книги / Теория электрической связи. Основные понятия

Рис. 2.5. Графическое представление сигнала

40

2.4. Графическое представление сигналов

Достаточно широкий класс реальных сигналов охватывается их моделью в виде марковского процесса. Положим, сложный сигнал строится из некоторого дискретного множества элементарных сигналов. Если источник генерирует в данный момент j-й элементарный сигнал, то говорят, что он находится в j-м состоянии. Полное описание процесса заключается в задании набора элементарных сигналов (состояний) {εj} и условных вероятностей pjk перехода источника из состояния j в состояние k.

Для полноты модели в рассмотрение можно включить случай, когда вероятность перехода pjk зависит от времени пребывания источника в состоянии j: вероятность перехода в состояние k в интервале (τ, τ + dτ) после перехода в состояние j равна pjk(τ)dτ.

Этот сложный процесс может быть отражен очень простой графиче-

		c	ской моделью. Способ построения мо-
			дели заключается в следующем. Со-
	2		стояниям источника ставятся в соот-
	b	d	ветствие точки (узлы);	возможность
			перехода из данного состояния в дру-
0	1	3	гое отображается наличием линии
	a	e	(ветви), соединяющей	соответствую-
	f		щие узлы; направление перехода ука-
	g		зывается стрелкой; вероятность пере-
			хода указывается числом около надле-

жащей ветви. Величины подчиняются очевидному соотношению ∑ p jk = 1.

k

Полученный в результате граф может выглядеть, например, как на рис. 2.5. Известно, что существуют преобразования графа, не изменяющие определенные свойства, но упрощающие его структуру. Причем пользоваться преобразованиями Лапласа функций pjk(τ) более удобно, чем самими функциями pjk(τ). Кроме удобства при написании признаков ветвей графа, функции Pjk(s) позволяют очень просто вычислить временные моменты сигналов. Пусть, например, нас интересуют только те сигналы, которые начинаются с состояния j и кончаются состоянием k. После соответствующих преобразований графа можно получить функцию Pjk(s) в виде

степенного ряда Pjk(s) = a0 + a1s + a2s2 +...

Коэффициент а0 дает безусловную вероятность осуществления перехода j→k, т. е. вероятность появления сигнала любой длительности, начи-

нающегося с j-го символа и заканчивающегося k-м. Величина − a1 харак- a0

41

теризует среднюю длительность такого сигнала; дисперсия длительности

	2a	2	a		2
определяется величиной				1
			−		.
	a0		a0

Из полного графа случайного процесса легко определить любую интересующую нас реализацию, выделив в нем соответствующую траекторию. По характеристикам ветвей траектории находится вероятность данной реализации и ее остальные временные статистические характеристики.

Наиболее эффективно граф может быть использован для нахождения статистических характеристик подмножества сигналов, выделяемого по какому-либо признаку.

2.5. Геометрическое представление сигналов

Основой геометрического представления сигналов служит тот факт, что совокупность чисел х1, х2, ... , хn, независимо от их происхождения, всегда может рассматриваться как совокупность координат точки в n-мерном пространстве, т. е. соответствующий вектор в n-мерном пространстве определяется совокупностью п чисел, которые являются его проекциями на соответствующие оси. Это записывается следующим образом:

x = (x1, x2 , ..., xn ).

Сигнал с ограниченным спектром, согласно теореме Котельникова, полностью задается дискретным множеством равноотстоящих отсчетов. Совокупность чисел, характеризующих значение функций отсчета в соответствующих точках, можно рассматривать как совокупность координат некоторой точки; таким образом, сигнал также представляется как вектор (точка) в многомерном пространстве, которое можно назвать пространством сигналов. Размерность пространства сигналов равна числу степеней свободы рассматриваемого сигнала. Как отмечалось выше, оценкой числа степеней свободы отрезка сигнала длительностью Т и ограниченной шириной F спектра является число 2FT.

