5.2. Двосторонній контакт криволінійного отвору в нескінченній пластинці і двозв’язних симетричних штампів з кутовими точками

5.2.1. Постановка задачі. Побудова системи інтегральних рівнянь. Нехай в криволінійний отвір виду (2.1) нескінченної ізотропної пластинки без зазору і натягу вставлено два жорсткі симетричні штампи з кутовими (рис. 5.8) Контакт між пластинкою і штампами забезпечується двома зрівноваженими силами , які діють вздовж осі симетрії отвору і штампів. Внаслідок взаємодії пластинки і штампів на контурі отвору виникають зона контакту і зона , вільна від напружень. При відсутності тертя між пластинкою і штампами розв’язок задачі полягає у визначенні контактних зусиль на та кільцевих зусиль на .

Нехай значення полярного кута, які визначають зону контакту в полярній системі координат з полюсом в центрі отвору.

Тоді

(5.35)

Рис. 5.8.

При конформному відображенні (2.1) зоні буде відповідати зона

(5.36)

на одиничному колі в площині .

Граничні умови задачі на кожній із ділянок контакту мають вигляд (5.3).

Формули (2.14) для визначення компонент вектора зміщення контурних точок при заданому навантаженні запишемо так

(5.37)

Враховуючи, що і наведені на рис. 5.9, 5.10 графіки,

Рис. 5.9.

Рис. 5.10.

знаходимо після інтегрування (5.37) за частинами

(5.38)

Введенням заміни

(5.39)

співвідношення (5.38) запишемо у вигляді

(5.40)

Функції , в зоні контакту через їх похідні можна подати так

(5.41)

Підставляючи (5.40), (5.41) в граничні умови (5.3) приходимо до системи чотирьох інтегральних рівнянь з логарифмічними ядрами для визначення функцій

(5.42)

Крім системи (5.42) повинні виконуватися умови рівноваги штампів

(5.43)

які служать для визначення сталих .

Заміною змінних (5.10), (5.39) та

(5.44)

де

(5.45)

систему (5.42), (5.43), яка визначає математичну модель задачі, перетворимо до вигляду

(5.46)

Тут введено позначення

(5.47)

При виведенні системи (5.46) використано співвідношення

5.2.2. Наближений розв’язок задачі. Система (5.46) має таку ж саму структуру як і система (5.11) при односторонньому контакті одного штампа з криволінійним отвором в ізотропній пластинці. Це означає, що на торцях зони контакту функції мають кореневі особливості

(5.48)

де .

У випадку однакового числа точок колокації на обох ділянках зони контакту ці функції, на підставі (5.21), вибираємо у вигляді

(5.49)

Формули для обчислення сингулярних і регулярних інтегралів, які входять в (5.46), на підставі (5.22)-(5.26) запишемо так (в точках колокації)

(5.50)

(5.51)

де

(5.52)

Підставляючи (5.50), (5.51) в систему (5.46) приходимо до дискретної моделі задачі у вигляді системи лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення сталих . Якщо її розв’язок буде відомий, то величини на проміжку визначаються за формулами (5.29), (5.30). На проміжку ці формули приймають вигляд:

а) в точках колокації

(5.53)

б) в точках, відмінних від

(5.54)

Контактні та кільцеві зусилля на контурі визначаються за формулами (5.31), в яких необхідно покласти

(5.55)

5.2.3. Окремі випадки задачі. Розподіл напружень по контуру отвору залежить від форми отвору і величини та розміщення зон контакту . Зміною цих параметрів із системи (5.46) можна одержати розв’язки окремих задач про двосторонній контакт криволінійного отвору з системою двох, різних за формою, симетричних штампів з кутовими точками.

1) При система (5.46) визначає розв’язок задачі про двосторонній контакт двох однозв’язних симетричних штампів з криволінійним отвором пластинки (рис. 5.11).

Рис. 5.11.

Для визначення контактних зусиль в центрі зон контакту у формулах (5.30) і (5.54) необхідно покласти

(5.56)

2) Якщо прийняти , то однозв’язні штампи вироджуються в клиноподібні і система (5.46) визначає розв’язок задачі про тиск двох зрівноважених сил на контур криволінійного отвору вздовж осі його симетрії (рис. 5.12.).

Рис. 5.12.

3) Покладаючи в (5.46) приходимо до задачі про тиск на криволінійний отвір нескінченної пластинки двох пар зв’язаних паралельних сил, відстань між якими незмінна (рис. 5.13).

Рис. 5.13.

4) Збільшуючи в системі (5.46) кути і можна добитися того, що контактні напруження в точках, які відповідають граничним кутам , будуть дорівнювати нулю. При цьому штампи із зовнішніми кутовими точками будуть працювати так само як гладкі при їх посадці в отвір пластинки з нульовим зазором.

В пунктах 1-4 параметри і змінювалися одночасно. Якщо їх змінювати незалежно, то одержимо низку контактних задач, для окремих з них відомі точні розв’язки. Ці розв’язки служать для оцінки точності методу колокації.