книги / Теория электрической связи. Основные понятия

30

имеет начало и конец. Однако во многих случаях конечностью времени действия сигнала можно пренебречь и для анализа допустимо использовать аппарат, пригодный для идеальных периодических сигналов.

Спектры периодических сигналов. Простейшим периодическим сигналом является гармоническое колебание (тока, напряжения, заряда, напряженности поля), определяемое законом

s(t)= Acos	2π	t − ψ		= Acos(ω t − ψ)
					(2.7)
				1
T

при −∞ < t < +∞. Здесь А, Т, ωl, ψ – постоянные амплитуда, период, частота и фаза.

Указание этих параметров, образующих спектр гармонической функции, и будет ее частотным представлением.

Обычно прибегают к графическому изображению спектра. По оси абсцисс наносятся частоты, по оси ординат – амплитуды и фазы. Для удобства вычерчиваются два графика, представляющих амплитудный и фазовый спектры соответственно. Очевидно, что для гармонического сигнала каждый из этих спектров изобразится единственной точкой. График становится более наглядным, если из указанной точки опустить на ось частот перпендикуляр, который будет изображать так называемую спектральную линию.

Гармонический сигнал находит широкое применение на практике, в частности, при регулировке устройств обработки информации и снятии их амплитудных и частотных характеристик.

Произвольный детерминированный сигнал определяется как некоторая заданная функция времени x(t). В настоящее время в большинстве случаев произвольный детерминированный сигнал представляется в виде надлежащим образом выбранной совокупности элементарных сигналов. Основой для такого рассмотрения являются ряды Фурье.

Итак, любой сложный периодический сигнал может быть представ-

лен в виде суммы элементарных гармонических сигналов, действующих при −∞ < t < +∞.

Пусть заданная на интервале t1 ≤ t ≤ t2 функция s(t) периодически по-

вторяется с частотой ω1 = 2π , где Т – период повторения, причем выпол-

T

няются следующие условия (условия Дирихле):

1) в любом конечном интервале функция s(t) должна быть непрерывна или должна иметь конечное число разрывов первого рода;

2) в пределах одного периода функция s(t) должна иметь конечное число экстремальных значений.

Известны две формы разложения в ряд Фурье: тригонометрическая и комплексная. Тригонометрическая форма разложения выражается в виде

31

		a0	∞
	s(t) =		+ ∑(an cosnω1t + bn sin nω1t), n = 1, 2, ...					(2.8)
	2		n=1
	или, что равносильно,
				a0	∞
			s(t) =		+ ∑ An cos(nω1t − ψ		),	(2.9)
						n
			2		n=1

где a0 – постоянная составляющая (действующее значение); аn и bn – ам- 2

плитуды косинусоидальных и синусоидальных членов разложения s(t). Эти величины определяются выражениями:

			a						1 t2
			0			=				∫ s(t)dt,	(2.10)
		2							T t
									1
a		=		2				t2 s(t)cosnω tdt,			(2.11)
	n		T t∫						1
		1
b		=			2			t2 s(t)sin nω tdt.			(2.12)
	n				T t∫				1
		1

Амплитуда (модуль) и фаза (аргумент) n через аn и bn следующим образом:

An = an2 + bn2 ,

ψn = arctg bn . an

-й гармоники выражаются

(2.13)

(2.14)

Ряд Фурье в комплексной форме обычно записывается следующим образом:

				∞	2πkj		t
	s(t)= ∑ Ck e						T ,			(2.15)
				k=−∞
			1	T∫ s(t)e−2πkj			t
		=						dt.
	Ck					T				(2.16)
		T 0

Таким образом, если функция x(t) имеет конечную длительность (т.e. ограничена по времени) и удовлетворяет указанным выше условиям, она может быть сколь угодно точно представлена суммой элементарных детерминированных сигналов типа синусоиды. При этом каждый элементарный сигнал характеризуется своей амплитудой, определяемой форму-

лой (2.13), и частотой 2πk = ωk . Графически это можно изобразить так,

T

как показано на рис. 2.3. Расстояние между соседними частотами гармоник по оси частот равно 2π .

T

32

Амплитуда

С3 С4 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Сk

С2

С1

π

ω1 ω2 ω3 ω4

ωk

Рис. 2.3. Коэффициенты ряда Фурье

Следует отметить, что приведенным выше условиям Дирихле удовлетворяют все физически осуществимые сигналы. Поэтому при представлении периодических сигналов в виде рядов Фурье эти условия в практике не приходится специально оговаривать.

