- •Введение
- •§1. Производная функции
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •Скорость прямолинейного движения
- •Касательная к кривой
- •1.2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой
- •1.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •1.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
- •1.5. Производная сложной и обратной функций
- •1.6. Производные основных элементарных функций Степенная функция
- •Показательная функция
- •Логарифмическая функция
- •Тригонометрические функции
- •Обратные тригонометрические функции
- •1.7. Гиперболические функции и их производные
- •1.8. Таблица производных
- •Правила дифференцирования
- •Формулы дифференцирования
- •§2. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •2.1. Неявно заданная функция
- •2.2. Функция, заданная параметрически
- •§3. Логарифмическое дифференцирование
- •§4. Производные высших порядков
- •4.1. Производные высших порядков явно заданной функции
- •4.2. Механический смысл производной второго порядка
- •4.3. Производные высших порядков неявно заданной функции
- •4.4. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
- •§5. Дифференциал функции
- •5.1. Понятие дифференциала функции
- •5.2. Геометрический смысл дифференциала функции
- •5.3. Основные теоремы о дифференциалах
- •5.4. Таблица дифференциалов
- •5.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •5.6. Дифференциалы высших порядков
- •§6. Исследование функций при помощи производных
- •6.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
- •6.2. Правила Лопиталя
- •Раскрытие неопределенностей различных видов
- •6.3. Возрастание и убывание функций
- •6.4. Максимум и минимум функций
- •6.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •6.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •6.7. Асимптоты графика функции
- •6.8. Общая схема исследования функции и построения графика
- •§ 7. Формула тейлора
- •7.1. Формула Тейлора для многочлена
- •7.2. Формула Тейлора для произвольной функции
- •Библиографический список
1.2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой
Пусть функция определена на некотором интервале . Проделаем следующие операции:
– аргументу дадим приращение : ;
– найдем соответствующее приращение функции: ;
– составим отношение приращения функции к приращению аргумента: ;
– найдем предел этого отношения при : .
Если этот предел существует, то его называют производной функции и обозначают одним из символов , ; ; ; .
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю.
Итак, по определению
или .
Производная функции есть некоторая функция , произведенная из данной функции.
Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Значение производной функции в точке обозначается одним из символов: , или .
Пример 1. Найти производную функции , .
Решение:
– Значению ж даем приращение ;
– находим приращение функции : ;
– значит, ;
– следовательно, , т. е. .
Пример 2. Найти производную функции .
Решение:
– Аргументу даем приращение ;
– находим : ;
– составляем отношение : ;
– находим предел этого отношения:
.
Таким образом, .
В задаче про скорость прямолинейного движения было получено.
Это равенство перепишем в виде , т. е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени . В этом заключается механический смысл производной.
Обобщая, можно сказать, что если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.
В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент касательной . Это равенство перепишем в виде , т.е. производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна . В этом заключается геометрический смысл производной.
Если точка касания имеет координаты (см. рис. 1.6), то угловой коэффициент касательной есть . Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении ( ), можно записать уравнение касательной:
. (1.5)
Рис. 1.4
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.
Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент
.
Поэтому уравнение нормали имеет вид (если ).
1.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Теорема 1.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.
Доказательство. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке . Следовательно, существует предел .
Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем , где при то есть .
Переходя к пределу, при , получаем . А это и означает, что функция непрерывна в точке .
Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной.
Примером такой функции является функция
Рис. 1.5
Изображенная на рисунке 1.5 функция непрерывна в точке , но не дифференцируема в ней.
Действительно, в точке имеем
.
Отсюда следует, что не существует, т. е. функция
не имеет производной в точке , график функции не имеет касательной в точке .
Замечания: 1. Существуют односторонние пределы функции в точке : , . В таких случаях говорят, что функция имеет односторонние производные (или «производные слева и справа»), и обозначают соответственно и .
Если и , то производная в точке не существует. Не существует производной и в точках разрыва функции.
2. Производная непрерывной функции сама не обязательно является непрерывной.
Если функция имеет непрерывную производную в некотором интервале , то функция называется гладкой.
На рисунках 1.6 и 1.7 приведены примеры непрерывных и разрывных функций.
Рис. 1.6 Рис. 1.7