- •Введение
- •§1. Производная функции
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •Скорость прямолинейного движения
- •Касательная к кривой
- •1.2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой
- •1.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •1.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
- •1.5. Производная сложной и обратной функций
- •1.6. Производные основных элементарных функций Степенная функция
- •Показательная функция
- •Логарифмическая функция
- •Тригонометрические функции
- •Обратные тригонометрические функции
- •1.7. Гиперболические функции и их производные
- •1.8. Таблица производных
- •Правила дифференцирования
- •Формулы дифференцирования
- •§2. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •2.1. Неявно заданная функция
- •2.2. Функция, заданная параметрически
- •§3. Логарифмическое дифференцирование
- •§4. Производные высших порядков
- •4.1. Производные высших порядков явно заданной функции
- •4.2. Механический смысл производной второго порядка
- •4.3. Производные высших порядков неявно заданной функции
- •4.4. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
- •§5. Дифференциал функции
- •5.1. Понятие дифференциала функции
- •5.2. Геометрический смысл дифференциала функции
- •5.3. Основные теоремы о дифференциалах
- •5.4. Таблица дифференциалов
- •5.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •5.6. Дифференциалы высших порядков
- •§6. Исследование функций при помощи производных
- •6.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
- •6.2. Правила Лопиталя
- •Раскрытие неопределенностей различных видов
- •6.3. Возрастание и убывание функций
- •6.4. Максимум и минимум функций
- •6.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •6.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •6.7. Асимптоты графика функции
- •6.8. Общая схема исследования функции и построения графика
- •§ 7. Формула тейлора
- •7.1. Формула Тейлора для многочлена
- •7.2. Формула Тейлора для произвольной функции
- •Библиографический список
1.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.
Пусть функции и – две дифференцируемые в некотором интервале функции.
Теорема 1.2. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: .
Доказательство. Обозначим . По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:
т.е. .
Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.
Теорема 1.3. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: .
Доказательство. Пусть . Тогда
т. е. .
При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи непрерывности и дифференцируемости: так как функции и дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому и при .
Можно показать, что:
а) , где = const;
б) .
Теорема 1.4. Производная частного двух функций , если равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: , .
Доказательство. Пусть . Тогда
т.е. .
Следствие 1.1. .
Следствие 1.2. , где = const.
1.5. Производная сложной и обратной функций
Пусть и , тогда — сложная функция с промежуточным аргументом и независимым аргументом .
Теорема 1.5. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке , которая находится по формуле .
Доказательство. По условию . Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем или
, (1.6)
где при .
Функция имеет производную в точке : , поэтому
, где при .
Подставив значение в равенство (1.6), получим
,
т. е.
.
Разделив полученное равенство на и перейдя к пределу при , получим .
Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если , , , то . Пусть и — взаимно обратные функции.
Теорема 1.6. Если функция строго монотонна на интервале и имеет неравную нулю производную в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством или .
Доказательство. Рассмотрим обратную функцию . Дадим аргументу приращение . Ему соответствует приращение обратной функции, причем Дж в силу строгой монотонности функции . Поэтому можно записать
(1.7)
Если , то в силу непрерывности обратной функции приращение . И так как , то из (1.7) следуют равенства , т.е. .
Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.
Правило дифференцирования обратной функции записывают так:
или .
Пример 1.3. Найти производную функции .
Решение: Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: , где , где , где . По правилу дифференцирования сложной функции ( ) получаем:
.
Пример 1.4. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную для функции .
Решение: Обратная функция имеет производную . Следовательно,
.