книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек

Эквивалентные формулировки уравнений состояния	101
Учитывая (4.1.2), получим приращение ДА,:

Ал 2ГЭЕС	ЭЕС	(4.7.4)
— Дег1	-ДФш
2[3е;	Э Ф |Г

В (4.7.4) предполагается суммирование по ш. Выполним дифферен­ цирование.

ал _ 2 Г Е к ~ Е с , .	1 д а . .		1	2("Е к " Е с да . .			1 д а	_	1	•
ш* : ------ Aei+-—		ДФт \=~\------ — Дек|+-—						ДФт	J
3|_ ej	б| дФщ		J	3[	ej	Эеы	е(ЗФт
									(4.7.5)
Здесь введено обозначение			—	= Ек , г^е		- касательный			модуль
			dei
диаграммы деформирования. Введем обозначение
		doi(ei^|,-><t>m) _ .
				■и	"	Гш'
В результате (4.7.5) переходит в
АХ= -	Ек . -E^		ek,Aek,+-fmAOm						(4.7.6)
		ei 3ei			ei
Тогда, имеем
Ek-Ec 2										(4.7.7)
ei	■ekiAeki+■—~ ГшДФт] eij+ -E cAeij-
	3ei			е{	)
Группируя члены с приращени|ями деформаций
АХ= ~ ( ~-к—"			— ekiejj+Ec5ik6ji) Деы+^ГтДФт
	ч	ei	3ej			/

вводя обозначения

102	Линеаризованные уравнения состояния
	-	ekieij+Ec5ij(5j]];
	ei	3ei	J
	Фу= jej fmeyДФ111>		(4.7.8)

получаем уравнения состояния в форме (4.7.3) для несжимаемого ма­ териала.

С учетом сжимаемости материала получим

Тогда

%iki=ASik8 , , i + ^ V 3KK " 5 k,8s:

. _ L		(4.7.9)
^ij	у Sij.
Lkl= ||l - . A EclEk-EcS		1
1+MCEoJ	ei Уl+pc

ПРИ Цоv0 это выражение5 м°жно сравнить с (4.2.9).

Существование функции состояния

103

4.8. Существование функции состояния втеории наведенной неоднородности

Вопрос о существовании функции состояния в нелинейных теориях решается в зависимости от задаваемых физических соотно­ шений.

Очень часто при постулировании физических соотношений идут непосредственно от функции состояния: именно ее вид задает­ ся, а уравнения состояния получаются на основе заданной функции.

Если следовать классическим источникам (С.Г.Лехницкий, В.В.Новожилов /192/), то для упругих анизотропных тел задается однородный многочлен второй степени

2Ф(ец,е|2,...,е33) - aykieyeki ,

(4.8.1)

где aijki - некоторые постоянные коэффициенты, удовлетворяющие требованию, чтобы (4.8.1) была положительно определенной квад­ ратичной формой.

Тогда физические соотношения получают путем дифференци­ рования ф по еу ;

<*ij_ aijkieki •

(4.8.2)

Как видно, в эти шесть уравнений относительно 6 неизвестных входят 36 коэффициентов аум, из которых независимых только 21, так как (4.8.2) получено из (4.8.1) путем дифференцирования, ввиду чего должно выполняться

3jjkl “ 3klij •

(4.8.3)

Кроме того, должны быть допустимы перестановки индексов вида

3ijkl ~ 3jiik = 3jikl = Bjjik ,

(4.8.4)

так как компоненты тензоров напряжений и деформаций обладают такими свойствами.

104	Линеаризованные уравнения состояния

Относительно поворота системы координат, которая является отсчетной для напряжений и деформаций, коэффициенты ajjki при смене системы координат {хь х2, х3} на {уь у2, уз} с матрицей пре­ образования gij, ij = 1,2,3:

aijkl = gip gjq gkrgls3pqrs 1

(4.8.5)

3 ijkl = gip gjqgkrgls 3pqrs .

Таким образом, a^i - тензор модулей упругости четвертого ранга.

