- •1. Общие положения
- •1.1. Цель и задачи кп
- •1.2. Содержание и объём кп
- •1.3. Этапы выполнения кп
- •2. Теоретические основы методов, применяемых в кп
- •2.1. Предварительная обработка статистических данных
- •2.2. Вейвлет анализ временного ряда
- •2.3. Сингулярный спектральный анализ временного ряда
- •2.4. Методы ssa-прогнозирования
- •2.4.1. Рекуррентное ssa-прогнозирование
- •2.4.2. Векторное ssa-прогнозирование
- •2.4.3. Формирование доверительных интервалов
- •2.5. Основы аналитического подхода к оценке риска спектральными методами
- •2.5.1. Относительные меры риска
- •Спектральная плотность Fu(ω) распределения дисперсии ущерба
- •Энергетические спектры ущерба Fu(ω) и гармонического сигнала Fг
- •2.5.2. Расчет прогностической меры риска
- •Ряд прогноза y[n]
- •3. Этапы выполнения основной части кп
- •4. Пример анализа временного ряда предложенными методами
- •4.1. Статистика количества почтовых писем, классифицированных как спам
- •4.1.1. Предварительная обработка статистических данных
- •4.1.2. Вейвлет анализ временного ряда
- •4.1.3. Сингулярный спектральный анализ временного ряда
- •4.1.4. Расчет прогностической меры риска
- •Исходный ряд и ряд прогноза
- •Ряд прогноза
- •4.2. Статистика случаев мошенничества с кредитными картами
- •4.2.1. Предварительная обработка статистических данных
- •4.2.2. Вейвлет анализ временного ряда
- •4.2.3. Сингулярный спектральный анализ временного ряда
- •4.2.4. Расчет прогностической меры риска
- •Восстановленный ряд и ряд прогноза
- •Прогноз ущерба от мошеннических операций с распределенными платежными системами на 2012 год
- •Распределения вероятностей нанесения ущербов
- •5. Требования к оформлению и объему кп
- •5.1. Общие требования
- •5.2. Правила оформления текстовых документов
- •5.3. Правила нумерации страниц
- •5.4. Правила оформления иллюстраций
- •5.5. Оформление таблиц
- •5.6. Приложение
- •5.7. Типичные ошибки при выполнении кп
- •5.8. Дополнительные рекомендации по выполнению кп
- •6. Порядок оценки работы
- •Библиографический список Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.4.2. Векторное ssa-прогнозирование
Алгоритм рекуррентного SSA-прогнозирования является основным прогнозирующим алгоритмом в силу его непосредственной связи с линейными рекуррентными формулами. Векторное SSA-прогнозирование является модификацией рекуррентного, которая в ряде случаев может давать более точные результаты прогноза [13].
Сначала рассмотрим происхождение этого алгоритма. Вернемся к базовому методу SSA как методу анализа временных рядов и предположим, что целью является извлечение некоторой аддитивной компоненты из ряда FN. Тогда, выбрав подходящую L, мы получим сингулярное разложение траекторной матрицы временного ряда FN и можем выбрать собственные тройки , соответствующие ряду . Результирующая матрица будет иметь вид
. (7)
После диагонального усреднения, получаем восстановленный ряд , который является приближением к [3].
Заметим, что столбцы результирующей матрицы XIпринадлежат линейному пространству . Еcли ряд сильно отделим от ряда , тo совпадает с (траекторным пространством ряда ) и матрицаXIявляется ганкелевой, т.е. XI – траекторная матрица ряда. Если и приближенно сильно разделимы, то пространство будет близко к пространству и матрица XI будет приближенно ганкелевой.
Коротко идея «векторного прогноза» может быть описана следующим образом. Представим себе, что мы можем продолжить последовательность векторов на M шагов таким образом:
векторы продолжения принадлежат тому же самому линейному пространству ;
матрица является приближенно ганкелевой.
Имея матрицу ХМ, мы можем получить ряд GN+M с помощью диагонального усреднения. Так как первые элементы восстановленного ряда совпадают с элементами ряда GN+M, то последний может рассматриваться как прогноз ряда [3].
Опишем теперь формально алгоритм векторного прогноза более подробно.
Предварительные замечания:
Алгоритм векторного прогноза имеет те же самые входные данные, как и алгоритм рекуррентного SSA-прогнозирования.
Обозначения в пунктах рекуррентного прогноза остаются в силе. Введем еще несколько обозначений.
Рассмотрим матрицу
где .Матрица П является матрицей линейного оператора, задающего ортогональную проекцию , где .
Определим линейный оператор по формуле
.
Алгоритм векторного прогноза [13]:
В обозначениях, введенных выше, определим векторы Zi следующим образом:
(8)
Образовав матрицу Z = [Z1 : ... : ZK+M+L-1] и проведя ее диагональное усреднение, мы получим ряд g0,..., gN+M+L-1.
Числа gN,...,gN+M-1 образуют M членов векторного прогноза.
Прокомментируем свойства векторного прогноза. Во-первых, если является траекторным пространством ряда FN, то результаты векторного и рекуррентного прогноза совпадают. Хотя результаты и не отличаются, суть у рекуррентного и векторного прогнозов разная. Рекуррентный прогноз выполняет продолжение ряда непосредственно (с помощью ЛРФ) [13], в то время как векторный прогноз основан на L-продолжимости в подпространстве [3]. В случае приближенного продолжения эти два метода прогноза дают обычно разные результаты. Причем, чем хуже качество приближения, тем больше разница между результатами двух прогнозов.
Рекуррентный прогноз использует пространство , чтобы получить прогнозирующую линейную рекуррентную формулу, не заботясь о том, чтобы это пространство являлось траекторным также и для ряда прогноза.
Процедура векторного прогноза пытается выполнить L-продолжение временного ряда в ; любой век тор Zi+1 =P(v)Zi принадлежит пространству , а векторы и настолько близки, насколько это возможно. Последняя координата вектора Zi+1 получена из также с помощью ЛРФ, используемой при рекуррентном прогнозировании. Однако так как матрица Z не является ганкелевой, то последующее диагональное усреднение, к сожалению, портит соотношение между точками прогноза, задаваемое этой ЛРФ.
Оба прогнозирующих метода имеют два этапа: диагональное усреднение и продолжение. При рекуррентном прогнозировании диагональное усреднение используется для получения восстановленного ряда, к последним точкам которого затем применяется ЛРФ. Для векторного метода ситуация обратная: сначала строится векторное продолжение, и только потом, для получения точек прогноза, используется диагональное усреднение [13].