2.5. Основы аналитического подхода к оценке риска спектральными методами

Необходимость адекватной оценки уровня защищенности распределенных автоматизированных систем тесно связана с понятием «риск». Существует несколько хорошо проработанных подходов к описанию этого понятия. В контексте спектрального анализа наиболее подходящей является концепция, рассмотрение риска в которой производится с точки зрения некоторой «неопределенности».

Риск рассматривается как мера неопределенности случайного отклонения наблюдаемого показателя (результата) от ожидаемого (среднего) значения. Неопределенность и порождаемый ею риск являются причиной такого отклонения. Величина отклонения является случайной величиной и зависит от уровня риска: чем больше риск, тем сильнее отклонение. Отклонения, наблюдаемые в течение определенного промежутка времени, можно рассматривать как совокупность случайных величин, т.е. случайную функцию или случайный процесс, когда аргумент случайной функции истолковывается как время. Математически ущерб (сигнал риска) можно записать в виде

u(t) = x(t) – x₀(t), (9)

где u(t) — ущерб; x(t) и x₀(t) — фактически полученный и ожидаемый результаты соответственно; t - время. Характер отклонений (поведение ущерба во времени) обусловливает степень риска. Резким отклонениям ущерба соответствует большая неопределенность (непредсказуемость) получаемых результатов, а значит, и больший уровень риска.

На рисунке 3 представлена классификация мер риска, в основе которых лежит рассмотрение статистики ущерба как временного ряда.

Рис. 3. Меры риска

Временная мера, рассматривающая «сигнал рассогласования» риска, является самой простой, и как следствие, крайне малоэффективной. Она может служить лишь индикатором выхода контролируемого параметра за допустимые пределы и применяться лишь в режиме реального времени без аккумуляции данных.

Более эффективными средствами являются методы, основанные на спектральных преобразованиях.

2.5.1. Относительные меры риска

Для спектрального анализа предлагается применение непараметрических методов, основанных на использовании прямого преобразования Фурье функции u(t) в частотное распределение (спектр).

Частотный, или энергетический спектр отражает поведение ущерба, зависящее от его внутренней структуры. Спектр ущерба характеризует распределение плотности дисперсий (средней мощности) отдельных гармоник сигнала риска по частоте (рис. 4). Энергетический спектр F_u(ω) можно также назвать спектральной плотностью дисперсии или средней мощностью ущерба.

4. Спектральная плотность Fu(ω) распределения дисперсии ущерба

Площадь, ограниченная кривой F_u(ω), равна дисперсии ущерба : ⁽¹⁰⁾

Формула (10) характеризует разложение дисперсии на сумму элементарных слагаемых F_u(ω)dω, каждое из которых представляет собой дисперсию, приходящуюся на элементарный участок частот dω, прилежащий к частоте ω (рис. 4).

Интеграл от спектральной плотности в пределах определенной области частот называется спектральной функцией. Она представляет собой суммарную дисперсию (среднюю мощность) гармоник всех частот рассматриваемой полосы.

Данный метод незначительно эффективнее стандартных статистических методов оценки статистических показателей.

Более эффективной считается мера, связанная с относительной оценкой спектральной плотности, полученной в результате того или иного преобразования. В основе метода сравнение спектральной плотности временного ряда со спектральной плотностью эталонного сигнала в данном временном и частотном диапазоне (окне).

Т.к. белый шум обладает неограниченно большой средней мощностью — его дисперсия бесконечно велика. Значения белого шума в несовпадающие моменты времени некоррелированы, то есть его уровень за промежуток времени τ, каким бы малым он ни был, может измениться на любую величину. В силу этого поведение белого шума во времени обладает максимальной неопределенностью и прогнозирование такого случайного процесса связано с максимальным риском.

Чем ближе энергетический спектр ущерба к белому шуму, тем выше риск получения неточных оценок наблюдаемого результата. Поэтому, чтобы получить объективную оценку риска, независимую от природы его происхождения, предлагается сравнивать энергетический спектр исследуемого риска (точнее — ущерба) с энергетическим спектром белого шума:

Risk_b= 100%, или Risk_b= 1; (11)

Risk < 100%, или Risk < 1, (12)

где Risk_b и Risk — уровень риска белого шума и изучаемого случайного процесса соответственно. Различия в уровне риска обусловлены видом энергетического спектра. Поэтому, чтобы оценить риск, предлагается сравнивать формы энергетического спектра сигнала риска F_u(ω) и белого шума F_b(ω) в заданной полосе частот Δω_e (рис. 5).

4. Энергетические спектры ущерба F_u(ω) и белого шума F_b(ω)

Величину риска, например, можно определить с помощью коэффициента риска, который представляет относительную величину, полученную в результате сравнения показателей формы энергетического спектра сигнала риска и белого шума:

⁽¹³⁾ где Risk — уровень риска; M_2u и M_2b — показатель формы (второй центральный момент M₂) кривой энергетического спектра сигнала риска и белого шума соответственно.

В случае если для исследуемой системы характерно состояние максимального риска при вырождении временной реализации переменных состояния в гармонический сигнал ( ), можно ввести следующую меру риска, сравнив показатели формы энергетического спектра сигнала риска и гармонического сигнала (рис. 2.4):

(14)

где Risk — уровень риска;

A – амплитуда гармоники сигнала риска на частоте математического ожидания кривой энергетического спектра в частотной области от до ; - дельта-функция; – спектральная плотность ущерба в частотной области от до .