Известно, что каждый тензор четвертого ранга может быть свернут и получено 6 тензоров второго ранга. Ввиду симметрии (4.8.2) здесь получится только два тензора второго ранга:

{Ку}, i,j = 1.2. 3; и 1Л0У, i=		1,2,3.
компоненты которых
Ку—aljnn;	Лу —а|Ш|Ш.	(4.8.6)

Ввиду (4.8.3) и (4.8.4). тензоры Ку и Лу симметричны. Физиче­ ский смысл Ку следует из того, что при всестороннем расширении или сжатии у анизотропного тела могут возникать не только нор­ мальные, но и касательные напряжения, а компоненты Ку являются коэффициентами пропорциональности между объемным расширени­ ем и соответствующими напряжениями: при. е = ец = е22 = езз, е\г= б]з= е2з - 0

Оу = Куе.

Физический смысл Лу несколько сложнее. Вводится тензор

Pij= Ку - Лу - 0.5(К| - Л[)сту ,

где К| и Jlj - первые инварианты Ку и Лу. Тогда для Ру

Рп - з2з2э - а222з; Р12= Рц = Зпзз - ап23;

Существование функции состояния

105

Р22= а ш з -а т з ;	Р23= Рэг = агэи - ацп;	(4.8.7)
РЗЗ = ai212aji22;	Pl3 = P.31 = aj322 - аш2.

Pij - это тензор Коши для анизотропного тела.

Коши считал, что различных постоянных в законе (4.8.2) не 21, а только 15, оставшиеся 6 связаны зависимостями

Ру = 0 .	(4.8.8)
В этом случае при переходе в (4.8.2) к изотропному телу ко­
эффициент Пуассона ju=0.25 всегда. Однако	современные представ­

ления основаны на существовании двухконстантности (например, Е и м ) И (4.8.8) не считается справедливым.

Заметим, что (4.8.8) означает перестановку любых двух ин­ дексов в ajjid, а это - весьма частный случай анизотропии.

В современных теориях для анизотропных тел считается, что если выбрать систему координат для анизотропного тела по главным направлениям одного из тензоров Ру или Ку, то констант в (4.8.2) будет 18, так как три из 21 будут связаны зависимостями: или Ру = 0; i*j, или Ку = 0; i*j. Другие системы координат в теории анизотроп­ ных тел почти не применяются из-за того, что нельзя сравнить свойства тел в разных системах отсчета, нужно приводить к одной.

В теории упругости анизотропных тел выделяют различные случаи наличия особого вида симметрии при приведении тензора ауы к главным осям тензоров Ру и Ку: моноклинные, ромбические и т.д., всего семь систем в зависимости от того, что имеется: ось сим­ метрии, плоскость симметрии и т.д.

Рассмотрим некоторые частные аспекты вопросов симметрии применительно к уравнениям состояния теории наведенной неодно­ родности, считая шаг теории Sn как состояние равновесия некоторо­ го анизотропного (неоднородного) тела, когда функции, опреде­ ляющие компоненты 'Рун, имеют определенные фиксированные зна­ чения.

Рассмотрим сначала Туи для общего случая напряженнодеформированного состояния трехмерного тела с наведенной неод­ нородностью.

Уравнения состояния

106 Линеаризованные уравнения состояния

,	ЗК-А.	, ЗК-А. с
^ijki= %jTii+—		6ki6jj-A.5ik5ji+ Lki^y+ ^ ' 5ki5ij»
где для Lw следует:
,	- L	ECW E. 1 Su
^ ■ Г ^ ь Г е Г ^ Т
Рассматривая симметричную компоненту для Ч'уы, а			именно
^lij. легко видеть, что
		Ч'дм-Ч'иу	(4.8.9)
для всех сочетаний	индексов, то есть условие симметрии		(4.8.3)

удовлетворяется. Условие (4.8.4) также удовлетворяется ввиду того, что этим свойством обладают тензоры и Ьц.

По гипотезам, положенным в основу уравнений состояния, тензор H'ijki ориентирован по главным направлениям Ку, так как гид­

ростатические составляющие полных тензоров и приращений		про­
порциональны, при этом
Кц = К22 = К?3 = К, Ку = 0 при i*j .	(4.8.10)
Однако для тел с наведенной нёоднородностью нельзя в общем
случае ожидать дополнительных свойств симметрии,	кроме	пере­
численных: неоднородные свойства определяются	видом	напря­

женного состояния, которое, в свою очередь, задается типом закреп­ ления, комбинацией внешних силовых и агрессивных воздействий. Конкретизируя эти факторы, иногда можно увидеть, что тензор Ч'уы обладает дополнительными свойствами симметрии.

