співпадав з центром отвору, а полярна вісь співпадала з віссю абсцис.
Нехай раціональна функція
(2.1)
здійснює конформне відображення зовнішності одиничного кола () в площині на область, яку займає пластинка в комплексній площині . Тут – характерний розмір отвору (не обмежуючи загальності, вважаємо ); ; – параметр, який визначає відхилення форми многокутника від кола. При , функція (2.1) реалізує конформне відображення зовнішності еліпса в площині z на зовнішність ; при , – зовнішності трикутника із закругленими кутами; – – зовнішності чотирикутника із закругленими кутами.
Допустимо, що до контура або його частини прикладено нормальні та дотичні зусилля (рис. 2.1), де , – полярні кути торців ділянки .
Напружений стан на нескінченності обмежений і зводиться до рівномірно розподілених зусиль, що діють вздовж координатних осей.
Компоненти тензора деформації при заданому навантаженні визначаються співвідношеннями
(2.2)
Рис. 2.1. Схема навантаження пластинки
Тут введено позначення
; ;
; ; ; (2.3)
– відносна осьова пружна деформація контура отвору; – кут пружного повороту нормалі до нього; – дуга на контурі ; , – нормальна та дотична складові вектора зміщення контурних точок; – кут між нормаллю до контуру і віссю ; , – модуль Юнга і коефіцієнт Пуассона матеріалу пластинки; , – величини, що залежать від зовнішнього навантаження на пластинку. У випадку, коли на нескінченності пластинка розтягується рівномірно розподіленими зусиллями і , що діють в напрямках координатних осей , відповідно, їх можна подати у вигляді
, (2.4)
де
;
– головний вектор зусиль, прикладених до .
Компоненти напружено-деформованого стану на контурі отвору через величини , , , визначаються за формулами
; ;
; . (2.5)
Тут введено позначення , ; .
Кільцеві зусилля на контурі отвору знаходимо із співвідношення
. (2.6)
Для визначення компонентів вектора зміщення точок контура використаємо граничні умови першої і другої основних задач
; (2.7)
, (2.8)
де ; , – комплексні потенціали Мусхелішвілі; – модуль зсуву матеріалу пластинки; ; .
При заданому навантаженні на пластинку функції , мають таку структуру
; (2.9)
.
Тут , – гомоморфні в області функції; ; .
З врахуванням (2.9) граничну умову (2.7) подамо у вигляді
(2.10).
Помножимо (2.10) на і проінтегруємо по контуру . Використовуючи властивості інтегралів типу Коші і залежності (2.9), одержимо після певних перетворень
(2.11)
У результаті додавання граничних умов (2.7), (2.8) одержимо співвідношення для визначення компонент вектора зміщення контурних точок через функцію і компоненти контурного навантаження
. (2.12)
Застосовуючи до (2.11) формули Сохоцького-Племеля і підставляючи одержані результати в (2.12) з врахуванням співвідношення
, (2.13)
знаходимо
, (2.14)
де .
Формула (2.14) визначає компоненти вектора зміщення контуру з точністю до жорсткого зміщення пластинки.
Якщо напружено-деформований стан періодичний на з періодом , то сталі , визначаються із умов
, . (2.15)
При цьому величини , і , зв’язані залежністю
. (2.16)