книги / Начертательная геометрия

4. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Аналитическое решение задачи о прямой, пересекающей плоскость, сводится к решению системы уравнений с тремя неизвестными. Допустим, что плоскость Е задана уравнением:

Ахх + В\у + C\z + D\ = О,

апрямая I задана совокупностью двух уравнений

А2Х + В2У+ C2z + D2 = 0 и А-ух + В3у + C3z + D3 —0. Координаты точки пересечения прямой / с плоскостью Е определяются в результате совместного решения этих трех уравнений.

При аналитическом решении задачи о пересечении двух плоскостей, заданных общими уравнениями, получают общее уравнение прямой ли­ нии:

(Ахх + В\у + C\Z + D\ —0, |А2х + В2У + C2Z + Di ~ 0.

Вопрос может состоять только лишь в переводе этой совокупности общих уравнений в каноническое уравнение прямой.

Графическое решение позиционных задач на пересечение простей­ ших геометрических образов в общем случае включает в себя построение либо точки встречи прямой с плоскостью, либо линии пересечения двух плоскостей. При этом линия пересечения плоскостей однозначно опреде­ ляется двумя точками. Таким образом, в конечном итоге задачи на пересе­ чение сводятся к нахождению точек (одной или двух), общих для обоих пересекающихся геометрических образов, и выявлению видимости этих образов относительно друг друга.

При построении таких общих точек важную роль играет расположе­ ние геометрических образов относительно плоскостей проекций. Так, если плоскость, с которой пересекается либо прямая, либо другая плоскость, за­ нимает частное положение, то общая точка (линия) легко находится в чер­ теже без дополнительных построений (рис. 91 а, б).

Здесь искомыми являются точка К, фронтальная проекция которой определяется при пересечении следа @2 плоскости 0 с фронтальной проек­ цией прямой I (см. рис. 91 а), и линия 12, горизонтальная проекция которой определяется точками пересечения следа @1 плоскости 0 с горизонталь­ ными проекциями прямых АВ и СВ (см. рис. 91 б).

При определении видимости условно считается, что заданная про­ ецирующая плоскость непрозрачна, поэтому видимым будет то, что нахо­ дится перед ней (см. рис. 91 б) и над ней (см. рис. 91 а). Стрелкой на чер­ теже показано направление взгляда на ту плоскость проекций, видимость на которой определяется. На плоскости проекций, которой заданная плос­ кость перпендикулярна, видимость уже определена, так как плоскость про­ ецируется в прямую и ничего от наблюдателя не закрывает.

Рис. 91

В случае, когда пересекающиеся геометрические образы (в частно­ сти, цлоскости) занимают общее положение относительно плоскостей про­ екций, нахождение точек (линий) пересечения без дополнительных по­ строений невозможно.

При решении таких задач применяют один из наиболее распростра­ ненных в начертательной геометрии способов - способ вспомогательных секущих плоскостей. Этот способ является частным случаем общего спо­ соба вспомогательных секущих поверхностей, так как плоскость можно рассматривать как простейшую поверхность. Способ вспомогательных се­ кущих поверхностей более полно будет рассмотрен далее.

Сущность способа вспомогательных секущих плоскостей заключает­ ся в том, что в системе плоскостей проекций с заданными геометрически­ ми образами вводятся дополнительные вспомогательные секущие плоско­ сти. Такие плоскости пересекают заданные г.о. и позволяют с помощью ряда построений выявить общие для обоих образов точки. В качестве се­ кущих удобно использовать плоскости частного положения, пересечение с которыми определить, как было показано ранее, достаточно просто.

Рассмотрим алгоритм применения способа вспомогательных секу­ щих плоскостей на примере решения следующих задач:

-пересечение прямой линии с плоскостью общего положения;

-пересечение двух плоскостей общего положения;

-анализ взаимного положения прямой и плоскости, двух плоскостей.

При решении этой задачи необходимо построить точку, одновремен­ но принадлежащую прямой и плоскости, и определить видимость прямой относительно плоскости.

Алгоритм решения задачи следующий:

1) через заданную прямую проводят вспомогательную секущую плоскость;

2) строят линию пересечения двух плоскостей - секущей и заданной;

3)находят общую точку построенной линии пересечения с заданной

прямой;

4)определяют видимость прямой относительно плоскости.

На рис. 92 проиллюстрирован алго­ ритм решения задачи. Здесь I - заданная прямая, L - заданная плоскость, 0 - секущая плоскость, т - линия пересечения секущей плоскости с заданной, D - искомая точка пересечения прямой с плоскостью.

Приведенный алгоритм решения зада­ чи справедлив и при выполнении построе­ ний на эпюре. Однако следует обратить внимание на то, что вспомогательную секу­

щую плоскость можно вводить как на Пь так и на П2.

