- •I. Элементы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии.
- •1. Определители второго и третьего порядков. Основные свойства. Минор и алгебраическое дополнение. Понятие определителя n-ого порядка и его вычисление.
- •Свойства определителей.
- •2. Матрицы, действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы.
- •Основные действия над матрицами.
- •Обратная матрица.
- •Свойства обратных матриц.
- •3. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли (формулировка). Правило Крамера.
- •Элементарные преобразования систем.
- •Теорема Кронекера – Капелли. (условие совместности системы)
- •Метод Крамера.
- •4. Решение систем линейных уравнений матричным методом.
- •5. Метод Гаусса. Однородные системы линейных уравнений и их решение. Метод Гаусса.
- •Однородные системы линейных уравнений
- •6. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства.
- •Свойства векторов.
- •7. Проекция вектора на ось. Свойства проекций.
- •Некоторые свойства проекций
- •8. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису. Линейная зависимость векторов.
- •9. Декартова система координат. Координаты вектора. Система координат.
- •Декартова система координат.
- •Линейные операции над векторами в координатах.
- •10. Направляющие косинусы, длина вектора.
- •11. Деление отрезка в данном отношении.
- •12. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •13. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •Свойства векторного произведения векторов:
- •14. Смешенное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •Свойства смешанного произведения:
- •15. Прямая линия на плоскости. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Уравнение линии на плоскости.
- •Уравнение прямой на плоскости.
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
- •Параметрическое уравнение прямой
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •2. Условие перпендикулярности.
- •16. Плоскость в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Общее уравнение плоскости.
- •Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.
- •Уравнение плоскости в отрезках.
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •17. Прямая в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых в пространстве. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.
- •Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
- •Общие уравнения прямой в пространстве.
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
- •Угол между прямыми в пространстве.
- •18. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
- •Эллипс.
- •Гипербола.
- •Парабола.
- •20. Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности. Исследование поверхностей методом сечений. Поверхности второго порядка.
- •С фера:
- •К онус второго порядка:
- •Двуполостный гиперболоид:
- •Эллиптический параболоид:
- •Г иперболический параболоид:
- •II. Введение в математический анализ
- •21. Множество действительных чисел.
- •Операции над множествами.
- •22. Функция, область ее определения и способы задания. Сложные и обратные функции.
- •Способы задания функций
- •Сложная функция.
- •Обратная функция.
- •23. Свойства (четность, периодичность, монотонность, ограниченность) и графики функций.
- •24. Гиперболические функции, их свойства и графики.
- •25. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
- •Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •26. Число е. Натуральные логарифмы.
- •Связь натурального и десятичного логарифмов.
- •2 7. Предел функции в точке, односторонние пределы. Геометрическая иллюстрация определений.
- •28. Предел функции в бесконечности. Геометрическая иллюстрация.
- •29. Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
- •Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
- •30. Основные теоремы о пределах.
- •Теорема доказана.
- •31. Первый и второй замечательные пределы.
- •32. Сравнение бесконечно малых функций.
- •33. Непрерывность функций в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация.
- •Точки разрыва и их классификация.
- •Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
- •34. Свойства функций непрерывных в точке.
- •Непрерывность некоторых элементарных функций.
- •35. Свойства функций непрерывных на отрезке (теоремы Вейерштрасса, Коши, о промежуточных значениях) и их геометрических смысл.
- •III. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •36. Задачи, приводящие к определению производной.
- •37. Производная функции, ее геометрический и механический смыслы.
- •38. Односторонние производные. Производная сложной и обратной функции. Односторонние производные функции в точке.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратных функций.
- •Основные правила дифференцирования.
- •Производные основных элементарных функций.
- •Дифференциал функции.
- •42. Свойства дифференциала и инвариантность его формулы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •43. Производные и дифференциалы высших порядков. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Общие правила нахождения высших производных.
- •44. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ролля (с доказательством), Коши (без доказательства), Лагранжа (с доказательством). Теорема Ролля
- •Теорема Коши.
- •Теорема Лагранжа.
- •45. Правило Лопиталя (доказательство для случая неопределенности ). Правило Лопиталя.
- •Точки экстремума.
- •Асимптоты.
- •Вертикальные асимптоты.
- •Наклонные асимптоты.
Производная сложной функции.
Теорема. Пусть y = f(u); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.
Тогда
Доказательство.
( с учетом того, что если x0, то u0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)
Тогда
Теорема доказана.
Производная обратных функций.
Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.
Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:
т.к. g(y) 0
т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.
Пример. Найти формулу для производной функции arctg.
Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:
Известно, что
По приведенной выше формуле получаем:
Т.к. то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:
Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.
39. Основные правила дифференцирования.
Основные правила дифференцирования.
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u v) = u v
А)
Б)
2) (uv) = uv + uv
3) , если v 0
4)
Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
40. Основные формулы дифференцирования.
Производные основных элементарных функций.
1)С = 0; 9)
2)(xm) = mxm-1; 10)
3) 11)
4) 12)
5) 13)
6) 14)
7) 15)
8) 16)
41. Дифференциал функции и его геометрический смысл.
Дифференциал функции.
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:
Тогда можно записать: , где 0, при х0.
Следовательно: .
Величина x- бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x)x, т.е. f(x)x- главная часть приращения у.
Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции. (или произведение производной этой функции на приращение независимой переменной).
Обозначается dy или df(x).
Из определения следует, что dy = f(x)x или
dy = f(x)dx.
Можно также записать:
Геометрический смысл дифференциала.
y
f(x)
K
dy
M y
L
x x + x x
Из треугольника MKL: KL = dy = tgx = yx
Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.
42. Свойства дифференциала и инвариантность его формулы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Свойства дифференциала.
Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
d(u v) = (u v)dx = udx vdx = du dv
d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv
d(Cu) = Cdu
Дифференциал сложной функции.
Инвариантная форма записи дифференциала.
Пусть y = f(x), x = g(t), т.е. у - сложная функция.
Тогда dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx.
Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.
Однако, если х - независимая переменная, то
dx = x, но
если х зависит от t, то х dx.
Таким образом, форма записи dy = f(x)x не является инвариантной.
Пример. Найти производную функции .
Сначала преобразуем данную функцию:
Пример. Найти производную функции .
Пример. Найти производную функции
Пример. Найти производную функции
Пример. Найти производную функции