3.2. Ранговая корреляция

В технологической практике нередко возникает необходимость определить степень связи не только между параметрами, оцениваемыми количественно, но и между явлениями, для которых или вообще нет численных оценок, или такие оценки связаны со значительными экспериментальными трудностями.

В тех случаях, когда исходная информация выражается с помощью качественных признаков (например, «брак—годная», «влияет — не влияет» и т. д.), для изучения связи между ними каждому признаку, имеющему различную интенсивность, присваиваются условные порядковые номера — ранги. Ранг — это порядковый номер одной из величин ряда, расположенных в строго убывающем или возрастающем порядке. Например, в результате контроля технологического процесса, состоящего из пяти операций, выяснилось, что на третьей операции брака нет, в то время как на первой брак наибольший. Присваивая третьей операции ранг «1», а первой—ранг «5» и остальным операциям соответствующие ранги в зависимости от соотношения брака, получают ранжировку ряда операций (табл. 63).

Таблица 63

Ранжировка ряда операций по количеству брака

Номер операции	I	II	III	IV	V
Ранг	5	3	1	2	4

Ранг, таким образом, указывает на то место, которое занимает объект (например, операция) среди других n объектов, ранжированных в соответствии с признаком х (например, брак). Если n объектов ранжированы дважды в соответствии с определенными свойствами, то для определения степени взаимосвязи ранжированных объектов служит коэффициент ранговой корреляции

(185)

где — разность рангов для i-го объекта; n — количество объектов (соответствует объему выборки).

Коэффициент ранговой корреляции обладает следующими свойствами:

1. Коэффициент ранговой корреляции может принимать значения в интервале — 1 < ρ_a > + 1.

2. Если ρ_а = 0, признаки, по которым ранжированы оба ряда, независимы.

3. Если ρ_а = + 1, ранжирование объектов первого ряда полностью совпадает с ранжированием второго ряда.

4. Если ρ_a = - 1, ранжирование объектов в двух рядах полностью противоположно.

Достоверность коэффициента ранговой корреляции определяют одним из методов, изложенных в гл. II. 1.

Пример. В результате двух контрольных проверок технологического процесса, состоящего из девяти операций, произведено ранжирование их по количеству брака, получаемого на каждой операции. Ранг «1» присвоен операции с наименьшим количеством браков, ранг «9» — с наибольшим.

Необходимо определить существование связи между ранжировками двух проверок. Результаты ранжирования и расчета сведены в табл. 64.

Таблица 64

Опытные и расчетные данные

Операция	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	∑
1-я проверка	1	6	4	9	7	8	3	2	5	-
2-я проверка	2	4	6	8	9	7	1	5	3	-
Разность рангов
Δd	-1	2	-2	1	-2	1	2	-3	2	-
(Δd)^2	1	4	4	1	4	1	4	9	4	32

Коэффициент ранговой корреляции

По табл. 61 для k — n — 2 = 9 — 2 = 7 находим, что значение r = 0,67. Так как ρ₀ > r, то гипотезу о наличии связи между двумя ранжированными рядами следует признать. Так как связь между количеством брака на отдельных операциях при двух проверках оказалась существенной, то следует обратить особое внимание на IV, V и VI операции, на которых появляется наибольшее количество брака.

При числе ранжированных рядов больше двух рассчитывают коэффициент конкордации W_K:

(186)

где m — число ранжированных рядов; n — количество объектов; - отклонение суммы рангов по i-му объекту от общего среднего арифметического значения всех рангов Х_р:

ранг, соответствующий i-му объекту в j-ом ряду.

Коэффициент конкордации W_k показывает степень взаимосвязи между ранжированными рядами по разным признакам и обладает следующими свойствами:

1. Коэффициент конкордации изменяется в пределах 0<W_k<1.

2. Если W_k = 0, то связь между ранжированными рядами не существует.

3. Если W_k = 1, все ряды ранжированы одинаково.

В случае ранжирования ряда может оказаться необходимым присвоить нескольким объектам одинаковый ранг. Для получения нормальной ранжировки необходимо приписать объектам, имеющим одинаковые ранги, ранг, равный среднему арифметическому значению мест, которые эти объекты поделили между собой.

Например, получена следующая ранжировка объектов, которая записана в табл. 65.