На рис. 93а через прямую I проведена горизонтально-проецирующая вспомогательная секущая плоскость 0 (0!), а на рис. 936 через прямую I проведена фронтально-проецирующая вспомогательная секущая плоскость © (02). Результат решения не будет зависеть от того, какой секущей плос­ кости отдано предпочтение. На рис. 93 видимость прямой не рассматривается.

а)

б)

Рис. 93

На рис. 94 задана прямая I и плоскость общего положения L (а АВС). В качестве секущей выбрана горизонтально-проецирующая плоскость @(@i), проходящая через прямую /. Вспомогательная секущая плоскость

@(@i) пересекает данную плоскость L (ААВС) по линии т, горизонтальная проекция которой находится на следе секущей плоскости ©ь Фронтальная проекция линии пересечения строится по точкам, принадлежащим соот­ ветственно фронтальным проекциям сторон треугольника А2С2 и А2В2. На фронтальной плоскости проекций определится проекция D2искомой точки пересечения. Это есть точка пересечения линии т2 с фронтальной проек­ цией заданной прямой 12. Горизонтальная проекция D\ лежит на горизон­ тальной проекции прямой 1\.

Для определения видимости используют пары конкурирующих то­ чек, принадлежащих прямой I и скрещивающейся с ней стороной тре­ угольника. Видимость на горизонтальной плоскости проекций определяет­ ся по паре горизонтально-конкурирующих точек 1, 2, на фронтальной плоскости проекций —по паре фронтально-конкурирующих точек 3, 4.

В точке D пересечения прямой с плоскостью видимость прямой бу­ дет меняться на противоположную.

На рис. 95 представлено построение точки пересечения прямой с плоскостью, заданной следами. Заданы прямая общего положения / и плоскость @(@i,02). Через прямую I проведена горизонтальнопроецирующая плоскость L (Z,), которая пересекает заданную плоскость 0 по прямой MN. Горизонтальная проекция линии пересечения M\N\ совпа­ дает со следом секущей плоскости Lb а фронтальная проекция M2N2опре­ деляется по линиям проекционной связи. Фронтальная проекция заданной прямой 12 пересекает линию M2N2 в точке D2. Горизонтальная проекция точки D принадлежит горизонтальной проекции данной прямой 1\. Точка D принадлежит как прямой, так и заданной плоскости и является искомой точкой встречи прямой / с плоскостью 0 (0 ь 0 2).

Пересечение двух плоскостей общего положения

При решении этой задачи необходимо построить линию пересечения плоскостей, которая определяется двумя точками, и показать видимость плоскостей относительно друг друга. Алгоритм решения задачи способом вспомогательных секущих плоскостей следующий:

1. Определяется первая точка искомой линии пересечения:

вводится вспомогательная секущая плоскость, рассекающая обе заданные;

строятся линии пересечения секущей плоскости с каждой из заданных плоскостей;

-находится точка пересечения построенных линий.

2.Аналогично определяется вторая точка искомой линии пересече­

ния.

3. Показывается видимость плоскостей относительно друг друга.

Алгоритм решения задачи проиллюстрирован на рис. 96. Здесь Р, 0 - заданные плоскости общего положения, П, *Р - вспомогательные секущие плоскости; 12, 34 - линии пересечения секущей плоскости О, с заданными плоскостями; М - первая искомая точка линии пересечения, 56, 78 - линии пересечения секущей плоскости ¥ с заданными плоскостями; N - вторая искомая точка линии пересечения; MN - искомая линия пересечения.

Следует напомнить, что в качестве вспомогательных удобнее ис­ пользовать секущие плоскости частного положения. Для построения линии пересечения, как правило, достаточно двух секущих плоскостей (при ана­ лизе взаимного положения плоскостей вспомогательных секущих плоско­ стей может быть больше двух).

Приведенный алгоритм решения задачи в пространстве справедлив и при выполнении построения на эпюре.

Пример построения на эпюре задачи нахождения линии пересечения двух плоскостей общего положения приведен на рис. 97.

Заданы плоскости общего положения Р (ААВС) и 0 {а II Ь). Для ре­ шения задачи выбираются две секущие фронтально-проецирующие плос­ кости Q (Г22) и 'Р (¥ 2), пересекающие каждую из заданных плоскостей.

При пересечении плоскостей 0 и Р плоскостью Q (П2) получаются линии пересечения с проекциями 1222, 1J2I, и 3242, 3i4j. Эти прямые, рас­ положенные в секущей плоскости Q, в своем взаимном пересечении опре­ деляют горизонтальную проекцию первой искомой точки М.

Вторая секущая плоскость 'Р ('Рг) при пересечениями с заданными плоскостями 0 и Р дает прямые с проекциями 5262, 5i6i, 7282, 7i8i. Эти прямые, расположенные в плоскости в своем пересечении определяют горизонтальную проекцию второй точки )V искомой линии пересечения.

