6.4. Максимум и минимум функций

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая -окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Аналогично определяется точ­ка минимума функции: — точ­ка минимума функции, если . На рисунке 6.6 — точ­ка минимума, а точка — точка максимума функции .

Значение функции веточке мак­симума (минимума) называется максимумом (минимумом) функ­ции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функ­ции.

Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения. Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема 6.8 (необходимое условие экстремума). Если диффе­ренцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: .

Доказательство. Пусть, для определенности, — точка максимума. Значит, в окрестности точки выполняется неравенство . Но тогда , если , и , если . По условию теоремы производная

существует. Переходя к пределу, при , получим , если , и , если . Поэтому . Аналогично доказывается утверждение теоремы 6.8, если — точка минимума функции .

Геометрически равенство означает, что в точке экстре­мума дифференцируемой функции касательная к ее графику, параллельна оси см. рис. 6.6).

Отметим, что обратная теорема неверна, т. е. если , то это не значит, что — точка экстремума. Например, для функции

Рис. 6.6

ее производная равна нулю при , но не точка экстремума (см. рис. 6.7).

Рис. 6.7

Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют про­изводной. Например, непрерывная функция в точке про­изводной не имеет, но точка — точка минимума (см. рис. 6.8).

Рис. 6.8

Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не суще­ствует. Такие точки называются критическими.

Теорема 6.9 (достаточное условие экстремума). Если непрерыв­ная функция дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) про­изводная меняет знак с плюса на минус, то есть точка мак­симума; с минуса на плюс, то — точка минимума.

Доказательство. Рассмотрим -окрестность точки . Пусть выполняются условия: и . Тогда функция возрастает на интервале , а на интервале она убывает. Отсюда следует, что значение в точке является наибольшим на интервале , т. е. для всех . Это и означает, что — точка максимума функции.

Графическая интерпретация доказательства теоремы 6.9 предста­влена на рисунке 6.9.

Аналогично теорема 6.9 доказывается для случая, когда и .

Рис. 6.9

Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Из теорем 6.8 и 6.9 вытекает следующее правило исследования функции на экстремум:

1. найти критические точки функции ;

2. выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точ­ками области определения функции;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек;

4. в соответствии с теоремой 6.9 (достаточное условие экстрему­ма) выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.

Пример 6.9. Найти экстремум функции .

Решение: Очевидно, . Находим , т.е. .

Производная не существует при и равна нулю при . Эти точки разбивают всю область определения данной функции на три интервала , , . Отметим на рисунке 6.10 знаки произ­водной слева и справа от каждой из критических точек.

Рис. 6.10

Следовательно, — точка максимума, , и — точка минимума, .

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак, существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.

Теорема 6.10. Если в точке первая производная функции равна нулю ( ), а вторая производная в точке существует и отлична от нуля ( ), то при в точке функция имеет максимум и минимум — при .

Доказательство. Пусть для определенности . Так как

,

то в достаточно малой окрестности точки . Если , то ; если , то .

Таким образом, при переходе через точку первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме 6.9, есть точка минимума.

Аналогично доказывается, что если , то в точке функ­ция имеет максимум.

Рис. 6.11