ivan

	70	Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ ПЕРСПЕКТИВА
	На предметной плоскости проведена прямая m', параллельная основа-
	нию картины, отметим отрезок А'B' данной прямой. Построим перспективу
	заданного отрезка и определим его натуральную величину. Перспектива
	данного отрезка строится согласно	правилам	проекционного		построения
	(см. раздел 2.2).
	Для определения натуральной величины отрезка достаточно ограничить
	данный отрезок двумя параллельными прямыми произвольного направления.
	Точки пересечения этих прямых с основанием картины дадут натуральную ве-
	личину отрезка АB. Для построения отрезков такой же длины, расположенных
	на разном расстоянии от основания картины, требуется			найти точку схода так
	называемых линий переноса (F). Все отрезки, расположенные между этими
	прямыми будут равны между собой, несмотря на то, что их перспективное
	изображение будет разным, а их натуральная величина равна длине
	отрезка O2O3. В зависимости от направления для каждого семейства парал-
	лельных прямых будет своя точка схода, но ее положение не влияет на вели-
	чину отрезка, заключенного между параллельными прямыми.
	Пример. На картине задана точка А, требуется от точки А отложить отре-
	зок величиной 50 мм (рис. 49).
	Алгоритм решения	h1			P	h
	1. Через точку А провести пря-
	мую n, параллельно основанию кар-
	тины (см. определения масштаба ши-
	рот).	n	А	В
	2. Через точку А провести про-
	извольную прямую с предельной точ-	О1	О2	О3	p	О
	кой Р до пересечения с основанием
		Рис. 49. Определение величины отрезка
	картины в точке O2.

3.На основании картины от точки O2 отложить отрезок требуемой длины (50 мм) и обозначить его конец O3.

4.Соединить O3 с точкой Р, как точкой схода параллельных прямых.

5.Точку пересечения прямых O3Р и n обозначить В. Отрезок АВ является перспективой отрезка, величина которого равна 50 мм.

2.4. Способы выполнения перспективы с учетом размеров предметов	71

Если на картине задан масштаб, то величина отрезка на основании картины откладывается с учетом заданного масштаба. Для определения натуральной величины отрезка в качестве точки схода дополнительных прямых (или прямых переноса) может быть использована любая точка на линии горизонта

(рис. 48).

С помощью масштаба широт решают различные метрические задачи: определение величины отрезка по заданной перспективе или построение перспективы отрезка определенной длины.

Задание. В качестве примера для закрепления материала постройте перспективу отрезка, длиной 100 мм, расположенного в 60 мм от картинной плоскости при условии, что задано расположение дистанционной точки D.

Алгоритм решения: на основании картины откладываем отрезок O2O3, равный 100 мм; концы отрезка соединяем с точкой схода F (масштаб широт); от O2 откладываем отрезок O2O4, равный 60 мм; O4 соединяем с точкой D (масштаб глубин); на пересечении отрезков O2F и O4D находим точку А; проводим прямую, параллельную O1O до пересечения O3F и обозначаем полученную точку B. Отрезок АВ является перспективой отрезка, величина которого равна 100 мм, а расположен он в глубину на 60 мм. Если взять масштаб 1 мм = 0,1 м, то соответственно длина отрезка будет равна 10 м. Необходимый масштаб Вы выбираете самостоятельно.

Масштаб высот. Масштаб, построенный на прямой, перпендикулярной предметной плоскости, называется масштабом высот (рис. 50).

Рассмотрим построение масштаба высот на проецирующем аппарате. В предметном пространстве задана вертикальная прямая линия l с точкой А в основании. Проведем горизонтально проецирующую плоскость через прямую l. Эта плоскость имеет картинный и предметный след, причем точка А принадлежит предметному следу. На картинном следе отложим отрезок А0В0, заданной величины и перенесем его на прямую l, получим точку В с помощью линий переноса. Находим F – точку схода линий переноса: через точку зрения проведем луч, параллельный А А0, и на его пересечении с линией горизонта обозначим точку схода F. Соединим F с концами отрезка А0В0.