В тех случаях, когда сигнал представляет собой функцию, четную относительно t, т. е. s(t) = s(–t), в тригонометрической записи остаются только косинусоидальные члены, так как коэффициенты bn в соответствии с формулой (2.12) обращаются в нуль. Для нечетной относительно t функции s(t), наоборот, в нуль обращаются коэффициенты ап (2.11), и ряд состоит только из синусоидальных членов.

Таким образом, структура частотного спектра периодического сигнала полностью определяется двумя характеристиками – амплитудной и фазовой, т. е. модулем и аргументом кoмплeкcнoй амплитуды (формулы (2.13) и (2.14)). Наглядное представление о «ширине» спектра и относительной величине отдельных его составляющих дает графическое изображение спектра (см. рис. 2.3). Здесь по оси ординат отложены модули амплитуд, по оси абсцисс – частоты гармоник.

Спектр периодической функции состоит из отдельных «линий», соответствующих дискретным частотам: 0, ω1, 2ω1, ..., nω1. Отсюда и название – линейчатый, или дискретный, спектр.

Существует очень важное понятие – практическая ширина спектра сигнала. Интуитивно ясно, что если полоса пропускания какого-либо устройства недостаточно широкая, чтобы пропустить все гармоники, существенно влияющие на форму сигнала, то сигнал на выходе этого устройства исказится. Таким образом, можно сказать, что ширина полосы пропускания устройства не должна быть ýже ширины спектра сигнала.

Существует несколько критериев для определения практической ширины спектра сигнала. Например, ширину спектра можно определять как область частот, в пределах которой сосредоточена основная энергия сигнала (например 95 %). Можно отбрасывать все гармоники с амплитудами, меньшими 1 % максимальной амплитуды в спектре, тогда частоты оставшихся гармоник и определят ширину спектра сигнала.

33

Однако независимо от критерия, по которому определяют ширину спектра сигнала, можно выделить такие общие для всех сигналов закономерности: чем круче фронт сигнала, чем короче импульсы и чем больше

пауза между импульсами, тем шире во всех этих случаях спектр сигнала, т.е. тем медленнее убывают амплитуды гармоник с ростом их номера.

Хотя условия одновременного ограничения длительности и полосы частот не могут быть выполнены в точности, все же можно ограничить спектр полосой F и иметь малые значения сигнала вне интервала Т.

Значение рядов Фурье в современной технике очень велико. Основанный на формулах (2.8) и (2.9) гармонический анализ сложных периодических сигналов в сочетании с принципом наложения (суперпозиции) представляет собой эффективное средство для изучения влияния линейных систем на прохождение сигналов.

Если на входе линейной системы, характеристики которой известны, существует сигнал e(t) (электродвижущая сила), то для нахождения выходного сигнала достаточно учесть амплитудные и фазовые изменения, претерпеваемые каждой из гармонических составляющих сигнала при прохождении через рассматриваемую систему. Условие линейности системы позволяет рассматривать прохождение каждой из гармоник сигнала независимо от всех остальных гармоник.

Спектры непериодических сигналов. В реальных системах передачи всегда действуют непериодические сигналы, так как все сигналы имеют конечную длительность.

Непериодический сигнал можно рассматривать как периодический с периодом T → ∞. При этом разность частот между соседними гармониками стремится к нулю. Спектр становится сплошным, амплитуды – бесконечно малыми. При Т → ∞ частота ω1 превращается в dω, пω1 – в текущую частоту ω, а операция суммирования — в операцию интегрирования.

Если функция x(t) не ограничена во времени, удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном интервале и дополнительно удовлетворяет условию

∞∫		s(t)		dt < ∞,	(2.17)
−∞

т. е. интеграл (2.19) сходится, то ее можно представить следующим интегральным выражением:

		1	∞	∞
	s(t)=		∫e jωtdω ∫ s(t)e		− jωtdt,	(2.18)
		2π −∞		−∞

называемым интегралом Фурье.

