1.6. Оценка соответствия эмпирического распределения теоретическому

Определение близости опытного (эмпирического) распределения к теоретическому распределению по графикам на рис. 14, 17, 20, 23, 25 может быть, как это указывалось выше, недостаточно точным. Такое визуальное определение носит субъективный характер и разные исследователи могут оценить расхождение между опытным и теоретическим распределением по разному. Как бы хорошо, исходя из условий функционирования технологического процесса, не была подобрана теоретическая кривая, отвечающая определенному закону распределения, между ней и опытным распределением неизбежны некоторые расхождения.

Для технолога, анализирующего технологический процесс, представляет большой интерес ответ на вопрос: чем объясняются эти расхождения? Если эти расхождения объясняются только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, то можно считать, что выбранный закон распределения достаточно близко описывает опытное распределение. В этом случае все свойства теоретического распределения переносятся на опытное, что облегчает задачу технолога по оценке точности технологического процесса.

Если же расхождения между опытным и теоретическим распределениями существенны, то это связано с тем, что выбранный закон распределения неправильно описывает опытное распределение, и оно подчиняется другому закону распределения. Если технологом на основании прошлых исследований или на основе глубокого анализа условий функционирования технологического процесса установлено, что распределение изучаемого признака качества должно быть подчинено определенному закону распределения, а расхождения между опытным и теоретическим распределениями все же существенны, то эти расхождения свидетельствуют о нарушении условий в которых протекает технологический процесс. Таким образом, проверка случайности или существенности расхождения между опытным и теоретическим распределениями имеет глубокий технологический смысл.

В технологии машиностроения применяются несколько объективных оценок близости теоретического и эмпирического распределений, называемых критериями соответствия или согласия. Рассмотрим применение при анализе технологического процесса некоторых критериев соответствия.

Для проверки гипотезы нормальности распределения, под которой понимается предположение о том, что опытное распределение подчиняется закону нормального распределения вычисляются ошибки асимметрии Δ_А эксцесса Δ_Е, соответственно по формулам (58) и (59). Если

(93)

и

(94)

то на основании «правила трех сигм» можно сделать заключение, что асимметрия и эксцесс не имеют в данном случае существенного значения и распределение изучаемого признака качества подчиняется закону нормального распределения.

Нарушение хотя бы одного из условий (93) и (94) свидетельствует о существенном отклонении опытного распределения от закона нормального распределения.

Пример. По данным табл. 19 проверить гипотезу нормальности с помощью асимметрии и эксцесса, если А = 0,385; Е = 0,5.

Определяем ошибки асимметрии и эксцесса по формулам (58) и (59).

Проверяем условия (93) и (94):

;

Следовательно, асимметрия и эксцесс для данного случая не имеют существенного значения, поэтому распределение отклонений от номинального размера диаметра шейки вала подчиняется закону нормального распределения.

Если гипотеза нормальности не подтвердилась, а есть все основания считать, что опытное распределение должно подчиняться закону нормального распределения, то можно по табл. 28, зная величины асимметрии и эксцесса, установить наличие в технологическом процессе систематической ошибки и характер ее изменения во времени. Это обстоятельство дает основание технологу оперативно вмешаться в технологический процесс, устранить или уменьшить эту погрешность, чем обеспечить повышение точности технологического процесса.

Однако для более точной проверки согласования опытного распределения с законом нормального распределения следует пользоваться критерием согласия Колмогорова [22].

Сущность этого метода заключается в определении критерия согласия Колмогорова λ по формуле

(95)

где — накопленная эмпирическая частота; — накопленная теоретическая частота (см. стр.26);

Далее, зная величину , по табл. 39 определяем значение вероятности Р ( ).

Если в результате расчета окажется, что значение вероятности Р( ) > 0,05 (0,05 это уровень значимости наиболее часто применяемый в машиностроении), то опытное распределение подчиняется закону нормального распределения. Если Р( )< 0,05, то гипотеза нормальности отвергается, что вызвано существенным отклонением опытного распределения от закона нормального распределения.