В большинстве практических случаев число измерений пространства сигналов очень велико. Хотя такие пространства не допускают наглядного изображения, аналитические соотношения геометрии значительно облегчают рассмотрение проблем связи.

Расстояния в пространстве сигналов имеют наглядный смысл. Для так называемого евклидова пространства справедливо следующее соотношение для длины вектора:

	n	2j ,
x	= ∑ x		(2.32)
	j=1

которое является обобщением обычной теоремы Пифагора.

42

В n-мерном пространстве длина вектора называется его нормой. Если рассмотреть два вектора x1 и х2 (на рис. 2.6 показана двумерная модель), то можно найти угол между ними и расстояние между концами векторов.

	Исходя из рис. 2.6, получаем
х1	соотношения для определения зна-
x12	чений углов α1, α2, γ:

||х1||		d
x22	γ	х2
α1	||х2||
	α2
0	x11	x21

Рис. 2.6. Двумерная модель векторного пространства

cosα =

x11

; cosα

2

=

x21

;

1

x1

x2

sin α =

x12

; sin α

2

=

x22

.

1

x1

x2

И далее

cosα1 cosα2 + sin α1 sin α2 = = cos(α1 − α2) =

= cos γ = x11x21 + x12x22 .

x1 x2

Обобщая полученное выражение на n-мерное пространство, можем записать

n

∑ x1 j x2 j

(2.33)

cos γ =

j

=1

.

x1

x2

Для расстояния d между концами векторов будем иметь

d 2 = (x

21

− x )2

+ (x

22

− x )2

11

12

или для n-мерного случая

n

− x1j )2 .

d =

∑(x2 j

(2.34)

j=1

Для энергии Ec сигнала, представленного отсчетами, получено вы-

ражение

=

1

n

2.

E

∑ x

(2.35)

c

2F j=1

j

Сравнивая значение энергии с соотношением (2.35), можем записать ||х||2 = 2FEс.

Так как длительность сигнала конечна, то можно определить среднюю мощность сигнала Рс следующим образом: Pс = Eс /T. Тогда

43
x = 2FTPc .	(2.36)

Итак, норма вектора сигнала (т. е. длина вектора) при заданной длительности и ширине спектра сигнала определяется его средней мощностью. Для стационарного случайного сигнала операция осреднения квадрата реализации по времени определяет дисперсию процесса, следовательно, норма вектора сигнала будет пропорциональна его среднеквадратическому значению:

x

= σx

2FT

.

(2.37)

Простое геометрическое толкование имеют различные операции над сигналами. Например, если сигнал в канале искажается определенным образом, то пространство сигналов искривляется за счет определенного смещения каждой точки. Пропусканию сигнала через фильтр с полосой, меньшей ширины спектра, соответствует проектирование точки сигнала на некоторое подпространство, потому что такая фильтрация уменьшает число степеней свободы сигнала. Наконец, сложение сигнала с помехой означает смещение точки сигнала на величину, пропорциональную среднеквадратическому значению помехи. Если помеха носит случайный характер, то она образует некоторую область неопределенности около каждой точки пространства сигналов.

Геометрическая модель позволяет дать наглядное изображение процессов, происходящих в линиях связи.

2.6. Числовые характеристики сигналов и помех

Энергетические характеристики. Основными энергетическими характеристиками вещественного сигнала s(t) являются его мощность

и энергия.

Если s(t) – напряжение u(t) или ток i(t), то мгновенная мощность, выделяемая на активном сопротивлении R, определяется через квадрат мгновенного значения:

p(t) = u2(t) / R = i2(t) R.

(2.38)

Обычно в теории электросвязи принимают R = 1 Ом (кроме особо оговариваемых случаев), и тогда в общем виде

p(t) = s2(t).

(2.39)

Принятие такого условия связано с тем, что, как правило, интересуются не конкретным значением мощности, а отношениями мощностей сигнала и помехи. При вычислении отношения сопротивление R сокращается, поэтому для упрощения вычислений его можно принять единичным.

