книги / Начертательная геометрия
..pdfРис. 236
Для определения вида кривой, получающейся в сечении, выполняется перемена плоскостей проекций. Плоскость П4 вводится перпендикулярно Щ и треугольнику АВС. На чертеже ось х\ перпендикулярна горизонталь ной проекции h\. Секущая плоскость I проецируется на ГЦ в прямую ли нию, которая параллельна очерковой образующей конуса. Следовательно, в сечении получаете# парабола.
Натуральная величина сечения построена проецированием на допол нительную плоскость П5 || I (Д АВС). На чертеже след плоскости А4В4С4 || х2.
Задача 4. Построить линию пересечения сферы и прямого кругового конуса; проанализировать характерные точки линии; показать видимость линии пересечения и очерков поверхностей (рис. 237).
Анализ заданных г.о. показывает, что общая плоскость симметрии поверхностей © (@i) является проецирующей. В общей плоскости симмет рии пересекающихся г.о. лежат высшая и низшая точки искомой линии пе ресечения. Эти точки находятся проецированием на дополнительную плос кость проекций П4, которая проведена параллельно общей плоскости сим метрии © (©,). На П4 при пересечении очерков поверхностей сферы и кону са определятся общие точки: 1 - самая высокая, 2 - самая низкая точки ли нии пересечения.
Для построения остальных точек искомой линии пересечения приме няют способ секущих плоскостей.
Точки, лежащие на экваторе сферы определяют с помощью секущей плоскости уровня Г (Гг). Она рассекает сферу экватору, а конус по па раллели. На горизонтальной плоскости проекций при пересечении экватора и параллели находят точки 3 и 4.
Точки искомой линии пересечения, лежащие на фронтальном очерке конуса определяют при помощи фронтальной плоскости уровня Ф (Ф^, проходящей через ось конуса. При пересечении фронтальной проекции очерка конуса с соответствующей параллелью сферы получают точки 5 и 6.
Для определения точек линии пересечения, принадлежащих фрон тальному очерку сферы вводят секущую плоскость Ф' (Ф'О, которая пере секает конус по гиперболе, а сферу по главному меридиану. Фронтальные проекции главного меридиана и гиперболы, точки которой обозначены звездочками (*), имеют две общие точки 7 и 8.
Промежуточные точки искомой линии пересечения строят при помо щи секущей плоскости Г' (Г'г), которая обе поверхности рассекает по па раллелям. На чертеже показано построение двух промежуточных точек 9 и 10.
Построенные точки соединяют с учетом видимости поверхностей. На плоскости проекций П1 видимость линии пересечения будет меняться на экваторе сферы в точках 3 и 4. На плоскости проекций Пг видимой будет чрсть линии пересечения 8-2-10-3-7, принадлежащая передней половине сферы. В точках 7 и 8 видимость изменится на противоположную.
Искомая линия пересечения представляет собой пространственную кривую линию, расположенную на заданных поверхностях. Ее проекции на комплексном чертеже - плавные кривые линии, при этом на П) линия сим метрична относительно следа @( плоскости симметрии двух поверхностей.
I
Рис. 237
Задача 5. Построить линию пересечения конической поверхности и четверти торовой поверхности; проанализировать линию пересечения и ее проекции (рис. 238).
Решение задачи выполняем в следующей последовательности. Сначала строим точки, расположенные в общей плоскости симмет
рии 0, способом вращения (аналогичное решение приведено на рис. 228 г). В рассматриваемой задаче точка А будут высшей, а точка В не является низшей точкой, но занимает экстремальное положение.
Затем находим точки изменения видимости на П1 и на П2. На П1 эти точки будут принадлежать экватору (т) тора и, следовательно, будут рас положены в плоскости Г. Вспомогательная плоскость Г пересекает кони ческую поверхность по параллели п. На пересечении линий т и п находят ся точки С и Д горизонтальные проекции которых являются точками из менения видимости на П1. Для определения точек изменения видимости на П2 проводим анализ.