Таблица 39

Значения вероятности Р( ) в зависимости от

	Р( )		Р( )		Р( )
0,30	1,000	0,80	0,5441	1,60	0,0122
0,35	0,9997	0,85	0,4653	1,70	0,0062
0,40	0,9972	0,90	0,3927	1,80	0,0032
0,45	0,9874	0,95	0,3275	1,90	0,0015
0,50	0,9639	1,00	0,2700	2,00	0,0007
0,55	0,9228	1,10	0,1777	2,10	0,0003
0,60	0,8643	1,20	0,1122	2,20	0,0001
0,65	0,7920	1,30	0,0681	2,30	0,0001
0,70	0,7112	1,40	0,0397	2,40	0,0000
0,75	0,6272	1,50	0,0222	2,50	0,0000

Пример. По данным табл. 19 проверить гипотезу нормальности с помощью критерия согласия Колмогорова.

Определяем накопленные эмпирические и теоретические частоты для всех интервалов, абсолютную разность между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами для каждого интервала. Затем находим максимальную абсолютную разность. По данным табл. 19

=4.2

Рассчитываем критерий согласия по формуле (95).

По табл. 39 находим, что значение вероятности Р( ) = 0,9973. Так как Р( )> 0,05, то есть серьезные основания считать, что опытное распределение подчиняется закону нормального распределения.

Критерий согласия Колмогорова отличается своей простотой, поэтому он очень часто применяется в практике анализа технологических процессов. Однако этот критерий можно применять только в том случае, когда предполагаемое распределение полностью известно заранее из каких-либо теоретических соображений, т. е. когда известен не только вид функции распределения, но и все входящие в нее параметры. На практике обычно известен общий вид функции предполагаемого распределения, а входящие в нее параметры определяют на основе обработки опытных данных. В этом случае, применяя критерий согласия Колмогорова, мы можем принять гипотезу, которая в действительности плохо согласуется с опытными данными [5]. Критерий согласия Колмогорова рекомендуется применять только тогда, когда, исходя из условий функционирования технологического процесса, технолог убежден в подчиненности распределения изучаемого признака качества закону нормального распределения и параметры распределения определены на основе достаточно большого числа наблюдений, т. е. когда обеспечена высокая точность и надежность вычисления этих параметров.

Оценка соответствия опытного и теоретического распределений производится также с помощью критерия χ². Критерий χ² применяется в том случае, когда проверяют согласие опытного распределения не только с законом нормального распределения, но и с другими законами распределения. При достаточно большом числе наблюдений данный критерий является наиболее достоверным, так как он обеспечивает минимальную ошибку в принятии неверной гипотезы по сравнению с другими критериями. Кроме того, критерий χ² применим и в тех случаях, когда параметры закона распределения неизвестны и заменяются соответствующими выборочными характеристиками.

Критерий χ² определяют по формуле

(96)

где — эмпирическая частота, соответствующая i-му интервалу; — теоретическая частота, соответствующая i-му интервалу; f — число интервалов.

Число степеней свободы

(97)

где g — число параметров теоретической функции распределения.

В табл. 40 приведено число параметров для некоторых законов распределения.

Таблица 40

Число параметров законов распределения

Закон распределения	Параметры	Число параметров
Закон нормального распределения		2
Закон распределения с функцией а(Т)		3
Закон распределения с функцией b(Т)		3
Закон эксцентриситета		1
Закон модуля разности		2

По табл. 41, зная k и χ² определяют вероятность Р (χ²).. Если Р (χ²) > 0,05, то следует гипотезу соответствия опытного распределения данному закону распределения признать правдоподобной. Если Р (χ²) < 0,05, то гипотеза соответствия отвергается как неправдоподобная.

При пользовании критерием согласия χ², как было указано выше, объем выборки п должен быть достаточно большим. Однако достаточно большим должна быть и эмпирическая частота в отдельных интервалах.

На практике рекомендуется иметь в каждом интервале не менее пяти наблюдений. Если частоты < 5 в отдельных интервалах, то эти интервалы объединяются в один с частотой, равной сумме частот объединенных интервалов.

