- •I. Элементы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии.
- •1. Определители второго и третьего порядков. Основные свойства. Минор и алгебраическое дополнение. Понятие определителя n-ого порядка и его вычисление.
- •Свойства определителей.
- •2. Матрицы, действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы.
- •Основные действия над матрицами.
- •Обратная матрица.
- •Свойства обратных матриц.
- •3. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли (формулировка). Правило Крамера.
- •Элементарные преобразования систем.
- •Теорема Кронекера – Капелли. (условие совместности системы)
- •Метод Крамера.
- •4. Решение систем линейных уравнений матричным методом.
- •5. Метод Гаусса. Однородные системы линейных уравнений и их решение. Метод Гаусса.
- •Однородные системы линейных уравнений
- •6. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства.
- •Свойства векторов.
- •7. Проекция вектора на ось. Свойства проекций.
- •Некоторые свойства проекций
- •8. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису. Линейная зависимость векторов.
- •9. Декартова система координат. Координаты вектора. Система координат.
- •Декартова система координат.
- •Линейные операции над векторами в координатах.
- •10. Направляющие косинусы, длина вектора.
- •11. Деление отрезка в данном отношении.
- •12. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •13. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •Свойства векторного произведения векторов:
- •14. Смешенное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •Свойства смешанного произведения:
- •15. Прямая линия на плоскости. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Уравнение линии на плоскости.
- •Уравнение прямой на плоскости.
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
- •Параметрическое уравнение прямой
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •2. Условие перпендикулярности.
- •16. Плоскость в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Общее уравнение плоскости.
- •Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.
- •Уравнение плоскости в отрезках.
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •17. Прямая в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых в пространстве. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.
- •Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
- •Общие уравнения прямой в пространстве.
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
- •Угол между прямыми в пространстве.
- •18. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
- •Эллипс.
- •Гипербола.
- •Парабола.
- •20. Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности. Исследование поверхностей методом сечений. Поверхности второго порядка.
- •С фера:
- •К онус второго порядка:
- •Двуполостный гиперболоид:
- •Эллиптический параболоид:
- •Г иперболический параболоид:
- •II. Введение в математический анализ
- •21. Множество действительных чисел.
- •Операции над множествами.
- •22. Функция, область ее определения и способы задания. Сложные и обратные функции.
- •Способы задания функций
- •Сложная функция.
- •Обратная функция.
- •23. Свойства (четность, периодичность, монотонность, ограниченность) и графики функций.
- •24. Гиперболические функции, их свойства и графики.
- •25. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
- •Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •26. Число е. Натуральные логарифмы.
- •Связь натурального и десятичного логарифмов.
- •2 7. Предел функции в точке, односторонние пределы. Геометрическая иллюстрация определений.
- •28. Предел функции в бесконечности. Геометрическая иллюстрация.
- •29. Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
- •Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
- •30. Основные теоремы о пределах.
- •Теорема доказана.
- •31. Первый и второй замечательные пределы.
- •32. Сравнение бесконечно малых функций.
- •33. Непрерывность функций в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация.
- •Точки разрыва и их классификация.
- •Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
- •34. Свойства функций непрерывных в точке.
- •Непрерывность некоторых элементарных функций.
- •35. Свойства функций непрерывных на отрезке (теоремы Вейерштрасса, Коши, о промежуточных значениях) и их геометрических смысл.
- •III. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •36. Задачи, приводящие к определению производной.
- •37. Производная функции, ее геометрический и механический смыслы.
- •38. Односторонние производные. Производная сложной и обратной функции. Односторонние производные функции в точке.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратных функций.
- •Основные правила дифференцирования.
- •Производные основных элементарных функций.
- •Дифференциал функции.
- •42. Свойства дифференциала и инвариантность его формулы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •43. Производные и дифференциалы высших порядков. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Общие правила нахождения высших производных.
- •44. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ролля (с доказательством), Коши (без доказательства), Лагранжа (с доказательством). Теорема Ролля
- •Теорема Коши.
- •Теорема Лагранжа.
- •45. Правило Лопиталя (доказательство для случая неопределенности ). Правило Лопиталя.
- •Точки экстремума.
- •Асимптоты.
- •Вертикальные асимптоты.
- •Наклонные асимптоты.
31. Первый и второй замечательные пределы.
Некоторые замечательные пределы.
, где P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an,
Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm - многочлены.
Итого:
Первый замечательный предел.
Второй замечательный предел.
Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.
Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел .
Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.
x2 – 6x + 8 = 0; x2 – 8x + 12 = 0;
D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;
x1 = (6 + 2)/2 = 4; x1 = (8 + 4)/2 = 6;
x2 = (6 – 2)/2 = 2 ; x2 = (8 – 4)/2 = 2;
Тогда
Пример. Найти предел.
домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: =
= .
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел .
Разложим числитель и знаменатель на множители.
x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)
x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), т.к.
x3 – 6x2 + 11x – 6 x - 1
x3 – x2 x2 – 5x + 6
- 5x2 + 11x
- 5x2 + 5x
6x - 6
6x - 6 0
x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
Тогда
Пример. Найти предел.
- не определен, т.к. при стремлении х к 2 имеют место различные односторонние пределы -∞ и +∞.
32. Сравнение бесконечно малых функций.
Пусть (х), (х) и (х) – бесконечно малые функции при х а. Будем обозначать эти функции , и соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.
Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.
Определение. Если , то функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция .
Определение. Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка.
Определение. Если то функции и называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают ~ .
Пример. Сравним бесконечно малые при х0 функции f(x) = x10 и f(x) = x.
т.е. функция f(x) = x10 – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.
Определение. Бесконечно малая функция называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции , если предел конечен и отличен от нуля.
Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение не имеет предела, то функции несравнимы.
Пример. Если , то при х0 , т.е. функция - бесконечно малая порядка 2 относительно функции .
Пример. Если , то при х0 не существует, т.е. функция и несравнимы.