Предполагаемые точки изменения видимости могут принадлежать фронтальному очерку либо конической поверхности, либо торовой. С по мощью плоскости Ф находим точки М и N, принадлежащие образующей SE (аналогичное посзроение см. на рис. 229 б). С помощью плоскости Г' опре делим точки 3 и 4, принадлежащие главной параллели тора. Рассматривая горизонтальные проекции точек М и 3, N и 4, видим, что точки М и 4 распо ложены ближе к наблюдателю, следовательно, эти точки и будут являться точками изменения видимости на П2.
Промежуточные точки (см. рис. 227) определяем при помощи гори зонтальных плоскостей уровня, рассекающих данные поверхности по па раллелям. На рис. 238 обозначены проекции промежуточных точек 1 и 2, найденных с помощью плоскости Г", остальные не обозначены.
Все построенные точки соединяем с учетом видимости тех частей поверхностей, которым они принадлежат. Показываем видимость проек ций очерков: толстой линией - видимые очерки, штриховой тонкой линией - невидимые очерки, очерки поверхностей, пропадающие друг в друге - тонкой сплошной линией. Построенная линия представляет собой симмет ричную замкнутую кривую линию четвертого порядка.
Проекции искомой линии являются плоскими кривыми (второго по рядка), при этом горизонтальная проекция линии перехода симметрична относительно следа @1 общей плоскости симметрии.
Задача 6. Построить линию пересечения трехгранной призмы и пря мого кругового конуса (рис. 239).
Анализ заданных геометрических образов показывает, что грани призмы пересекают коническую поверхность по кривым 2-го порядка.
Вид этих кривых определяют переменой плоскостей проекций, выби рая вспомогательную плоскость проекций так, чтобы грани призмы заняли проецирующее положение. Плоскость проекций П4 введена перпендику лярно существующей плоскости проекций П1 и перпендикулярно граням призмы. На чертеже ось х{ проведена перпендикулярно к горизонтальным
проекциям ребер |
b\, ct. |
На плоскость проекций ГЦ каждая грань проецируется в виде следа. |
|
Грань Ъс пересекает |
конус по окружности, грань Ьа - по эллипсу, грань ас |
- по параболе. |
|
Таким образом, искомая линия пересечения данных поверхностей есть пространственная кривая, состоящая из трех плоских кривых.
Для построения искомой линии пересечения целесообразно приме нять способ вспомогательных секущих плоскостей частного положения.
Линия пересечения грани Ьс с конуеом построена при помощи секу щей плоскости Г (Г|). Окружность является неполной, в результате чего получаются точки 1,2 на ребре b и 4, 3 на ребре с.
Точки 5 и 6 на ребре а определяют при помощи секущей плоскости Г' (Г'2).
Для построения точек, лежащих на фронтальном очерке конуса, вво дят секущую плоскость Ф (Ф|), которая занимает фронтальное положение уровня и проходит через ось конуса. Секущая плоскость пересекает конус по очерковым образующим, а призму - по треугольнику. На полученных линиях пересечения имеются две общие точки 8 и 7.
Промежуточные точки искомой линии пересечения строят при по мощи вспомогательных горизонтальных плоскостей уровня, рассекающих конус по параллелям, а призму - по образующим. На рис. 239 обозначены проекции промежуточных точек 9, 10, 11, 12, найденных с помощью плос кости Г"; остальные не обозначены.
Построенные точки соединяют с учетом видимости тех частей по верхностей, которым они принадлежат. На плоскости проекций р ( буду видны горизонтальные проекции эллипса и параболы, на плоскости проек ций П? видны ветви параболы 4-12-5 и 3-11-7.
Точка 5, лежащая на ребре призмы, и точка 7, принадлежащая фрон тальному очерку конуса, изменяют видимость линии пересечения на фрон тальной плоскости проекций.
£
Рис. 239
Задача 7. Построить линию пересечения многогранников: шести гранной горизонтально-проецирующей призмы I и трехгранной наклонной призмы II (рис. 240).