44

Энергия периодического сигнала на интервале (t1,t2) определяется как интеграл от мгновенной мощности:

				t2				t2	2(t)dt .
			W = ∫ p(t)dt = ∫ s							(2.40)
				t1				t1
Отношение
		W					1	t2
				=				∫ s2 (t)dt = Ps (t)		(2.41)
	t		− t		t		− t
		2	1			2	1	t
								1

имеет смысл средней мощности Ps(t) на интервале t1, ..., t2. Для случайных сигналов (помех) среднюю мощность можно вычислить по спектральной плотности мощности Gx(f). Поскольку функция Gx(f) показывает распределение мощности по частотам, полная мощность выражается интегралом

∞
Ps (t) = ∫Gx ( f )df .	(2.42)
0

Для того чтобы найти, например, мощность случайного сигнала (помехи), заключенную в полосе частот f1, ..., f2, надо провести интегрирование в этой полосе:

			f2
		Ps (t) = ∫Gx ( f )df .				(2.43)
			f1
	Средняя мощность периодического сигнала, рассматриваемая на
	всей оси времени, совпадает со средней мощностью за период Т.
	Для гармонического сигнала u(t) = Um cos(ωt+ϕ0) средняя мощность
		2 T		2
	Pu =	Um	∫cos2(ωt + ϕ0)dt =	Um		(2.44)
		T		2
			0

не зависит ни от частоты, ни от начальной фазы.

Поскольку периодический сигнал s(t) можно представить в виде тригонометрического ряда Фурье, и интеграл суммы равен сумме интегралов,

следует, что
	A2	∞		A2
P =	0	+ ∑		mn	.	(2.45)
s	2	n=1		2

Итак, полная средняя мощность периодического сигнала равна сумме средних мощностей, выделяемых отдельно постоянной составляющей А0/2 и гармониками с амплитудами Аm1, Аm2, ..., причем средняя мощность не зависит от частот и фаз отдельных гармоник.

Числовые характеристики. Под уровнем понимают отношение значений мощности Рx или напряжения Ux в рассматриваемой точке х к значению мощности Р0 или напряжения U0, выбранными для сравнения. Поскольку значения мощности (напряжения) могут изменяться в больших

45

пределах (десятки и сотни раз), для измерения уровней введена логарифмическая величина уровня – децибел (дБ), равная 10 lg(Px / P0) для мощности и 20 lg(Ux / U0) для напряжения. В качестве абсолютного нулевого уровня для сравнения в технике проводной связи выбрана мощность сигнала Р0 = 1 мВт, рассеиваемая на активном сопротивлении R = 600 Ом. Тогда U0 = 0,775 В. Децибелы, определенные относительно уровня мощности Р0 = 1 мВт, называются децибел-милливаттами и обозначаются дБм.

При логарифмической единице измерения уровней такая характеристика качества, как отношение сигнал/помеха, будет равна разности уровней сигнала Lс и помехи Lп, так как

ρ = 10 lg(Pс / Pп) = 10 lg(Pс / P0) – 10 lg(Pп / P0) = Lс – Lп.

(2.46)

При помощи логарифмических единиц измерения можно ввести дополнительные числовые характеристики сигналов и помех.

Динамический диапазон Dс (дБ) характеризует пределы изменения мгновенной мощности сигнала и определяется выражением

Dс =10 lg(Pmax / Pmin),

(2.47)

где Pmaх – максимальное, a Pmin — минимальное значение мгновенной мощности, определенные каким-либо способом. Например, за минимальную мощность, если ее трудно определить, принимается мощность шума или допустимая среднеквадратическая погрешность.

Коэффициентом амплитуды сигнала Kа называется отношение его

максимальной мощности к средней
Kа = 10 lg(Pmax / Pср).	(2.48)

В некоторых случаях динамический диапазон и коэффициент амплитуды определяются не в логарифмических, а в абсолютных единицах (в разах).

