книги / Начертательная геометрия

Рис. 229

Пересечение многогранников

Линия пересечения двух многогранников может быть определена точками пересечения ребер одного многогранника с поверхностью дру­ гого и ребер второго с поверхностью первого способом вспомогатель­ ных секущих плоскостей.

Найденные точки пересечения соединяют в определенном порядке прямыми линиями, в результате чего получается замкнутая ломаная ли­ ния, звенья которой представляют собой линии пересечения граней обоих многогранников. Эта ломаная линия и будет являться линией пересечения.

При построении такой линии надо выполнять правило: соединять прямыми только те точки, которые лежат на одних и тех же гранях первого и второго многогранников. При определении видимости частей линии пе­ ресечения следует иметь в виду, что она будет видимой на проекциях только тех граней, которые видимы на данной проекции.

В зависимости от взаимного расположения пересекающихся поверх­ ностей, линия пересечения может представлять собой или одьу замкнутую ломаную линию, или две. Построение линии пересечения двух многогран­ ников на чертеже приведено ниже (VII.4., задача 7).

Для построения линии пересечения двух поверхностен вращения можно воспользоваться свойством, присущим поверхностям вращения: две соосные поверхности вращения пересекаются друг с другом по паралле­ лям (окружностям), причем число последних равно числу точек пересече­ ния меридианов поверхностей.

Действительно, пусть коническая поверхность образуется вращением обра­ зующей т вокруг оси сферы с образующей / (рис. 230). Точки пересечения А и В обра­ зующих поверхностей (т П /) являются общими точками двух поверхностей и при своем вращении вокруг оси образуют ок­ ружности (пар^члели), которые являются линиями пересечения этих поверхностей. Ось /' перпендикулярна плоскости П1 и, следовательно, параллельна плоскости П2, поэтому параллели - линии пересечения поверхностей - будут проецироваться на плоскость П2 в виде отрезков прямых, про­ ходящих через точки А2 и В2, и в натураль­ ную величину на плоскость Пр

Аналогично, если расположить центр сферы на оси любой поверхно­ сти вращения, то сфера рассечет эту поверхность по окружностям, перпен­ дикулярным оси вращения. Эти окружности (параллели) спроецируются на плоскость проекций в виде отрезков прямых, перпендикулярных проекции оси, только если ось рассекаемой поверхности вращения параллельна этой плоскости проекций.

С помощью вспомогательных поверхностей (сфер) сравнительно просто решаются задачи на построение линий пересечения двух произ­ вольных поверхностей вращения, имеющих общую плоскость симметрии, при этом возможны два случая:

если оси поверхностей пересекаются, то для определения линии пересечения поверхностей используют семейство концентрических сфер, центр которых находится в точке пересечения осей поверхностей;

- если оси не пересекаются, применяют эксцентрические сферы, цен­ тры которых перемещаются по оси одной из поверхностей.

Рассмотрим каждый случай в отдельности.

П о с т р о е н и е . п и ш и п е р е с е ч е н и я О ву.х / ю ь е р . о к н т е п а р и и ц ’ш я с п о м о щ ь ю к о н ц е н т р и ч е с к и х c f p t n

Метол вспомогательных концентрических сфер можно применить при наличии следующих условий:

1) пересекающиеся поверхности должны бьпь поверхностями вра­ щения, так как сфера рассекает соосную с ней поверхноечь вращения по параллелям (окружностям);

2)оси поверхностей вращения должны пересекаться, так как через точку пересечения осей можно провести сферу, соосную обеим данным поверхностям вращения;

3)оси поверхностей вращения должны быть параллельны плоскости проекций, так как в этом случае параллели пересечения вспомогательной секущей сферы с данными поверхностями вращения будут проектировать­ ся на эту плоскость проекций в виде отрезков прямых. Точки, общие для данных поверхностей, находятся как точки пересечения полученных па­ раллелей (в виде отрезков прямых).

Рассмотрим основные этапы построения линии пересечения двух по­ верхностей - конуса и цилиндра вращения способом концентрических еффр (рис. 231).

