книги / Начертательная геометрия
..pdfКривую линию можно рассматривать как непрерывное множество последовательных положении точки, движущейся в пространстве, то есть как траекторию движущейся точки. На протяжении кривой линии не должно быть прямолинейных участков. Кривая линия определяется поло жениями составляющих ее точек, точки кривой определяются их коорди натами. Если координаты любой точки кривой удовлетворяют некоторому уравнению, то такие кривые называются закономерными. Закономерные кривые линии образуются по определенному закону и могут быть заданы графически и аналитически.
Аналитически кривую линию на плоскости можно задать уравнением F (л\ у) = О
(может оказаться, что данному уравнению F (.г, у) = 0 не удовлетворяют координаты ни одной действительной точки на плоскости. Тогда условно говорят, что данные уравнения изображаются мнимой кривой), в простран стве - двумя уравнениями (как линию пересечения двух поверхностей)
F (.г, у, z) = 0, f(x,y,z) =0.
Существуют также незакономерные кривые, образование которых носит эмпирический характер. Незакономерные кривые линии задаются ■только графически на чертеже.
Одна и та же кривая линия может быть образована разными способами:
1)движением точки в пространстве;
2)пересечением кривой поверхности с плоскостью;
3)взаимным пересечением двух поверхностей, из которых хотя бы одна кривая.
Кривые линии подразделяют на плоские и пространственные. У пло ских кривых все точки принадлежат плоскости, у пространственных кри вых точки не принадлежат одной плоскости. Пространственные прямые называются также линиями двоякой кривизны. Наиболее известными из плоских и пространственных кривых линий являются соответственно ок ружное! ь и цилиндрическая винтовая линия.
Закономерные кривые, определяемые в декартовой системе коорди нат алгебраическим уравнением вида Р„ = 0, где Р„ - многочлен п-й степе ни от одного или нескольких переменных (n > 1), называются алгебраиче скими.
Порядком алгебраической кривой линии называется степень ее урав
нения. Геометрически порядок плоской алгебраической кривой линии характсрпзуе1ся наибольшим числом точек ее пересечения с прямой линией. Порядок пространственной а.пебраичеокой кривой линии определяется наибоилиим числом точ^к ее перессчени-; костью общего положе-
Соприкасающаяся плоскость - это предельное положение плоскости, проходящей через рри близкие точки кривой М, N, и Р, когда N‘и Р стре мятся к М. Соприкасающаяся плоскость содержит в себе касательную.
Главная нормаль п - это линия пересечения нормальной и соприка сающейся плоскостей (та из нормалей, которая лежит в соприкасающейся плоскости).
Бинормаль Ь- прямая, перпендикулярная соприкасающейся плоскости. Спрямляющая плоскость-проходит через касательную и бинормаль. Длина отрезка кривой (плоской или пространственной) определяется в общем случае приближенно путем замены кривой линии вписанной в нее
ломанной линией с максимально большим числом ее сторон, достаточно хорошо передающей форму кривой.
Рис. 135
2. СВОЙСТВА ПРОЕКЦИЙ КРИВОЙ ЛИНИИ
Из всех инвариантных свойств проецирования для кривой линии можно выделить следующие:
проекции кривой в общем случае есть кривые. В частном случае плоская кривая проецируется в прямую, если она принадлежит проеци рующей плоскости;
-если точка лежит на кривой, то ее проекции лежат на одноименных проекциях этой кривой;
-если прямая касается кривой в пространстве, то проекции этой прямой касаются одноименных проекций кривой. Секущая кривой про ецируется как секущая проекции кривой;
кривая, представляющая собой проекцию кривой некоторого по рядка, сохраняет тот же порядок или оказывается кривой более низкого порядка.
На рис. 138 представлены некоторые особые точки кривых:
-точка перегиба (с особой касательной) (см. рис. 138 б);
-точка возврата первого рода или заострения (особаяточка)(см.рис.138в);
точка возврата второго рода, или «клюв» (особая точка с особой касательной) (см. рис. 138 г);
-точка излома А, в которой имеются две касательные (см. рис. 138 д);
-узловая точка В, в которой кривая пересекает себя и имеет две каса тельные (см. рис. 138 е);
-точка самоприкосновения С, в которой кривая встречает самое се бя, но обе касательные совпадают (см. рис. 138 ж).
На комплексном чертеже задаются проекции нескольких обыкновен ных и всех особых точек кривой линии. Касательные и нормали к кривым линиям строят или графически, или пользуясь специальными приборами.
На рис. 139 показано построение касательной к кривой линии, про ходящей через заданную вне кривой точку М. Через точку М проводят пу
чок прямых, пересекающих кривую по хордам 11, 22, 33, Через сере дины хорд проводят кривую ab, которая называется кривой ошибок. Эта вспомогательная кривая пересекает данную кривую в точке С, являющейся точкой касания. Прямая СМ есть касательная к данной кривой линий.
