2.2. Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом и функцией задана параметрически в виде двух уравнений

(2.1)

где — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную , считая, что функции (2.1) имеют произ­водные и что функция имеет обратную . По правилу дифференцирования обратной функции

. (2.2)

Функцию , определяемую параметрическими уравнения­ми (2.1), можно рассматривать как сложную функцию , где .

По правилу дифференцирования сложной функции имеем: .

С учетом равенства (2.2) получаем

, т.е.

Полученная формула позволяет находить производную от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зави­симости от .

Пример 2.2. Пусть

Найти .

Решение: Имеем , . Следовательно, , т.е. .

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость от .

Действительно . Тогда . Отсюда т. е. .

§3. Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно задан­ную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Пример 3.1. Найти производную функции

.

Решение: Можно найти с помощью правил и формул дифферен­цирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим ло­гарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию:

.

Дифференцируем это равенство по :

.

Выражаем :

,

т.е.

.

Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так на­зываемая степенно-показательная функция , где и – заданные дифференцируемые функции от . Найдем про­изводную этой функции:

, ,

,

т.е.

,

или

. (3.1)

Сформулируем правило запоминания формулы (3.1): производ­ная степенно-показательной функции равна сумме производной пока­зательной функции, при условии = const, и производной степенной, функции, при условии = const.

Пример 3.2. Найти производную функции .

Решение: Пользуясь формулой (22.1), получаем:

.

Отметим, что запоминать формулу (3.1) необязательно, легче запомнить суть логарифмического дифференцирования.

§4. Производные высших порядков

4.1. Производные высших порядков явно заданной функции

Производная функции есть также функция от и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то, ее производная называ­ется производной второго порядка и обозначается (или , , , ). Итак, .

Производная от производной второго порядка, если она существу­ет, называется производной третьего порядка и обозначается (или , , …). Итак, .

Производная -го порядка (или -й производной) называется про­изводная от производной ( ) порядка:

.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках ( или — производная пятого порядка).

Пример 4.1. Найти производную 13-го порядка функции .

Решение:

,

,

,

,

......................................................

.