72	Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ ПЕРСПЕКТИВА

К

h1

F

C Р

М B h

О1	N	B
		B0

			А			M
		p
			р
	c
						N
а				А0		А
					О
					h1	F	P	h
								B
							M	B0

		N
б			A	M
	О1			A0=N0
		p		О

Рис. 50. Перспектива вертикальных прямых:

а – на проецирующем аппарате; б – на картинной плоскости

2.4. Способы выполнения перспективы с учетом размеров предметов	73

h1	F		h
		B
		B2
	A
О1			О
		О2	О3
Рис. 51.		Определение величины
		отрезка

Пример. На картине задана перспектива отрезка АВ (рис. 51). Требуется определить его действительный размер. Для решения задачи используем масштаб высоты. Через концы отрезка АВ проведем две параллельные прямые в произвольную точку схода F. Продолжим прямые FA и FB до основания картины и обозначим точки пересечения О2 и О3 соответственно. Из точки О2 проведем перпендикуляр вверх до пересечения с прямой FО3. Измерим О2B2, это и есть действительная величина АВ.

Задание. Постройте отрезок CD такой же величины, как и AB, но точкой схода выберите главную точку картины.

Перспективный масштаб на прямой произвольного направления.

Определить натуральную величину отрезка по его перспективе с помощью метода масштаба можно в том случае, если заданы прямые частного положения, параллельные или перпендикулярные картине. Вычислить величину отрезка прямых, произвольно направленных к картинной плоскости, можно с помощью точек измерения или масштабных точек. Анализируя рис. 51, можно отметить, что величина вертикального отрезка определена с помощью точки схода, причем она может быть выбрана произвольно, так как это точка схода линий переноса. Масштабная точка – это тоже точка схода линий переноса, но только она определена для каждого направления прямой линии и зависит от расположения точки схода заданных прямых. Следовательно, для использования этого способа точки схода должны быть заданы на картине или должно быть известно направление прямой, величина отрезка которой определяется. Рассмотрим данный способ на примере (рис. 52).

На картине заданы точки P, D1, F1 и перспектива отрезка AB. Нужно определить действительную величину этого отрезка.

Построим точку измерения M. Для этого нам нужно построить точку Сk – это проекция точки зрения на картинную плоскость: от точки P отложим отрезок равный PD1 на перпендикуляре к О1О, т. е. РСk = PD1. Далее из точки F1 описываем дугу, радиус которой равен CkF1. Она пересечет линию горизонта в точке M, с помощью которой можно измерить длину AB. Для этого точки A и B соединим с точкой M и продлим полученные линии до пересечения с основанием картины O1O. Эти точки отсекут на оси отрезок O2O3, равный действительной

74	Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ ПЕРСПЕКТИВА

Ck

K

h1						h
F1	D	1	М1	P	М	F

		A	B	E
			T
O1	O2	O3 O4		O5	O

Рис. 52. Масштабные точки

величине заданного отрезка AB. Величина отрезка ET определяется с помощью масштабной точки M1.

Иногда для решения задачи применяют несколько способов построения перспективы объекта, например, в разделе 2.4.2 (рис. 56) применен способ совмещения картинной плоскости с предметной для определения масштабной точки, а затем с ее помощью определена величина отрезка AB. Выбор способов зависит от условия задачи.

2.4.2. Совмещение картинной плоскости с предметной

Один из способов построения перспективы объектов – способ совмещения предметной плоскости с картинной (рис. 53).

В данном случае можно провести параллель с построением проекций объектов на комплексном чертеже. Две взаимно перпендикулярные плоскости разворачивают вокруг оcи x и z против часовой стрелки до совмещения с фронтальной плоскостью проекций и выполняют чертеж объекта. Совмещение предметной плоскости с картинной производят тоже путем поворота: предметной плоскости H вокруг основания картины – линии О1О, а плоскости горизонта вокруг линии горизонта h1 h по часовой стрелке.

2.4. Способы выполнения перспективы с учетом размеров предметов	75

K

h1

	D1	Ck
O1	P
C		D
	р

c	h	H

	K	Ck
O
h1	D1	D	h
		P
H
O1			O
		р
		H

Рис. 53. Модель совмещения плоскостей

Рассмотрим, как выполняется перспектива точки на совмещенных плоскостях. Пусть в предметной плоскости Н расположена некоторая точка А′ = а′, необходимо построить ее перспективу (рис. 54). Из заданной точки А′ = а′ построим перпендикуляр А′О2 к основанию картины О1О. Прямая А′О2 параллельна главному лучу СР; ее предельная точка есть точка Р.