Построение нормали к кривой линии, проходящей через заданную точку К вне кривой, показано на рис. 140. Принимая точку К за центр, про водят ряд окружностей, пересекающих кршзую по хордам 11, 22, 33 и т.д. Из концов хорд проводят разносторонне направленные перпендикуляры к ним, на которых откладывают отрезки, равные длинам соответствующих хорд. Концы отрезков этих перпендикуляров намечают кривую ошибок - линию ab, пересекающую данную кривую в точке С. Прямая КС задает на правление искомой нормали п к данной кривой.
4.ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ИИХ ПРОЕКЦИИ
Алгебраическую кривую линию, которая описывается в системе де картовых координат уравнением второй степени относительно текущих координат, называют линией второго порядка.
Общее уравнение второй степени с двумя переменными имеет вид:
Ах2 + Вху + Су2 + Dx + Еу + F = 0.
После приведения уравнения кривой к каноническому виду кривые могут быть квалифицированы следующим образом:
1) кривые эллиптического типа. Это эллипс (в частном случае ок ружность, одна точка или мнимое место точек);
2)кривые гиперболического типа. Это гипербола или пара пересе кающихся прямых;
3)кривые линии параболического типа - парабола, пара параллель ных прямых (в частном случае совпадающих) или мнцмое место точек.
Кривые линии второго порядка называют кониками или линиями ко нических сечений, так как они могут быть получены в сечении плоскостью прямого кругового конуса. Конические сечения будут рассмотрены далее (Раздел VII. 1.). Кривую второго порядка однозначно определяют заданием пяти точек общего положения: через заданные пять точек проходит одна и только одна кривая второго порядка. Если хотя бы три точки лежат на од ной прямой, то получается распадающееся коническое сечение.
Эллипс представляет собой геометрическое место точек, сумма рас стояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) есть вели чина постоянная. Каноническое уравнение эллипса имеет вид
+= 1, где Ь2 = а2- с2
аb
Оси координат являются осями симметрии эллипса (рис. 144). Точка 0 пересечения осей симметрии называется центром эллипса, точки пересече ния эллипса осями симметрии - вершинами эллипса. Отрезки, соединяю щие противоположные вершины эллипса, равные 2а и 2Ь, называют соот ветственно большой и малой осями эллипса. Два фокуса эллипса - точки F\ и F-i расположены на расстоянии 2с друг от друга. Величину 2с называ ют фокусным расстоянием. Любая точка Е плоскости принадлежит эллипсу,
если соблюдается условие EF, EF, = 2а, де2а -большая ось эллипса.
Диаметры эллипса - это отрезки прямых, проходят через центр эл липса. Геометрическим местом середин хорд, параллельных одному из диаметров эллипса, является диаметр, сопряженный заданному. На рис. 145 диаметры 2аi и 2Ь\ является сопряженными. Большая и малая оси эллипса являются сопряженными взаимно перпендикулярными диаметрами.
Другой способ построения эллипса по его сопряженным диаметрам показан на рис. 147. На полудиаметрах эллипса 0\С\ и 0\В\ строят паралле лограмм. Стороны параллелограмма делят соответственно на одинаковое число равных отрезков. Лучи, проведенные из точек С\ и В\ концов полудиаметров через одинаково нумерованные точки сторон параллелограмма, пересекаются в точках эллипса.
На рис. 148 показан способ построения эллипса по заданным осям. Для построения точек эллипса из центра 0 проводят две окружности, диа метрами которых являются большая А\В\ и малая C\D\ оси эллипса. Из центра 0 произвольно проводят луч, который пересекает окружности в точках Е и К. Из этих точек проводят прямые, параллельные соответст венно осям А\В\ и C\D\ эллипса. Точка К\ их пересечения является точкой эллипса. Выбирая другие лучи и помечая точки на окружностях, строят со ответствующие точки эллипса.
Рис. 148
В начертательной геометрии эллипсы чаще всего рассматривают как проекции окружности. При ортогональном параллельном проецировании окружность может проецироваться на плоскости проекций в виде отрезка прямой, окружности (частные случаи) или в виде эллипса (общий случай).
Окружность проецируется на плоскость проекций без искажения, ес ли ее плоскость параллельна плоскости проекций. Пусть окружность ле жит во фронтальной плоскости уровня, тогда ее фронтальная проекция есть окружность, а горизонтальная - отрезок, равный диаметру и парал лельный оси проекций х (рис. 149).
Если окружность принадлежит проецирующей плоскости, то одна из
еепроекций совпадает со следом плоскости и равна диаметру окружности,
адругая есть эллипс.