Опорные точки 1 и 2 - точки пересечения очерковых образующих поверхностей, лежащих в плоскости симметрии 0, можно найти без до­ полнительных построений на фронтальной плоскости проекций - 12, 22.

Горизонтальные проекции опорных точек Ь и 22 получаем на следе плоскости симметрии 0 Ь проведя линии проекционной связи.

Далее выполняем следующие построения. Из центра О пересечения осей данных поверхностей проведем вспомогательную секущую сферу произвольного радиуса R так, чтобы она пересекала обе поверхности вра­ щения. Для этого опишем из точки Ог окружность радиуса R, которая яв­ ляется фронтальной проекцией вспомогательной секущей сферы.

Построим линию пересечения вспомогательной секущей сферы с данными поверхностями вращения. Сфера, как соосная с конусом и ци­ линдром, пересечет их по окружностям диаметрами АВ и CD соответст­ венно. Эти окружности спроецируются на плоскость П2 в виде отрезков прямых А2В2 и C2D2.

Рассмотрим взаимное расположение полученных линий пересечения (окружностей диаметрами АВ и CD), лежащих на поверхности вспомога­ тельной секущей сферы. Они пересекаются в точках 3 и 4, фронтальные проекции которых совпадают (32 = 42).

N

Рис. 231

По линии проекционной связи находим горизонтальные проекции 3| и 4, точек 3 и 4, лежащих на параллели диаметра АВ конуса. Точки 3 и 4 одновременно принадлежат поверхностям конуса и цилиндра и. следова­ тельно, являются точками искомой линии пересечения двух поверхностей.

Проводя из точки О ряд вспомогательных секущих сфер радиусами в пределах от до Rmi„ и выполняя построения аналог ичные построениям при нахождении точек 3 и 4. можно получить ряд точек, принадлежащих линии пересечения.

Радиус R„,M сферы равен расстоянию от точки О2 до наиболее уда­ ленной точки пересечения очерковых образующих. В нашем примере

Rinav — 0 2 12-

Радиус /?„„„ сферы равен радиусу большей из двух сфер, которые можно вписать в пересекающиеся поверхности. Сферу (Rmi„) в отличие также от сферы (Rmax) можно также использовать для построения точек ли­ нии пересечения (на рис. 231 это точки 5 и 6).

Точки видимости 7 и 8 линии пересечения относительно плоскости П| можно найти в рассматриваемом примере только приблизительно. Вна­ чале надо отметить их фронтальные проекции 72 и 82, как точки пересече­ ния фронтальной проекции линии пересечения с фронтальными проекция­ ми горизонтальных очерковых образующих а и b цилиндра, а потом найти соответствующие горизонтальные проекции 1 \ и 8].

Построение линии пересечения двух поверхностей вращения с помощью эксцентрических сфер

Метод эксцентрических сфер применяется при построении линии пересечения поверхностей вращения с поверхностью, несущей на себе не­ прерывное множество окружностей. При этом обе поверхности должны иметь одну плоскость симметрии.

Вспомогательные эксцентрические сферы пересекаются с данными поверхностями по окружностям, которые проецируются на плоскость проекций, параллельную плоскости симметрии, в виде отрезков прямых.

Пример построения линии пересечения двух поверхностей враще­ ния способом эксцентрических сфер рассмотрен на рис. 232, где кольцо Q. (открытый тор) пересекается с конусом вращения 0. Поверхности имеют одну общую плоскость симметрии. Оси пересекающихся поверхностей вращения между собой не пересекаются. Поверхности заданы их фрон­ тальными очерками.

Круговые сечения конуса вращения получаются при сечении его плоскостями уровня. Кольцо имеет три системы круговых сечений, двумя из них мы воспользуемся в решении задачи. Одна система круговых сече­ ний тора находится в плоскостях, перпендикулярных оси тора. Другая сис­ тема находится в проецирующих плоскостях, вращающихся вокруг этой оси.