Перспектива прямой А′О2 отобразится на картине отрезком О2Р, на котором должна лежать перспектива точки А′ = а′. Проведем из точки зрения C луч в точку А′ = а′. Этот луч пересечет прямую О2Р в точке А = а. При совмещении предметной плоскости с картинной вместе с ней переместится точка А′ = а′ и займет положение

76	Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ ПЕРСПЕКТИВА

AH = аH, на перпендикуляре О2АH к основанию картины ОО1. Если из совмещенной точки зрения СК провести луч в точку AH = аH, то он непременно пересечет прямую О2Р в точке А = а, которая является перспективой точки А′. Итак, перспектива точки А′ определится на пересечении луча СК – А″ = а″ и прямой О2Р.

K

h1 Ck D1

O1 P

C	A=а
		D
	р
		A =a
c	O2	h	H

O

K

Ck

AH=аH

а

	D1	D
H	h1
	P
	A=а	h
	O1	O

р O2

AH=аH

бH

Рис. 54. Перспектива точки на совмещенных плоскостях:

а – на проецирующем аппарате; б – на чертеже

2.4. Способы выполнения перспективы с учетом размеров предметов	77

Между точкой А′ = а′ на предметной плоскости Н и изображением ее на картине установилось так называемое перспективное соответствие. Таким образом, можно построить на картине перспективу отрезков прямых линий (рис. 55) или плоской фигуры (рис. 56).

Ck

h1 h

F1	D1	P	F
	m	n

O	1	O	2	O3 O

mH nH

Рис. 55. Перспектива угла

Угол, образованный двумя пересекающимися прямыми (рис. 55), задан в плоскости H (mH и nH). На картине заданы точки P и D1. Зная расстояние PD1, найдем точку C (PD1=CP). Из Ck проведем лучи, параллельные сторонам угла, до пересечения с линией горизонта и обозначим точки схода параллельных прямых F1 и F. Стороны угла продлим до пересечения с основанием картины, получим точки О2 и О3. Соединив О2 и О3 с F1 и F соответственно, получим точку пересечения, которая будет являться вершиной заданного угла, а линии m и n перспективой его сторон.

Перспектива квадрата (рис. 56) может быть построена как перспектива четырех точек (его вершин), которые последовательно соединены.

78	Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ ПЕРСПЕКТИВА

Ck

H1

	D1		P
	1
	2		4
O1 O2	O3	3	O
2		3

1 4

Рис. 56. Перспектива квадрата

Способ совмещения плоскостей часто применяют в сочетании с другими способами построения перспективы и определения действительной величины предметов (рис. 57, 58).

На рис. 57 приведен пример построения четырехугольника с использованием методов совмещения плоскостей и точки схода прямых (сторон четырехугольника). Для получения перспективы заданного в предметной плоскости многоугольника продолжим его стороны до пересечения с основанием картины, получим точки: O2,O3, O4 и O5. Используя направление сторон прямоугольника, построим точки схода F1 и F: СF1 параллелен одной стороне четырехугольника, а СF – другой, и соединим их с точками O2,O3, O4 и O5, на пересечении получим перспективу плоской фигуры (заданного четырехугольника).

2.4. Способы выполнения перспективы с учетом размеров предметов		79
	Ck
h1		h
F1	P	F

O1	O2	O3		O5
			O4

Рис. 57. Перспектива четырехугольника

На рис. 58 приведен пример определения действительной величины отрезков общего положения AB и EK с помощью масштабных точек, а для построения перспективы отрезков и масштабных точек использован способ совмещенных плоскостей.

В предметной плоскости задана прямая L , и ее отрезок определенной длины (l). Нужно построить перспективу отрезка AB. Для этого:

1) на совмещенных плоскостях выполним перспективу прямой L . Найдем предельную точку F1 прямой L как точку пересечения отрезка CkF1, параллельного L , с линией горизонта h1h. Определим картинный след прямой L (точку Lk), продолжив L до пересечения с основанием картины. Соединим картинный след точки Lk прямой L с точкой F1 и получим перспективу прямой L ;