Временные характеристики. К основным временным характеристикам относятся длительность и ширина спектра сигнала. Под длительностью сигнала понимают интервал времени его существования. Длительность вычисляется как разность между временем окончания сигнала t2 и временем его начала t1:

∆t = t2 – t1.

(2.49)

Ширина спектра – это интервал частот, занимаемый спектром сигнала. Вычисляется как разность между максимальной частотой спектра сигнала fmax и минимальной fmin:

∆fс = fmax – fmin.

(2.50)

46

Вычисление длительности и ширины спектра не вызывает трудностей, если сигнал имеет четко выраженные начало и конец, а спектр – граничные частоты. Но из преобразования Фурье следует, что если сигнал имеет конечную длительность, то спектр его бесконечен. И наоборот. В этом случае необходимо условиться об определении длительности и ширины спектра.

На практике применяются различные способы определения указанных величин, выбор которых зависит от назначения сигнала, его формы, структуры спектра. В некоторых случаях выбор даже произволен. Наибольшее применение нашли следующие способы определения ∆t и ∆f.

1.Отсчет на заданном уровне от максимального (рис. 2.7). Обычно длительность импульсного сигнала и ширину его спектра определяют на уровне 0,707 от максимального значения амплитуды сигнала в спектре (0,707Amax), но можно выбрать для вычислений любой другой уровень, например 5% максимального значения (0,05Amax).

2.Энергетический способ. За длительность сигнала (ширину спектра) принимают такой интервал времени (частот), в который попадает заданная часть полной энергии сигнала, например 0,9 или 0,95.

3.Замена реального сигнала (спектра) равновеликим прямоугольником. Такая процедура показана на рис. 2.8, где изображена спектральная плотность мощности случайного сигнала Gx(f). Площади прямоугольника и фигуры, ограниченной кривой Gx(f) и осями координат, равновелики (одинаковы).

A	Gx(f)
Amax	Gmax
	0,707Amax

	0,05Amax
0		0
∆f0,707	f	∆fэф	f
∆f0,05

Рис. 2.7. Определение ширины спектра по	Рис. 2.8. Определение эффективной
выбранному уровню амплитуды (мощности)	ширины спектра по площади
сигнала	прямоугольника

47

Из рис. 2.8 следует, что эффективная ширина спектра ∆fэф определяется следующим образом:

	∆fэф =	1	∞
			∫Gx ( f )df .	(2.51)
		Gmax 0

Числовые характеристики сигналов и помех широко используются в теории электросвязи. По энергетическим характеристикам определяется требуемое превышение сигнала над помехой, по ширине спектра сигнала устанавливается полоса пропускания канала электросвязи, необходимая для неискаженной передачи.

Для непрерывных первичных сигналов ширина спектра определяется обычно опытным путем. Для импульсных сигналов при определении ширины спектра можно воспользоваться важнейшим положением теории сигналов: если ∆f означает ширину спектра некоторого сигнала длительностью ∆t, то всегда имеет место соотношение

∆f ∆t ≈ ,

(2.52)

где – постоянная величина, порядка единицы ( ≈ 1) для видеоимпульсов и порядка двух ( ≈ 2) для радиоимпульсов. Смысл этого соотношения состоит в том, что ширина спектра сигнала обратно пропорциональна его длительности.

48

3.МОДУЛЯЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ ИНФОРМАЦИИ

3.1.Общие понятия о модуляции

Втехнике передачи информации большое значение имеют так называемые модулированные сигналы. Под модуляцией понимают процесс изменения одного или нескольких параметров несущей (сигнала– переносчика) в соответствии с изменением параметров сигнала, воздействующего на нее (модулирующего сигнала).