При построении линии пересечения поверхностей прежде всего оп­ ределяем точки 1 и 2 пересечения очерковых образующих поверхностей. Затем через ось вращения тора проводим фронтально проецирующую плоскость Z, которая пересекает тор по окружности диаметром АВ. Центр О сферы, пересекающей тор по этой окружности, находится на пересече­ нии перпендикуляра, восстановленного из центра окружности к плоскости Е, с осью конуса вращения. Эта вспомогательная секущая сфера имеет ра­ диус R. Она пересекает кольцо и конус вращения по окружностям, фрон­ тальные проекции которых - отрезки прямых (А2В2 и C2D2 соответствен­ но). Две точки 3 и 4 пересечения этих окружностей принадлежат искомой линии пересечения поверхностей.

Аналогично определяем другие промежуточные точки линии пересе­ чения поверхностей. Вспомогательные сферы имеют различные центры,

находящиеся на оси конуса вращения.
Горизонтальную проекцию линии пересс	можно построить, ис­

пользуя линии проекционной связи с ее фронтальной проекцией и признак принадлежности точек этой линии любой из поверхностей.

Рис. 232

Частные случаи построения линии пересечения поверхностей. Теорема Монжа

Теорема. Если две поверхности второго порядка описаны (или впи­ саны) около' третьей поверхности второго порядка, то они пересекаются между собой по двум плоским кривым второго порядка.

Пример построения линии пересечения поверхностей конуса (0) и цилиндра вращения (П), описанных около сферы (Т), показан на рис. 233. В данном случае в две пересекающиеся поверхности вписана сфера, каса­ тельная к этим поверхностям. Следовательно, поверхности пересекаются по двум плоским кривым - эллипсам, проекции которых на плоскости П2 будут представлять прямые (12З2 и 2242), соединяющие точки пересечения очерковых образующих обеих поверхностей, так как оси обеих поверхно­ стей параллельны плоскости П2.

Имея фронтальную проекцию линии пересечения поверхностей, мож­ но легко построить ее горизонтальную проекцию, как показано на рис. 233.

4. ПРИМ ЕРЫ РЕШ ЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Построить линию пересечения пирамиды с горизонтально-

проецирующей плоскостью X (Х|) (рис. 234).
При пересечении	пирамиды	плос­
костью получается ломаная линия.
Горизонтальная	проекция	линии
пересечения совпадает с горизонтальным
следом Xj секущей плоскости X, т.е., го­
ризонтальные проекции 11, 2|, 3|, 4| точек
линии пересечения - это точки пересече­
ния горизонтальных проекций ребер пи­
рамиды со следом Х|. Фронтальные про­
екции точек 12, 22, 32, 42 линии пересече­
ния лежат на фронтальных проекциях со­
ответствующих ребер.
Видимость линии пересечения оп­
ределяется в соответствии с видимостью
граней пирамиды. Стороны линии пере­
сечения, лежащие на видимых гранях,
будут видимыми, а лежащие на невиди­			Рис. 234
мых гранях - невидимы.
Задача 2. Построить линию пересечения сферы с фронтально-
проецирующей плоскостью (рис. 235).
При пересечении сферы плоскостью 0			в пространстве получается

окружность, которая проецируется на плоскость ГД в виде эллипса, а на П2 совпадает со следом плоскости 0 2.

Точки изменения видимости линии на П, располагаются на экваторе т. На пересечении экватора т с плоскостью 0 находятся точки 1и 2 - точ­ ки изменения видимости. Сначала определяются их фронтальные проек­ ции 12=22, затем горизонтальные, принадлежащие горизонтальной проек­ ции экватора сферы т\.

Для построения малой оси эллипса 34 на плоскости П2 определяются точки пересечения проекции главного меридиана п2 со следом 0 2 - точки 32 и 42. Горизонтальные проекции точек 3i и 4, лежат на горизонтальной проекции главного меридиана пл. На горизонтальной проекции точка 4, лежащая выше экватора, будет видимой, а точка 3 - невидимой. Точки 3 и 4 являются экстремальными: 4 - высшей точкой линии пересечения, а 3 - низшей. Горизонтальная проекция отрезка 34 равна малой оси эллипса.

