Розділ 3 взаємодія жорсткого диска з криволінійним отвором нескінченної пластинки при їх повному контакті

З’єднання з натягом (пресові з’єднання), які мають широке застосування в машинобудуванні, характеризуються високим рівнем концентрації напружень в зоні контакту, що негативно впливає на втомну міцність сполучуваних деталей. Величина натягу визначається зовнішнім навантаженням, яке передається від вала до диска, та наявністю сил тертя.

Циліндричні з’єднання кругової форми дозволяють передавати від одного тіла до іншого значні зусилля. Але якщо необхідно передати обертальний момент, то його величина обмежена і залежить від величини натягу та наявності сил тертя. Сучасна технологія привела до створення нових форм сполучуваних циліндричних поверхонь (профільні з’єднання). Вони забезпечують краще центрування і відрізняються високою витривалістю і надійністю через відсутність пазів, отворів, зубів і інших концентраторів напружень. Якщо циліндричні поверхні мають некругову форму, то такі пресові з’єднання дозволяють передавати як значні зусилля, так і значні моменти при мінімальному натягу, який забезпечує повний контакт і зменшує енергоємність процесу сполучення.

3.1. Передача моментного навантаження від жорсткого диска до нескінченної пластинки з криволінійним отвором

Розглянемо нескінченну ізотропну пластинку з криволінійним отвором виду (2.1), в який з натягом запресовано абсолютно жорсткий диск такої ж форми (рис. 3.1). Під дією пари сил з моментом , яку прикладено в центрі диска, він повертається на кут . В даному випадку посадка диска в отвір пластинки здійснена з гарантованим натягом, тому зона контакту замкнена або контакт порушується тільки в одній точці. Розв’язок задачі полягає у визначенні напружень на контурі отвору пластинки, величини мінімального натягу та кута повороту диска.

3.1.1. Інтегрально-диференціальні рівняння задачі. Систему прямокутних координат вибираємо так, як показано на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Розрахункова схема задачі

Компоненти вектора зміщення , при заданому навантаженні визначаються співвідношеннями (2.11). Сталі , визначимо із умов симетричності зміщень (2.12), які на підставі (2.13) можна записати так

. (3.1)

Підставляючи в (3.1) формули (2.11) з врахуванням залежності

, (3.2)

одержимо . Тоді співвідношення для визначення величин , на контурі отвору можна записати так

. (3.3)

Граничні умови задачі при наявності сил тертя вибираємо у вигляді (2.44)

. (3.4)

Підстановка (3.3) в граничні умови (3.4) приводить до системи двох сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь з ядрами Гільберта для визначення функцій ,

;

, . (3.5)

Умова рівноваги диска (2.40), яка служить для визначення кута його повороту, запишеться у вигляді

. (3.6)

Якщо в (3.5), (3.6) покласти , то одержимо відповідну систему рівнянь для пластинки з круговим отвором.

3.1.2. Наближений розв’язок задачі. Точний розв’язок системи (3.5) пов’язаний із значними математичними труднощами. Для наближеного розв’язку задачі будемо використовувати числові методи.

Оскільки для даної задачі зона контакту пластинки і диска неперервна, а напружений стан на контурі -періодичний, то величини , шукаємо у вигляді скінченних рядів Фур’є

;

. (3.7)

Диференціюючи позначення до (2.8) по , одержимо

; . (3.8)

Тоді з урахуванням (3.7) запишемо наступні рівності

;

; (3.9)

Вирази для шуканих функцій , знаходимо шляхом інтегрування (3.9) по

(3.10)

Сталі інтегрування , на підставі (3.2) приймають значення

.

Враховуючи (3.7), (3.10) та співвідношення

, (3.11)

сингулярні і регулярні інтеграли, які входять в (3.5), (3.6), запишуться так:

; ;

;

(3.12)

Підставляючи (3.12), (3.9), (3.10) в (3.5), (3.6) та порівнюючи значення лівих та правих частин при (), одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення коефіцієнтів рядів (3.7) та величини . При цьому величини і вважаються заданими.

Якщо розв’язок системи (3.5), (3.6) буде відомий, то контактні зусилля знайдуться за формулами (2.3), (3.7). При цьому кільцеві зусилля визначаються із співвідношення (2.6), яке для даної задачі приймає вигляд

. (3.13)

Щоб визначити мінімальний натяг , при якому можливе розмикання контакту лише в одній точці , необхідно до системи (3.5), (3.6) приєднати умову рівності нулю в цій точці контактного тиску

. (3.14)

На практиці точне визначення кута пов’язане із значними математичними труднощами. Тому мінімальний натяг визначається методом “звуження інтервалу”, який полягає в наступному: довільно вибирається інтервал зміни натягу і розв’язується система (3.5), (3.6) для різних дискретних значень з цього інтервалу. При цьому кожного разу визначається знак контактних зусиль на проміжку . Якщо виявиться, що всі значення від’ємні, то проміжок зменшується, якщо серед значень є додатні, то цей проміжок збільшується. Процес ітерації продовжується доти, поки інтервал звузиться в точку. Мінімальний натяг визначить точку, в якій контактне зусилля дорівнює нулю.

Зауважимо, що на контурі отвору є точок розмикання контакту.