Параметры несущей, изменяющиеся во времени под воздействием модулирующего сигнала, называются информационными, так как в их изменениях заложена передаваемая информация. Физический процесс управления параметрами несущей и является модуляцией. Сигнал на выходе модулятора зависит от времени и от модулирующего сигнала uм(t), поэтому и обозначается как функция двух аргументов s(uм, t).

Исследование различных видов модуляции необходимо для определения требуемых свойств каналов, сокращения избыточности модулированных сигналов и улучшения использования мощности передающих устройств, определения потенциальной помехоустойчивости, помех соседним каналам, решения проблем электромагнитной совместимости различных систем передачи информации.

Вкачестве несущей широко используются гармонические колебания, периодическая последовательность импульсов, реже – колебания специальной формы, узкополосный случайный процесс.

Наибольший интерес представляет использование в качестве переносчика синусоидального колебания и последовательности импульсов. При этом модуляция будет либо непрерывной, либо импульсной.

При непрерывной модуляции переносчиком является синусоидальное колебание высокой частоты (несущей)

u(t) = Um0 cos(ω0t + ϕ0).

(3.1)

Параметрами колебания являются амплитуда U0, частота ω0 и фаза φ0. Изменяя любой из этих трех параметров, можно получить три вида модуляции.

При амплитудной модуляции (AM) амплитуда колебания изменяется относительно некоторого значения U0 в зависимости от сигнала x(t):

U = U0 + ∆U x(t),

(3.2)

где постоянный коэффициент ∆U характеризует влияние сигнала x(t) на амплитуду.

При частотной модуляции (ЧМ) частота колебания изменяется относительно некоторого значения ω0 в зависимости от сигнала x(t):

ω = ω0 + ∆ω x(t),

(3.3)

49

где постоянный коэффициент ∆ω характеризует влияние сигнала x(t) на частоту.

При фазовой модуляций (ФМ) фаза колебания изменяется относительно некоторого значения φ0 в зависимости от сигнала x(t):

ϕ = ϕ0 + ∆ϕ x(t),

(3.4)

где постоянный коэффициент ∆φ характеризует влияние сигнала x(t) на фазу колебаний.

Если переносчиком является периодическая последовательность импульсов, то при заданной форме импульсов можно образовать четыре основных вида импульсной модуляции: амплитудно-импульсную (АИМ),

широтно-импульсную (ШИМ), время-импульсную, фазоимульсную (ВИМ, ФИМ) и частотно-импульсную (ЧИМ).

При дискретной (цифровой) модуляции закодированное сообщение ai, представляющее собой последовательность кодовых символов {bi}, преобразуется в последовательность элементов (посылок) сигнала {si(t)} путем воздействия кодовых символов на переносчик s(t). Посредством модуляции один из параметров переносчика изменяется по закону, определяемому кодом. При непосредственной передаче переносчиком может быть постоянный ток, изменяющимися параметрами которого являются величина и направление. Обычно в качестве переносчика, как и при непрерывной модуляции, используют переменный ток (гармоническое колебание).

На рис. 3.1 приведены формы сигнала при двоичном коде для различных видов дискретной или цифровой модуляции (манипуляции). При AM символу 1 соответствует передача несущего колебания в течение времени T (посылка), символу 0 – отсутствие колебания (пауза). При ЧМ передача несущего колебания с частотой f1 соответствует символу 1, а передача колебания с частотой f0 соответствует 0. При двоичной ФМ меняется фаза несущей на π при каждом переходе от 1 к 0 и от 0 к 1.

На практике применяют систему относительной фазовой модуляции

(ОФМ). В отличие от ФМ при ОФМ фазу сигналов отсчитывают не от некоторого эталона, а от фазы предыдущего элемента сигнала. Например, символ 0 передается отрезком синусоиды с начальной фазой предшествующего элемента сигнала, а символ 1 – таким же отрезком c начальной фазой, отличающейся от начальной фазы предшествующего элемента сигнала на π. При ОФМ передача начинается с посылки одного не несущего информации элемента, который служит опорным сигналом для сравнения фазы последующего элемента.