Внутренний интеграл, являющийся функцией ω, обозначим

34

		∞	− jωtdt .
S&(ω) = ∫ s(t)e				(2.19)
	-∞
После подстановки (2.19) в выражение (2.18) получаем
s(t) =	1	∞S&(ω)e jωtdω.		(2.20)
	2π −∞∫

Выражения (2.19) и (2.20) представляют собой прямое и обратное преобразования Фурье. S(ω) называется спектральной плотностью, или спектральной характеристикой функции s(t). Выражение (2.20) представляет собой непериодическую функцию в виде суммы (интеграла) гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудами.

Из анализа преобразований Фурье вытекает следующее важное положение: огибающая сплошного спектра (модуль спектральной плотно-

сти) непериодической функции и огибающая линейчатого спектра периодической функции (полученной из непериодической путем продолжения ее с периодом Т) совпадают по форме и отличаются только масштабом.

Поскольку спектральная характеристика – комплексная величина, то ее можно представить в виде

S&(ω) = A(ω) − jB(ω) = S(ω)e− jψ(ω) ,

(2.21)

где А(ω) и В(ω) – соответственно действительная и мнимая части спектральной плотности; S(ω) и ψ(ω) – амплитудно-частотная (АЧХ) и фазочастотная (ФЧХ) характеристики спектральной плотности.

Непосредственно из формулы (2.19) вытекают следующие выражения для А(ω) и В(ω):

∞
A(ω) = ∫s(t)cosωtdt,	(2.22)
−∞
∞
B(ω) = ∫s(t)sin ωtdt.	(2.23)

−∞

Очевидно также, что модуль и фаза спектральной плотности определяются выражениями:

S(ω) = [A(ω)]2 + [B(ω)]2 ,			(2.24)
ψ(ω) = arctg	B(ω)	.	(2.25)
	A(ω)

Как и в случае ряда Фурье, модуль спектральной плотности есть функция четная, а фаза – нечетная относительно частоты ω. Итак, структура спектра непериодического сигнала полностью определяется функциями частоты S(ω) (спектром амплитуд) и ϕ(ω) (спектром фаз).

35

2.3. Случайный процесс – модель реальных сигналов

Как уже отмечалось, в реальных условиях все сигналы имеют случайный характер. При передаче информации сигнал в месте приема заранее неизвестен и потому не может быть описан определенной функцией времени. То же самое можно сказать и о помехах, появление которых обусловлено самыми различными и чаще всего неизвестными причинами.

Имеется существенное различие между просто состоянием x(t) объекта и сигналом x(t). Оно состоит в том, что единственная функция x(t) не исчерпывает всех важных свойств сигналов. Ведь понятие функции предполагает, что нам известно значение х (либо правило его вычисления) для каждого t. Если же это известно получателю сигнала, то отпадает необходимость в передаче: функция x(t) может быть и без этого воспроизведена на приемном конце. Следовательно, единственная однозначная функция вещественного аргумента не может служить моделью сигнала. Такая функция приобретает сигнальные свойства только тогда, когда она является одной из возможных функций. Другими словами, моделью сигнала может быть набор (или, как еще говорят, ансамбль) функций параметра t, причем до передачи неизвестно, какая из них будет отправлена; это становится известным получателю только после передачи. Каждая такая конкретная функция называется реализацией. Если теперь еще ввести вероятностную меру на множестве реализаций, то мы получим математическую модель, называемую случайным процессом.

Таким образом, реальные сигналы и помехи представляют собой случайные процессы. Случайный процесс описывается случайной функцией, значения которой при любом значении аргумента являются случайными величинами. В отличие от детерминированной функции, однозначно определяющей и, таким образом, достоверно предсказывающей значение описываемой величины в любой заданный момент времени, ход случайной функции предсказан быть не может. Самое большое, что можно сказать

заранее о поведении случайной функции, это вероятность, с которой она

вбудущем может принять тот или иной вид из множества возможных.

Вряде практически важных задач случайный процесс наряду с вероятностным описанием можно описать совокупностью неслучайных числовых характеристик, постоянных или меняющихся во времени. От этих характеристик требуется, чтобы в условиях конкретно поставленной задачи они отражали самое существенное случайного процесса. Вероятностными характеристиками совокупности большого числа реализаций (ансамбля реализаций) являются законы распределения, которые могут быть получены теоретически или на основе экспериментальных данных.

