книги / Начертательная геометрия

При построении касательной плоскости к нелинейчатой поверхности необходимо через заданную точку провести на поверхности две кривые. Касательные к ним определят искомую плоскость.

На рис. 215 6 построена касательная плоскость к поверхности вра­ щения в данной на ней точке А.

В качестве кривых, проходящих по поверхности через точку А, целе­ сообразно взять параллель и меридиан. Касательная к первой - прямая АВ, находясь в одной горизонтальной плоскости с рассматриваемой паралле­ лью, проецируется на П2 в прямую, параллельную оси х, а на П, - в виде касательной к окружности радиуса г. Для построения второй прямой (каса­ тельной к меридиану) повернем меридиан вокруг оси i до совмещения с главным меридианом. Точка А при этом займет положение А' Проведем через точку А' касательную к главному меридиану и продолжим ее до пе­ ресечения с осью i в точке С или до М' на плоскости П| (одна из этих точек всегда может быть найдена в пределах чертежа.).

Теперь остается перевести меридиан и построенную касательную в первоначальное положение. Соединяя точку А с С или с М, получим вто­ рую прямую СМ, которая, пересекаясь с АВ, определяет искомую каса­ тельную плоскость.

а)

б)

Рис. 215

Аналитически для определения координат точек пересечения прямой линии с поверхностью необходимо решить следующую систему уравне­

ний: г

А |х + В\ у +C| z + D\ =0.

* Aj X+ В2 )' + С-2'- "Ь ^ 2 = 0 '

F (,v, у, :) = 0, (.г. у, -,) е V7.

где V - пространственная область.

Графическое решение задачи на определение точек пересечения прямой линии с поверхностью аналогично задаче нахождения точки пере­ сечения прямой линии с плоскостью. Точки пересечения прямой линии с поверхностью определяются способом вспомогательных секущих плоско­ стей. Алгоритм решения задачи следующий:

1)через прямую а проводится вспомогательная плоскость!;(рис.216);

2)находится линия пересечения / вспомогательной плоскости ! с

данной поверхностью £2; 3) на пересечении полученной линии пересечения / с заданной пря­

мой а найдутся искомые точки Ми N\ 4) определяется видимость прямой.

Рис. 216

Через прямую можно провести сколько угодно различных плоско­ стей, однако для упрощения решения задачи надо выбирать такую вспо­ могательную плоскость, в пересечении которой с данной поверхностью получились бы простые линии (прямые или окружности). Вспомога­ тельная плоскость ! может занимать как общее, так и частное положе­ ние относительно плоскостей проекций. Примеры рационального выбо­ ра вспомогательной секущей плоскости, занимающей частное положе­ ние, приведены на рис. 217.

На рис. 217 а, задана горизонтально - проецирующая прямая т, пере­ секающая поверхность конуса. Вспомогательная секущая плоскость £ (£[) проведена через горизонтальную проекцию тхпрямой т и через проекцию вершины конуса S\. Эта плоскость £ (Zj) пересекает поверхность конуса по двум образующим. При пересечении фронтальной проекции образующей K2S2 с проекцией т2 данной прямой находится фронтальная проекция А2 искомой точки пересечения. Горизонтальная проекция А хточки А совпада­ ет с проекцией тхданной прямой т.

Рис. 217

На рис. 217 б, решена задача на пересечение горизонтали h с по­ верхностью сферы. Через горизонталь h проведена горизонтальная плос­ кость уровня Г(Г2), которая пересекает сферу по окружности /. Фронталь­ ная проекция 12 окружности совпадает со следом Г2 секущей плоскости Г, горизонтальная проекция окружности 1\ изображается на плоскости П) в истинную величину. Точки Мх, Nхее пересечения с проекцией h\ горизон­ тали есть горизонтальные проекции искомых точек встречи горизонтали с поверхностью сферы. Фронтальные проекции Л/2, N2точек М и N лежат на фронтальной проекции h2горизонтали h.

На горизонтальной плоскости проекции точки М\ и N\ невидимы, так как находятся ниже экватора (в нижней части сферы). Часть прямой от то­ чек М\ и N\ до экватора невидима. На фронтальной плоскости точка М2ви­ дима, так как находится на передней части сферы, поэтому прямая слева от точки М2 видима. Точка N2 невидима, так как находится за главным мери­ дианом, поэтому часть прямой от точки N2до главного меридиана невиди­ ма. Часть прямой между точками М и N пропадает внутри сферы.

На рис. 218 приведена 'задача на построение точек пересечения пря­ мой с поверхностью вращения. В качестве вспомогательной секущей плоскости выбрана горизоптально-проецирующая плоскость X (Х|), кото­ рая проходит через данную прямую а и пересекает поверхность вращения по кривой линии т. Горизонтальная проекция кривой пц совпадает с гори­ зонтальным следом Х| плоскости X.