Большая и малая оси эллипсов перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Для построения большой оси эллипса отрезок 3242 делится пополам. Для этого из центра 0 2 опускается перпендикуляр на

хорду 3242. На пересечении перпендикуляра с 3242 определится фронталь­ ная проекция большой оси эллипса 52 = 62. Большая ось эллипса есть фронтально-проецирующая прямая. Для построения ее горизонтальной проекции строится параллель сферы I, на которой лежат точки 5 и 6. Соот­ ветственно горизонтальные проекции 5j и 6| точек, задающих большую ось, принадлежат горизонтальной проекции 1\ параллели.

Для построения плавной кривой находятся промежуточные точки линии пересечения, как точки на соответствующих параллелях сферы.

Полученные точки линии пересечения соединяются с учетом види­ мости. На горизонтальной проекции линии пересечения будут видны точ­ ки, лежащие выше экватора в верхней половине сферы. Видимость поме­ няется на противоположную в точках 1( и 2|, которые принадлежат очерку поверхности.

Натуральное сечение представляет собой окружность радиусом R'. Определена она проецированием на дополнительную плоскость проекций П4.

Рис. 235

Задача 3. Построить сечение прямого кругового конуса плоскостью общего положения £ (А АВС), определить название кривой в сечении и на­ туральную величину искомого сечения (рис. 236).

Анализ заданных геометрических образов показывает, что сечение поверхности вращения плоскостью является фигурой симметричной. Ось симметрии искомой линии пересечения лежит в плоскости 0 (0,), перпен­ дикулярной заданному треугольнику АВС и проходящей через ось враще­ ния конуса. Общая плоскость симметрии является горизонтальнопроецирующей, поэтому горизонтальная проекция искомой линии пересе­ чения будет симметричной относительно следа 0i плоскости 0.

Кривая сечения строится по точкам способом вспомогательных се­ кущих плоскостей. Построения начинаются с опорных точек.

Высшая и низшая точки всегда лежат в общей плоскости симметрии двух пересекающихся геометрических образов. Плоскость 0 (00 пересекает конус по образующим SK и SK', а треуголоник АВС - по прямой LP, горизонтальнее проекции которых совпадают со следом плоскости ©|. На пересечении фронтальных проекций S2K2 и Ь2Р2 определится проекция \2, искомой точки 1, которая является наивысшей точкой линии пересечения. Горизонтальная проекция Г точки 1 находится на следе плоскости 0 1.

Низшие точки в данном примере располагаются на основании конуса в плоскости П(. Плоскость П1 пересекается с плоскостью L треугольника (при его продолжении) по горизонтали нулевого уровня h°, проходящей через точку А. Для определения направления h°i в плоскости треугольника АВС построена горизонталь h, проходящая через точку С. На пересечении построенной проекции /Л и окружности основания конуса, лежащих в од­ ной плоскости Пь получаются проекции низших точек линии пересечения 2i и 2\. Фронтальные проекции 22, 2'2 лежат на фронтальной проекции ос­ нования конуса.

Точки изменения видимости строятся при помощи фронтальной плоскости уровня Ф (Ф0, проходящей через ось конуса. Она пересекает конус по очерковым образующим, а треугольник АВС - по линии MN. На пересечении их фронтальных проекций получается точка 32 - фронтальная проекция точки изменения видимости. Горизонтальная проекция 3) лежит на следе плоскости Фь Так как горизонтальная проекция кривой симмет­ рична относительно 0], то на П] построена симметричная промежуточная точка 3V Фронтальная проекция 3'2 находится на одинаковом уровне с проекцией 32.

Промежуточные точки линии пересечения строятся при помощи вспомогательных плоскостей уровня Г и Г' - это точки 5, 5 'и 4 , 4 'соот­ ветственно. Точка 6 показана как точка встречи прямой АС с поверхностью конуса.