Законы распределения являются достаточно полными характеристиками случайного процесса. Однако они сложны и требуют для своего определения обработки большого экспериментального материала. Кроме то-

36

го, такое подробное описание процесса не всегда бывает нужным. Для решения многих практических задач достаточно знать более простые (хотя и менее полные) характеристики случайного процесса. Такими характеристиками являются средние значения и функция корреляции случайного процесса.

Имеется несколько различных подходов к тому, как вводить вероятностную меру на множестве реализаций. Для инженерных приложений оказывается удобным определение случайного процесса как такой функции времени x(t), значение которой в каждый данный момент является случайной величиной. Случайная величина полностью характеризуется распределением вероятностей, например, плотностью P1(x1|t1); однако, чтобы охарактеризовать случайный процесс, нужно описать, связаны ли (и если да, то как) значения реализации, разделенные некоторыми интервалами времени. Так как связь только двух таких значений, описываемая распределением второго порядка Р2(х1, x2|t1, t2), может неполно характеризовать процесс в целом, вводят распределения третьего, четвертого, ..., n-го порядков: Рп (х1, ..., хп | t1, .... tn). В конкретных задачах обычно ясно, до какого порядка следует доходить в описании процесса.

В ряде практически важных задач случайный процесс наряду с вероятностным описанием можно описать совокупностью неслучайных числовых характеристик, постоянных или определенным образом изменяющихся во времени. От этих характеристик требуется, чтобы в условиях конкретно поставленной задачи они отражали самое существенное случайного процесса (см. подразд. 2.6).

Классы случайных процессов

Необходимость моделирования самых разнообразных сигналов приводит к построению частных моделей случайных процессов, т. е. наложению дополнительных ограничений на параметры распределений и на сами распределения. Перечислим наиболее важные классы случайных процессов.

Непрерывные и дискретные по времени процессы. Случайный процесс с непрерывным временем характеризуется тем, что его реализации определяются для всех моментов из некоторого (конечного или бесконечного) интервала Т параметра t. Дискретный по времени процесс задается на дискретном ряде точек временной оси (обычно равноотстоящих).

Непрерывные и дискретные по информативному параметру процессы. Эти процессы различаются в зависимости от того, из какого (непрерывного или дискретного) множества принимает значение реализация х случайной величины X.

Стационарные и нестационарные процессы. Так называются процессы в зависимости от постоянства или изменчивости их статистических ха-

37

рактеристик. Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если для любого п конечномерные распределения вероятностей не изменяются со временем, т.е. при любом τ выполняется условие

Pn (x1,..., xn		t1 + τ,t2 + τ,...,tn + τ) = Pn (x1,..., xn		t1,t2 ,...,tn ).	(2.26)

Если же условие независимости от времени выполняется только для первых двух моментов (среднего и функции автокорреляции), то процесс называется стационарным в широком смысле (или в смысле Хинчина).

Эргодические и неэргодические процессы. На практике при описании случайных величин вместо рассмотрения их распределений часто ограничиваются только их числовыми характеристиками, обычно моментами. В тех случаях, когда распределение неизвестно, моменты (и другие числовые характеристики) можно оценить статистически.

Перенос такой практики на произвольные случайные процессы требует не только учета зависимости отстоящих друг от друга («разнесенных») во времени значений, но и наложения дополнительных требований. Требование совпадения величин, получающихся при усреднении по ансамблю (т. е. при фиксированном времени) и при усреднении по времени (точнее, по одной реализации), и называется условием эргодичности. Это требование можно толковать и как совпадение результатов усреднения по любой реализации. Как и для стационарности, можно различать эргодичность в узком и широком смысле.

Марковские процессы. Дискретный случайный процесс называется

марковским, если явная статистическая зависимость	распространяется
в прошлое только на один шаг, т.е.
P(xn, tn xn-1, tn-1; xn-2, tn-2; ...) = P(xn, tn xn-1, tn-1).	(2.27)

Если такая зависимость распространяется на k шагов в прошлое, то процесс называется обобщенным марковским процессом k-го порядка.

Приведем примеры, с которыми часто имеют дело в теории сигналов.