Для построения фронтальной проекции т2 кривой на поверхности вращения проводятся параллели - окружности соответствующих радиусов. Фронтальная проекция т2 кривой т строится как линия, принадлежащая поверхности. Каждая точка кривой т лежит на своей параллели. Проекции искомых точек М и N пересечения данной прямой а с поверхностью вра­ щения определятся на фронтальной плоскости проекций при пересечении фронтальной проекции т2 кривой т с проекцией заданной прямой а2. Го­ ризонтальные проекции М\ и N\ искомых точек находятся по линиям связи на проекции а\ заданной прямой а.

На горизонтальной плоскости проекций точки М\ и N| видимы. На фронтальной плоскости проекция точки N2 видима, так как находится пе­ ред главным меридианом (на передней части'поверхности вращения), а точка М2 невидима, так как находится за главным меридианом (с обратной стороны поверхности).

Во всех приведенных выше задачах вспомогательная секущая плос­ кость занимает частное положение. Вспомогательную плоскость общего положения удобно использовать в задачах при пересечении прямой линии с конической или цилиндрической поверхностью. При пересечении ци­ линдрической поверхности прямой линией вспомогательную плоскость проводят через данную прямую параллельно образующим цилиндра. В этом случае в сечении плоскости с цилиндром получаются прямые линии.

Пример решения задачи на пересечение прямой с цилиндром приве­ ден на рис. 219. Задан наклонный цилиндр с круговыми основаниями. Для построения точек пересечения поверхности цилиндра с прямой линией АВ проводят плоскость П, определяемую данной прямой АВ и прямой ВМ. проведенной через точку В параллельно образующим цилиндра. Плоскость GI (АВПВМ) пересекает цилиндр по образующим. Если найти горизонталь­ ные следы прямых ^АВ и ВМ, то через горизонтальные проекции следов прямых 11и 2j может быть проведен горизонтальный след П| плоскости Q.

Горизонтальный след	I
	пересекает основание цилиндра в точках 3| и 4Ь

через которые проводят проекции образующих цилиндра. Там, где проек­ ции образующих пересекаютшроекцию А\В\ данной прямой, определяют проекции К\, L\ Искомых точек пересечения прямой АВ с поверхностью цилиндра. Проекции К2, L2 искомых точек К и L лежат на фронтальной проекции прямой АВ-. Видимость точек пересечения К и L определяют в соответствии с видимостью образующих, на которых лежат эти точки.

При решении задачи на пересечение поверхности прямой линией может оказаться, что данная прямая не пересекает, но лишь касается дан­ ной поверхности со вспомогательной плоскостью. В этом случае прямая явля­ ется касательной к данной поверхности (рис. 220). На этом рисунке через гори­ зонтальную проекцию А\В\ прямой АВ проведена горизонтально-проецирующая вспомогательная секущая плоскость

I (Ii). которая пересекает сферу по ок­ ружности радиусом г. Истинная величи­ на окружности построена на плоскости П4, где определится и проекция Кл точки касания К прямой с поверхностью сфе­ ры.

Вообще, если требуется опреде­ лить, как прямая расположена относи­ тельно поверхности, надо через прямую провести плоскость, пересекающую по­ верхность. и рассмотреть взаимное по­ ложение прямой и фигуры, полученной при пересечении поверхности плоско­ стью.

3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Общие сведения

Геометрическое место точек, принадлежащее одновременно двум поверхностям, называют линией пересечения (или линией перехода) дан­ ных поверхностей.

Рис. 221

Рис. 224

Линия пересечения двух поверхностей в общем случае представляет собой пространственную кривую. При частичном пересечении поверхно­ стей (одна из поверхностей как бы «врезается» в другую) будет одна замк­ нутая линия пересечения (рис. 221). При полном пересечении поверхно­ стей (одна из поверхностей пересекает другую насквозь) получаются две замкнутые линии пересечения (рис. 222). В случае двух многогранных по­ верхностей линия их пересечения является ломаной линией (рис. 223). Ес­ ли одна из поверхностей кривая, а другая - гранная, то линия их пересече­ ния представляет собой плоскую кривую линию или ее часть (рис. 224).

Обычно линию пересечения двух поверхностей строят по ее отдель­ ным точкам, которые аналитически определяются при решении системы уравнений:

f(x, у, z) = О,

f'(x, y, z) = 0.

В начертательной геометрии задачу на пересечение двух поверхно­ стей решают путем введения вспомогательных секущих поверхностейпосредников. В качестве поверхностей-посредников применяют плоскости или сферы, поэтому различают способ вспомогательных секущих плоско­ стей и способ вспомогательных секущих сфер. Последний имеет разно­ видности: способ концентрических сфер и способ эксцентрических сфер. Применение того или иного способа зависит как от типа данных поверхно­ стей, так и от их взаимного расположения.

