8

12.2. Розрахунок статично невизначуваної балки на постійне навантаження методом трьох моментів

Нерозрізна балка на яку діє рівномірно розподілене навантаження g=1,2 кН/м представлена на рис 12.5,а.

Рис 12.5

9

1.Ступінь статичної невизначуваності

n = 6 – 3 = 3.

ерехід до стандартної схеми балки

При переході до стандартної схеми затиснення на правому кінці балки замінено фіктивним прогоном нульової довжини а консоль на лівому кінці відкинуто Рівномірне розподілене по консолі навантаження замінене зосередженими силою і моментом

P0 1,2 2 2,4 кН; M 0 1,2 2 1 2,4 кНм.

Опори стандартної схеми пронумеровано зліва направо Прогони пронумеровано таким чином щоб номер прогону відповідав номеру його правої опори Прийнявши жорсткість EI0 прогону l3 за основну, визначаємо зведені довжини прогонів

l

EI0

l

EI0

8 м 10 м;

EI1

1

1

0,8EI

0

l2

EI0

l2

EI0

12 м 6 м;

EI2

2EI0

l3

EI0

l3

EI0

9 м 9 м.

EI3

EI0

Стандартна схема балки показана на рис 12.5,б.

2.Обчислення фіктивних опорних реакцій

Розглядаючи кожен прогін як балку на двох опорах рис 12.5,в будуємо епюри балкових згинальних моментів Мб і поперечних сил Qб від прогонових навантажень рис 12.5,г і рис 12.5, ) .

Користуючись табл 12. знаходимо фіктивні реакції опор:

				gl3		1,2 83
A	B			1					25,6 кНм2 ;
1	1			24		24
				gl3		1,2 123
A	B	2		2						86,4 кНм2 ;
2				24		24
				gl3		1,2 9	3		36,45 кНм2 ;
A	B			3
3	3			24		24
A4	B4		0.
3.Складання і розв’язування рівнянь трьох моментів
Складаємо рівняння трьох моментів			12.		послідовно для кожної проміжної опори стандартної

схеми балки враховуючи що згинальний опорний момент на крайній лівій опорі дорівнює М0=- 2,4 кНм момент від’ємний оскільки верхні волокна розтягнені а на крайній правій опорі М4=0.

10

Опора			i= 1)
M	l		2M	1	l			l		2		M		2		l	2		6 B			l1				A							l2						,
	0 1					1														1 l										2			l
																				1															2
2,4 10 2M1 10 6 M2																				6 6						25,6							10								86,4			6		,
																																			8
																																											12
									32M1 6M2											426,45.
Опора			(i = 2)
M l			2M	2		l	2		l		3		M l						6 B				l2							A					l3					,
	1 2														3 3					2 l												3			l
																									2										3
M1 6 2M2 6										9 M3 9 6 86,4																			6				36,45									9	,
																												12
																																							9
									6M1 30M2 9M3 477,9.
Опора					= 3)
M	l	2M		3		l			l		4		M		4		l	4	6 B					l3						A						l4					,
	2 3						3													3 l												4				l
																									3												4
M2 9 2M3 9										0 0 6 36,45											9					0 ,
																				9
									9M2 18M3 218,7.
Отже маємо систему розв’язувальних рівнянь
																				32M1 6M 2																										426,45,
																				6M1												30M 2 9M3														477,9,
																																9M2											18M3			218,7.
Звідси опорні моменти дорівнюють
													M1 11,130 кНм,																			M 2									11,835 кНм,						M 3 6,253 кНм.

обудова дійсної епюри моментів рис.12.5,ж)

удуємо епюру опорних моментів			відкладаючи знайдені опорні моменти над відповідними
опорами	рис 12.5,е і	зєднуючи їх	прямолінійними	відрізками Дійсна епюра згинальних
моментів	в нерозрізній	балці отримана додаванням		епюри опорних моментів рис 12.5,е і

балкових епюр згинальних моментів рис 12.5,г я процедура рівнозначна відкладанню балкових епюр від лінії епюри опорних моментів нколи її називають підвішуванням балкових епюр

11

4. еревірка правильності дійсної епюри згинальних моментів

Для перевірки правильності розрахунку будуємо сумарну одиничну епюру згинальних моментів М рис 12.5, ввівши до заданої схеми три шарніри і приклавши одиничні невідомі моменти водночас в усіх трьох шарнірах Далі маємо за формулою Мора

l				M M			dx		8			0 4 0,5 2,835 1 11,130
				EI					6 0,8EI		0
			0
			12			1 11,130 4 1 10,118 1 11,835												9		1 11,835
			2EI
		6			0												6EI0
4 1 3,116 1 6,233										9,100				17,507		8,406			17,506			17,507	0.
																EI0				EI0
											EI0			EI0								EI0
Відносна похибка
	17,507 17,506							100% 0,006%						1%.
			17,507

Отже згідно кінематичній перевірці, епюра М правильна

5. изначення поперечних сил

Q0 к 1,2 2 2,4 кН,

	Q0-1		11,130 2,4		4,8 3,709 кН,
			8
	Q1-0		11,130	2,4	4,8 5,891 кН,
			8
	Q		11,835	11,130				7,2 7,141 кН,
	1 2		12	11,130
	Q2 1		11,835					7,2 7,259 кН,
			12
	Q2 3		6,253 11,835				5,4 6,022 кН,
			6,253 9 11,835
	Q3-2					5,4 4,778 кН.
			9

Епюра поперечних сил побудована на рис 12.5,

6.Обчислення опорних реакцій

R0	3,709 2,4 6,109 кН,	R2	6,022 7,259 13,281 кН,
R	7,141 5,891 13,032 кН,	R	0 4,448 4,778 кН.
1		3

Перевірка рівноваги (рис 12.6)

Fy 6,109 13,281 13,032 4,778 1,2 2 8 12 9 0.