Таблица 65

Ранжировка объектов

Объект	1	2	3	4	5	6
Ранг	1	2	3	3	2	3

Объекты 2 и 5 поделили между собой 2-е и 3-е места, а объекты 3,4 и 6-4, 5-6 места. Следовательно, в первом случае 2-му и 5-му объектам приписывается ранг , а во втором случае объектам 3, 4 и приписывается ранг .

Если ранжировки содержат совпавшие ранги, то коэффициент конкордации

(187)

Где

(188)

t_i — число повторений каждого ранга в i-ом ряду.

Оценка значимости коэффициента конкордации W_k производится с помощью критерия χ²:

(189)

По табл. 41 в зависимости от уровня значимости q₀ = 0,05 и величины k = n - 1 находим значение χ². Если χ² > χ²_T, то гипотеза о наличии связи между ранжированными рядами принимается. Если χ² < χ_T², то гипотеза отвергается.

Особо важное значение имеет описанный метод при исследовании влияния различных факторов на выходное качество технологического процесса (например, точность) на первой стадии его изучения. В этом случае исследователь перед началом экспериментальных работ составляет примерный перечень факторов, которые, по его мнению, могут оказывать влияние на выходное качество технологического процесса. Затем предлагается нескольким специалистам данной области произвести ранжирование этих факторов по степени их влияния на качество изделий. Каждый из специалистов может по своему усмотрению к имеющимся факторам добавлять новые, учитывая их при ранжировке. В результате исследователь располагает m ранжированными рядами (m — число специалистов) и n факторами, влияющими на выходное качество изделий (n — объем выборки).

Воспользовавшись методикой применения коэффициента конкордации W_k, можно установить степень согласованности мнений специалистов по данному вопросу, а также отобрать наиболее значимые факторы и отбросить наименее влияющие факторы, что уменьшит трудоемкость исследований и создаст условия для получения достоверных результатов.

Пример. Перед проведением экспериментальных работ по исследованию влияния на коробление поршневых колец различных факторов необходимо отобрать из них наиболее значимые. С этой целью анкета с перечнем возможных влияющих факторов была разослана нескольким специалистам, которым было предложено проранжировать эти факторы по степени их влияния на коробление поршневых колец. Результаты опроса специалистов приведены в табл. 66.

На основании обработки данных табл. 66 определяют

Таблица 66

Результаты опроса о возможных причинах коробления поршневых колец

Возможные причины коробления поршневых колец	Номер специалиста								Сумма рангов	Δdi	(Δdi)^2	Общий ранг
	1	2	3	4	5	6	7	8
Увеличенный
припуск на обра-
ботку	8	3	6	5	7	9	9	5	52	8	64	6
Неоднородность
свойств материа-
ла	9	6	10	7	9	10	8	4	63	19	361	9
Остаточные на-
пряжения после		10
литья	10		9	9	10	8	10	10	76	32	1024	10
Снятие подду-
тостей	5	5	1	4	5	6	7	8	41	-3	9	4
Черновое шлифо-
вание торцев	4	9	8	6	6	7	6	9	55	11	121	7-8
Получистовое
шлифование
торцев	6	8	7	10	8	5	4	7	55	11	121	7-8
Чистовое шлифо-
вание торцев	7	7	5	8	3	4	5	3	42	-2	4	5
Расточка торси-
онной канавки	3	4	4	2	4	1	2	6	26	-18	324	3
Хромирование
колец	2	2	3	3	2	2	1	2	17	-27	729	2
Притирка колец	1	1	2	1	1	3	3	1	13	-31	961	1
Сумма ∑				-	-	-	-	-	440	-	3718	-

Значимость W_k определяют с помощью критерия χ²:

По табл. 41 для q₀ = 0,05 и k = n—1 = 10 — 1 = 9 находим, что значение χ_T² = 16,92.Так как χ² > χ_T², то гипотеза наличия связи между ранжированными рядами принимается, т. е. имеется достаточно высокая степень согласованности мнений специалистов по степени влияния перечисленных факторов на коробление поршневых колец.

На рис. 30 приведена диаграмма значимости факторов, приведенных в табл. 66. Из рис. 30 видно, что при исследовании коробления поршневых колец следует учитывать факторы 1, 2, 3, 5, 6, а факторы 4, 7, 8, 9, 10, как менее значащие, должны быть исключены из исследования.

Рис. 30. Диаграмма ранжирования факторов