Построение общих точек, принадлежащих линии перехода поверх­ ностей, поясняется на рис. 225 и осуществляется по общему для всех спо­ собов алгоритму:

1) выбирают секущие поверхности-посредники А' относительно данных поверхностей Р, Т такими, чтобы в пересечении получались гра­ фически простые линии (прямые, окружности) и чтобы проекции этих ли­ ний легко строились на эпюре;

2)строят линии т и п, по которым посредник пересечет обе поверхности;

3)находят общие точки А и В пересечения линий тип. Эти точки при­ надлежат одному посреднику и одновременно двум данным поверхностям;

4)применив последовательно несколько раз посредники и выявив ряд общих точек, соединяют их линией (последняя на рис. 225 не показана).

Рис. 225

Каким бы способом не производилось построение линии пересече­ ния поверхностей, при нахождении точек этой линии необходимо соблю­ дать определенную последовательность. У пинии пересечения двух по­ верхностей так же, как и у линии пересечения поверхности с плоскостью, различают опорные и промежуточные точки.

В первую очередь определяют экстремальные точки, так как они всегда позволяют видеть, в каких пределах расположены проекции линии перехода, и где между ними имеет смысл строить промежуточные точки.

Далее определяют точки изменения видимости, которые отделяют видимую часть линии пересечения от невидимой. Эти точки всегда нахо­ дятся на очерке той поверхности, которая расположена ближе к наблюда­ телю. Строят точки на очерке другой поверхности. В точках, расположен­ ных на очерках, проекция линии пересечения касается очерковых линий пересекающихся поверхностей.

Для более точного построения линии пересечения данных поверхно­ стей определяют промежуточные точки.

Следует иметь в виду, что проекции линии пересечения всегда рас­ полагаются в пределах заштрихованного контура наложения проекций двух пересекающихся поверхностей (рис. 226).

В случае, если одна из поверхностей является проецирующей, то строят проекцию линии пересечения только на одной плоскости проекций, к которой поверхность не перпендикулярна. На другой же плоскости про­ екция искомой линии совпадает с вырожденной проекцией поверхности.

Способ плоскостей

Способ вспомогательных секущих плоскостей частного положения (способ плоскостей общего положения в данном разделе не рассматривает­ ся) следует применять тогда, когда обе поверхности возможно пересечь по графически простым линиям некоторой совокупностью плоскостей уров­ ня. Такие плоскости используют для нахождения промежуточных точек (рис. 227), после того как найдены экстремальные точки.

Рис. 227

Рис. 228

Экстремальные точки располагаются в общей для двух поверхностей плоскости симметрии, которая проходит через оси этих поверхностей.

Общая плоскость	симметрии	задана горизонтальным следом	Ф| на
рис. 228 а и S| на рис. 228 б. в, г
Если общая	плоскость	симметрии является плоскостью	уровня

(см. рис. 228 а), то фронтальные проекции высшей - 1 и низшей - 2 точек будут находиться на пересечении фронтальных очерков поверхности. Если общая плоскость симметрии не является плоскостью уровня, то возможны два варианта построения этих точек - без применения (см. рис. 228 б) и с применением (см. рис. 228 в, г) преобразования чертежа.

Так, на рис. 228 в сначала строят очерки поверхностей на дополни­ тельную плоскость проекций П4, параллельную общей плоскости симмет­ рии I. Определяют точки 14 и 24, затем возвращаются к исходной системе плоскостей проекции, не забывая при этом о соблюдении признака при­ надлежности точки поверхности.

Для нахождения экстремальных точек можно воспользоваться также способом вращения вокруг проецирующей прямой. За ось вращения при­ нимают ось одной из поверхностей. Вокруг нее поворачивают другую по­ верхность так, чтобы общая плоскость симметрии £ преобразовалась в плоскость уровня £' (см. рис. 228 г). На этом рисунке отображено переме­ щение конической поверхности Т в новое положение Т Достаточно по­ строить только фронтальный очерк конуса с вершиной в точке S'. При вращении тора вокруг его оси положение фронтального очерка тора не из­ менится. На пересечении нового и старого фронтальных очерков данных поверхностей находят проекции Г и 2', при этом точка 1 будет высшей точкой. Выполняя обратное вращение, получают действительные проек­ ции 11,12 и 2I,22 рассматриваемых точек.

Как уже отмечалось, для определения точек изменения видимости плоскость проводят через очерк той поверхности, которая определяет ви­ димость на соответствующей плоскости проекций. Так, на рис. 229 а, для нахождения точек изменения видимости на П! применяют плоскость Г, проходящую через экватор сферы, определяющей видимость на П|. Для определения точек изменения видимости на Пг (рис. 229 б) рассматривают плоскости Ф и Ф', проходящие соответственно через главные меридианы сферы и конуса. Плоскость Ф расположена ближе к наблюдателю, следо­ вательно, точки изменения видимости принадлежат главному меридиану сферы, являющемуся очерком поверхности на Пг. При этом другая по­ верхность не всегда пересекается вспомогательной плоскостью по про­ стейшей линии, например на рис. 229 линия к - гипербола, проекции кото­ рой строят по точкам. С помощью плоскости Ф ' можно определить точки на фронтальном очерке конуса, но они не будут изменять видимость линии на фронтальной плоскости проекций.