Из шести боковых ребер призмы I только ребра а и b пересекают гра ни призмы II (так как а\ и Ь\ находятся в пределах горизонтальной проек ции призмы II).
Находим точки пересечения ребер а и b призмы I с гранями призмы
II. С этой целью проводим через данные ребра вспомогательную плоскость
Ф(Ф]). Эта плоскость пересечет грань ABCD призмы II по прямой MN, а грань CDEF той же призмы - по прямой KL. Прямые MN и KL должны быть
параллельны боковым ребрам призмы II, так как плоскость Ф параллельна этим ребрам.
Точки пересечения ребер а и b с гранями ABCD и CDEF рпределяем на пересечении a n MN = 2, а п KL = 4, b п MN = 7, b о KL = 9. Фрон тальные проекции точек находятся как точкк пересечения одноименных проекций ребер а и b и вспомогательных прямых MN и KL. Горизонтальные проекции искомых точек совпадают с а\ и Ь\, так как призма I является про ецирующей.
Остальные точки (1, 3, 5, 6, 8, 10), принадлежащие линии пересечения призм, получаем непосредственно без вспомогательных построений, как точки, в которых боковые ребра АВ, CD и EF призмы II пересекаются с бо ковыми гранями призмы I.
По горизонтальным проекциям точек I, 3, 5, 6, 8, 10 строим их фрон тальные проекции при помощи линий связи.
Точки 12, 22, 32, 42, 52, а также точки 62, 72, 82, 92 и 102 на эпюре со единяем последовательно прямыми с учетом их видимости при проециро вании на плоскость П2. Соединив дважды последнюю точку с первой (52 с 12 и 102 с 62) получим два пространственных пятиугольника, по которым пересекаются призмы I и II.
Точки 22, 42, 72, 92 будут определять изменение видимости линий пересечения на фронтальной плоскости проекций.
Горизонтальные проекции линий пересечения сливаются с горизон тальными следами тех боковых граней призмы I, которым отрезки ломаной линии соответственно принадлежат.
Рис. 240
VIII. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Развертыванием поверхности называется такое преобразование, в ре зультате которого поверхность всеми точками совмещается с плоскостью. Полученная при этом плоская фигура называется разверткой.
Поверхности делятся на развертываемые и неразвертываемые. Разветываемые поверхности совмещаются с плоскостью без разры
вов и складок. Признаком развертываемости является пересечение сосед них образующих или их параллельность. К развертываемым поверхностям относятся многогранные, цилиндрические, конические, торсовые. Разверт ки многогранников строятся точно, учитываются лишь погрешности инст румента и графических построений. Развертки цилиндрических, кониче ских и торсовых поверхностей получаются приближенно, так как эти по верхности заменяются вписанными или описанными около них много гранными поверхностями, которые и развертыъ^ютсл.
Неразвертываемые поверхности с плоскостью не совмещаются, т.е. теоретически они разверток не имеют, так как образующие их скрещи ваются. К неразвертываемым относятся поверхности параллелизма (ци линдроид, коноид, косая плоскость), криволинейные (сфера, тор и т.п.) и графические.
В инженерной практике строятся условные развертки неразверты ваемых поверхностей. Для этого неразвертываемая поверхность делится на части (доли), которые заменяются развертываемыми поверхностями.
Если рассматривать поверхность и ее развертку как множество то чек, то между этими множествами устанавливается взаимооднозначное со ответствие, т.е. каждой точке на поверхности соответствует единственная точка на развертке и наоборот. Отсюда вытекают свойства развертки:
1.Прямая на поверхности переходит в прямую на развертке.
2.Параллельные прямые на поверхности будут параллельными пря мыми на развертке.
3.На развертке сохраняются:
-длина линии, лежащей на поверхности;
-величина угла между линиями поверхности;
-величина площади фигуры на поверхности.
1.РАЗВЕРТКИ ПРЯМЫХ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРА И КОНУСА
Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а длина - длине окружности основания 7id.
Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса (рис. 241) представляет собой круговой сектор. Длина дуги АВ равна длине окружно
го