Фронтальные проекции точек М и N находятся на следах соответст­ вующих секущих плоскостей. Таким образом определяются проекции

M\N\ и M2TV2 искомой линии пересечения плоскостей 0 (ААВС) и Р (а |1Ь). В рассмотренном построении были взяты в качестве вспомогатель­ ных две фронтально-проецирующие плоскости. Результат построений не

изменится, если будут взяты иные секущие плоскости частного положения. При выполнении построений рекомендуется использовать особенно­ сти задания плоскостей и проводить вспомогательные секущие плоскости

в соответствии с этим. Например, иногда удобно проводить вспомогатель­ ные секущие плоскости через прямые, которыми задана одна из плоско­ стей. В этом случае построения сводятся к двум последовательным реше­ ниям задачи на пересечение прямой с плоскостью.

На рис. 98 показан вариант введения секущих плоскостей для случая, когда проекции заданных плоскостей накладываются.

Заданы две плоскости общего положения Р(А АВС) и 0 (ED П FD). Фронтально-проецирующая секущая плоскость П (£22) проведена через

прямую ED плоскости 0. Секущая плоскость П (Jlj) пересекает плоскость

Р (ААВС) по линии 12, а плоскость © по заданной прямой ED. На горизон­ тальной плоскости проекций определится проекция первой точки К иско­ мой линии пересечения. В то же время точку К можно рассматривать как точку встречи прямой ED с плоскостью АВС. Для определения второй точ­ ки искомой линии пересечения плоскостей можно провести секущую плоскость через любую из сторон треугольника или через прямую FD. Полное решение аналогичной задачи приведено ниже.

Построение линии пересечения для случая, когда плоскости заданы следами, приведено на рис. 99. Заданы следами плоскости L (Хь Та) и 0 (0ь 0 2). Здесь роль секущих плоскостей выполняют сами плоскости проекций. Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей. Поэтому сначала определя­ ются проекция точки N2 в пересечении фронтальных следов Т2и 0 2 и про­ екция точки iVi в пересечении горизонтальных следов Т\ и 0i. Потом стро­ ятся недостающие проекции М2 и N\ и проекции искомой линии пересече­ ния MN. Таким образом, если плоскости задают следами, то линия пересе­ чения данных плоскостей проходит через точки пересечения одноименных следов плоскостей.

Способ вспомогательных секущих плоскостей удобно использовать для анализа взаимного положения прямой и плоскости, двух плоскостей.

Для прямой и плоскости возможны три варианта их взаимного рас­ положения: прямая пересекает плоскость, параллельна или принадлежит ей.

Анализ сводится к решению задачи на пересечение прямой с плоско­ стью общего положения. Взаимное расположение прямой и линии пересе­ чения секущей плоскости с заданной может быть следующим:

-прямая I совпадает с прямой т т.е. данная прямая I будет принад­ лежать плоскости Е (АВ П CD) (рис. 100 а);

-прямая / параллельна прямой т, т.е. данная прямая I параллельна

плоскости Е (АВ П CD) (рис. 100 б);

- прямая I пересекает прямую т, значит, данная прямая / пересекает плоскость Е (см. рис. 94).

а)

б)

Анализ задачи о взаимном расположении двух плоскостей состоит в том, чтобы выяснить, пересекаются или параллельны между собой данные плоскости. Анализ проводится при решении задачи на пересечение двух плоскостей общего положения. При этом в ходе решения задачи располо­ жение линий пересечения вспомогательной секущей плоскости с каждой из заданных может оказаться следующим:

- линии пересечения, получаемые от одной секущей плоскости, бу­ дут параллельны: 12 || 34, а 56 || 37. В этом случае данные плоскости па­ раллельны между собой (рис. 101);

- линии пересечения, получаемые от каждой секущей плоскости, бу­ дут соответственно пересекаться: 12 П 34, а 56 П 78, следовательно, задан­ ные плоскости Р и 0 пересекаются между собой (см. рис. 97).

Наряду с рассмотренным выше способом анализ задач о взаимном пересечении прямой и плоскости, двух плоскостей иногда проще провести, используя способы преобразования эпюра, которые будут рассмотрены да­ лее.

Рис. 101

5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Определить расстояние от точки до прямой общего поло­ жения.

Расстояние от точки до пря­ мой определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. На рис. 102 для выявления этого перпендикуляра воспользуемся плоскостью 0 , про­ веденной через точку А перпенди­ кулярно прямой /. Именно в этой плоскости будет лежать искомый перпендикуляр (п). На эпюре такую плоскость необходимо задать гори­ зонталью h и фронталью/.

Пример решения задачи на эпюре приведен на рис. 103. Через точку А проведена 0 J. I, заданная горизонталью h, у которой h\A. 1\, и фронталью/ с фронтальной проекцией/2 А. /2 (рис. 103 а).

а)	б)