ax=dvx/dt=d2x/dt2; ay=dvy/dt=d2y/dt2; az=dvz/dt=d2z/dt2.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид:

md2x/dt2=Fx; md2y/dt2=Fy; md2z/dt2=Fz. (5.3)

5.3. Две основные задачи динамики точки

Дифференциальные уравнения движения материальной точки позволяют решать две основные задачи динамики точки.

Первая задача. Если известен закон движения точки и её масса, можно найти действующую на точку силу. Если,

например, заданы уравнения движения точки в декартовой системе координат

x=f1(t); y=f2(t); z=f3(t),

то проекции силы на оси координат определяются из дифференциальных уравнений движения точки:

Fx=md2x/dt2=md2f1/dt2;

Fy=md2y/dt2=md2f2/dt2;

Fz=md2z/dt2=md2f3/dt2.

Зная проекции силы на координатные оси, легко определить величину силы и косинусы углов силы с осями координат.

Вторая задача. Можно определить движение точки по заданной массе и действующей на точку силе.Рассмотрим решение этой задачи в прямоугольной декартовой системе координат. В общем случае сила F, а следовательно, и ее проекции на координатные оси могут зависеть от времени, от координат движ ущейся точки и ее скорости. Уравнения движения точки имеют вид:

md2x/dt2=Fx(t; x, y, z; x′, y′, z′); md2y/dt2=Fy(t; x, y, z; x′, y′, z′); md2z/dt2=Fz(t; x, y, z; x′, y′, z′).

30

Интегрирование системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка позволяет найти уравнения движения точки в декартовых координатах. Решение одного дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Для случая трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка имеется шесть

произвольных постоянных C1, C2, C3, C4, C5, C6.

Координаты x, y, z движущейся точки после интегрирования системы уравнений (5.3) зависят от времени t и всех шести произвольных постоянных:

x=f1(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6 ),

y=f2(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6 ), (5.4) z=f3(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6 ).

После дифференцирования уравнений (5.4) повремени можно определить проекции скорости точки на координатные оси:

vx =x′=f1′(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6),
vy =y′=f2′(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6),	(5.5)
vz =z′=f3′(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6).

Задание силы выделяет целый класс движений, характеризующийся шестью произвольными постоянными, а не определяет конкретного движения материальной точки. Действующая сила определяет только ускорение движущейся точки, а скорость и положение точки на траектории могут зависеть еще от скорости, которая сообщена точке в начальный момент, и от начального положения точки.

Для определения конкретного вида движения материальной точки надо дополнительно задать условия, позволяющие найти произвольные постоянные, которых в общем случае будет шесть. Обычно задают так называемые начальные условия, т.е. в какой-то определенный момент времени, например при t=0 (рис. 5.3), задают координаты движущейся точки x0, y0, z0 и проекции ее скорости v0x, v0y, v0z.

31

x=x0, y=y0, z=z0,

x′=v0x, y′=v0y, z′=v0z. (5.6)

Рис. 5.3

Используя начальные условия и формулы (5.4) и (5.5), получаем шесть уравнений для определения шести произвольных постоянных:

x0=f1(0, C1, C2, C3, C4, C5, C6);

y0=f2(0, C1, C2, C3, C4, C5, C6);

z0=f3(0, C1, C2, C3, C4, C5, C6); (5.7)

v0x=f1′(0; C1, C2, C3, C4, C5, C6);

v0y=f2′(0; C1, C2, C3, C4, C5, C6);

v0z=f3′(0; C1, C2, C3, C4, C5, C6).

Если система уравнений (5.7) удовлетворяет условиям разрешимости, то из нее можно определить все шесть произвольных постоянных.

Если соблюдены соответствующие условия теории дифференциальных уравнений, то начальные условия в форме (5.6) определяют единственное решение системы дифференциальных уравнений (5.3).

32