Пример. По данным табл. 32 проверить соответствие опытного распределения закону эксцентриситета с помощью критерия согласия χ².

В табл. 32 приведены значения эмпирических и теоретических частот, их разность ( - ), квадраты этих разностей для всех интервалов и значение величины для каждого интервала. По этим данным с помощью формулы (96) определяем, что χ²= 2,91. Затем находим число степеней свободы k по формуле (97)

Таблица 41

Значения χ² в зависимости от k и Р(χ²)

k	Р(χ^2)
	0,99	0,98	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50
1	0,000	0,001	0,004	0,016	0,064	0,148	0,455
2	0,020	0,040	0,103	0,211	0,446	0,713	1,386
3	0,115	0,185	0,352	0,584	1,005	1,424	2,37
4	0,297	0,429	0,711	1,064	1,649	2,20	3,36
5	0,554	0,752	1,145	1,610	2,34	3,00	4,35
6	0,872	1,134	1,635	2,20	3,07	3,83	5,35
7	1,239	1,564	2,17	2,83	3,82	4,67	6,35
8	1,646	2,03	2,73	3,49	4,59	5,53	7,34
9	2,09	2,53	3,32	4,17	5,38	6,39	8,34
10	2,56	3,06	3,94	4,86	6,18	7,27	9.34
11	3,05	3,61	4,58	5,58	6,99	8,15	10,34
12	3,57	4,18	5,23	6,30	7,81	9,03	11,34
13	4,11	4,76	5,89	7,04	8,63	9,93	12,34
14	4,66	5,37	6,57	7,79	9,47	10,82	13,34
15	5,23	5,98	7,26	8,55	10,31	11,72	14,34
16	5,81	6,61	7,96	9,31	11,15	12,62	15,34
17	6,41	7,26	8,67	10,08	12,00	13,53	16,34
18	7,02	7,91	9,39	10,86	12,86	14,44	17,34
19	7,63	8,57	10,11	11,65	13,72	15,35	18,34
20	8,26	9,24	10,85	12,44	14,58	16,27	19,34
21	8,90	9,92	11,59	13,24	15,44	17,18	20,3
22	9,54	10,60	12,34	14,04	16,31	18,10	21,3
23	10,20	11,29	13,09	14,85	17,19	19,02	22,3
24	10,86	11,99	13,85	15,66	18,06	19,94	23,3
25	11,52	12,70	14,61	16,47	18,94	20,9	24,3
26	12,20	13,41	15,38	17,29	19,82	21,8	25,3
27	12,88	14,12	16,15	18,11	20,7	22,7	26,3
28	13,56	14,35	16,93	18,94	21,6	23,6	27,3
29	14,26	15,57	17,71	19,77	22,5	24,6	28,3
30	14,95	16,31	18,49	20,6	23,4	25,5	29,3

Число интервалов f= 6, так как 6,7 и 8 интервалы объединены в один с = 15 и = 11,8.

По табл. 40 число параметров g = 1.

Для значения k = 4 и χ² =2,91 по табл. 41 находим: Р(χ²=2,20)= 0,70; Р(χ²=3.36)= 0,5. Следовательно, 0,5 < Р(χ²=2,91)< 0,7. Эта вероятность больше 0,05 и поэтому гипотезу соответствия опытного распределения закону эксцентриситета можно считать правдоподобной.

Проверка соответствия опытного распределения теоретическому с помощью любых критериев согласия не обладает полной определенностью. Если в результате расчета вероятности Р (λ) или Р (χ²) достаточно велики (> 0,05), то этот факт сам по себе ни в коем случае не может считаться доказательством справедливости гипотезы соответствия, а указывает только на то, что гипотеза не противоречит опытным данным [5]. В связи с этим можно признать допустимость гипотезы соответствия до тех пор, пока более обстоятельные исследования (например, при увеличенном числе наблюдений) не подтвердят эту гипотезу или не приведут к противоположному заключению.