Некоторые модели ансамбля реализаций

Гауссов случайный процесс. Удобной моделью помех и некоторых полезных сигналов является стационарный нормальный случайный процесс. Случайные мгновенные значения величины x(t) предполагаются подчиненными нормальному закону (с нулевым средним), т. е. плотность распределения первого порядка выражается формулой:

p(x)=		1				(x − m	x	)2
					exp −			.	(2.28)
						2σ2
		2πσ
				x
						x

38

Нормальный (гауссов) закон распределения случайных величин чаще других встречается в природе. Нормальный процесс особенно характерен для помех в каналах связи. Он очень удобен для анализа. Поэтому случайные процессы, распределение которых не слишком отличается от нормального, часто заменяют гауссовым процессом.

В данном случае рассматривается стационарный и эргодический гауссов процесс. Поэтому под тх и σх можно подразумевать соответственно постоянную составляющую и среднюю мощность флуктуационной составляющей одной (достаточно длительной) реализации случайного процесса.

Графики плотности вероятности при нормальном законе для некоторых значений σх изображены на рис. 2.4. Функция р(х) симметрична относительно среднего значения. Чем больше σх, тем меньше максимум, а кривая становится более пологой (площадь под кривой р(х) равна единице при любых значениях σх).

p

σх=0,5

σх=1 2/ π

σх=2

									x – тх
	-2		-1	0	1		2

Рис. 2.4. Одномерная плотность вероятности нормального распределения

Широкое распространение нормального закона распределения в природе объясняется тем, что при суммировании достаточно большого числа

независимых или слабо зависимых случайных величин распределение суммы близко к нормальному при любом распределении отдельных слагаемых. Это положение, сформулированное в 1901 г. А.М. Ляпуновым, получило название центральной предельной теоремы.

Наглядными физическими примерами случайного процесса с нормальным законом распределения являются шумы, обусловленные тепловым движением свободных электронов в проводниках электрической цепи или дробовым эффектом в электронных приборах. Не только шумы и помехи, но и полезные сигналы, являющиеся суммой большого числа независимых случайных элементарных сигналов, например, гармонических колебаний со случайной фазой или амплитудой, часто можно трактовать как гауссовы случайные процессы.

На основе функции р(х) можно найти относительное время пребывания сигнала x(t) в определенном интервале уровней, отношение макси-

39

мальных значений к среднеквадратическому (пик-фактор) и ряд других важных для практики параметров случайного сигнала.

Отношение времени пребывания x(t) в заданном интервале к общему времени наблюдения можно трактовать как вероятность попадания функции x(t) в указанный интервал. При этом следует заметить, что данные о распределении вероятностей не дают никаких представлений о поведении функции x(t) во времени.

Белый шум используют как модель наиболее тяжелого вида помехи в каналах связи. Он является стационарным случайным процессом с постоянной спектральной плотностью Wx(ω) = W0 = const. Если в вы-

ражение для корреляционной функции
Rx(τ) =	1	∞W		(ω)e jωτdω	(2.29)
	2π −∞∫		x
подставить W0, то получим
Rx(τ) = W0 δ(τ),					(2.30)

где δ(τ) – дельта-функция.

Для белого шума с бесконечным и равномерным спектром корреляционная функция равна нулю для всех значений τ, кроме τ = 0, при котором Rx(0) обращается в бесконечность. Подобный шум, имеющий игольчатую структуру с бесконечно тонкими случайными выбросами, иногда называют дельта-коррелированным процессом. Дисперсия белого шума бесконечно велика. Если спектр Wx(ω) ограничен сверху частотой ωВ, то такой процесс называется квазибелым шумом.

Сигнал как колебание со случайными огибающей и фазой. Понятия амплитуды и фазы, введенные первоначально для гармонических сигналов, с помощью модуляции были применены к сигналам, которые уже не являются гармоническими. Можно применить их к произвольным сигналам: пока чисто формально можно задать такие функции A(t) и ψ(t), чтобы для заданной функции s(t) было выполнено равенство

s(t)= A(t) cos ψ(t).

(2.31)

A(t) и ψ(t) можно интерпретировать как «огибающую» и «фазу» колебания с частотой ω0. Оказывается, свобода выбора в задании функций A и ψ при определенных условиях весьма ограничена. Комплекс этих условий получил название узкополосности сигнала x(t).

Очень наглядным является векторный вариант модели (2.31): A и ψ можно рассматривать как полярные координаты некоторого вектора. Тогда всякое гармоническое колебание s(t) = S cos(ω0t + φ), имеющее частоту ω0, изобразится как постоянный вектор с амплитудой S и углом φ к направлению, принятому за ось Ох.