Из уравнений состояния следует, что Тцк|>0. Исходная причи­ на положительности компонент Ч'ум состоит в том, что рассматри­ ваемые обобщенные диаграммы деформирования, применяемые для описания свойств материала, обладают свойством монотонности, откуда следует знакопостоянство производной этой функции, кото­ рая в начальный момент процесса деформирования положительна.

О существовании функции состояния				107
Таким образом,	на протяжении всей истории деформирования
диаграмма, оставаясь	выпуклой,	обеспечивает, в конечном итоге,
положительность Т р .
Доказательство положительной определенности второй вариа­
ции вариационного функционала		теории	наведенной неоднород­
ности будет представлено в следующей			главе. Оно опиралось на
эти свойства обобщенных диаграмм и может использоваться				для

подтверждения положительности Ч 'р для любого шага Sn инкремен­ тальной теории, определяемого суммарными функциями напряжен­ но-деформированного состояния и уровнем деградации механиче­ ских свойств материала.

4.9.О существовании функции состояния

втеории наведенной неоднородности для задач пластин и оболочек

При переходе в физических соотношениях от трехмерного тела к обобщенному плоскому напряженному состоянию нарушается “равноправие” компонент тензоров и тензоров приращений напря­ жений и деформаций. Ввиду этого условия (4.8.4) и (4.8.6) переста­ ют очевидно просматриваться.

Покажем, что несмотря на то, что S33 = 0, езз * 0 (чт0 влечет преобразования в У р), свойства (4.8.4) и (4.8.) выполняются.

Для этого рассмотрим Ч^к и запишем выражение для Ч'ккп, учиты­ вая, что i^k:

(4.9.1)

где введены обозначения

Ri = Ek-Ec; с, = 4(1 - Нс2)

с, = (2цс -1 Хе„! + еи г) + 2(2 - Ис)е„ен - 6(1 - м)(««2+

Си = 2piei I + Цзёгг; С|2 = Цзёи - СгГ,

108 Линеаризованные уравнения состояния

с22 ~ 2Ц1в22 + Ц2б]Ь Сп “ Цз^З - Сзь

сгз = цзе2з = С32; Сзз = 0;

Учитывая, что согласно обозначениям

Скк = 2 ц |е кк+Ц2ец.

рассмотрим (vjejj + \'2е^)скк1

(vieji + \’2е,Д2 jj-iCkk + ц2еи) - Ч\кп° -

= 2p.iVie.iekk+ 2р,\-2е^екк + вменен + Цзч^е^ец.

Для симметричного компонента это произведение даст

(vieifc-r v2en)(2pien+ р2е^)= Ч^к0 =

= 2vmlekkeii + 2щу2енен + v ^ . e ^ + v2p2etiejj.

Увидим, что Ч ^й0 = Тнкк0. Это следует из того, что i может принимать два значения: i=l и i=2. При этом j принимает значение альтернативного индекса: при i=l; j=2. при i=2: j= l. Аналогично для индекса к: к принимает значения I и 2, при этом 1 - альтернативный индекс.

Таким образом, имеем:

при i=l	j=2, k=2,1=1, так как i*j, Ы , i^k;
при i=2	j=l, k=l, 1=2.

Теперь очевидно, что = %ki.°, откуда следует, что Ч'кки = %кк. Рассмотрим компоненты 4Vlki при 1=1,2; k,l = 1,2,3.

О существовании функции состояния	109

ш	- R«		1	*
H iik i-:-------------- V3eiti
	1+Цс сз-С4
^iiki° = v3ek|(2nieii + Цг^).
Запишем симметричное:
Ч'кШ=			V1.ekl(-fIle»i+^2ejj) >
	l + P c C3-C4		V
i*j;	ij=I,2;	k,1=1,2,3;		Ы .
Симметрия теперь очевидна.
Рассмотрев Ч'уы	и Ч'му из (4.7.3), можно увидеть симметрию

для набора индексов при Щ, Ы . Второй вид симметрии (4.8.4) оче­ виден из свойств тензоров еу и 5у.

Следует отметить, что симметричности по перестановке лю­ бых двух индексов в Уук| не отмечается, это можно видеть, сравни­ вая *Pjjki для разных сочетаний индексов. Однако для частных случаев напряженного состояния пластин и оболочек, когда, например, е]3 и е23 равны нулю, при к=1.1=3 и к=2.1=3, откуда следует, что тензор ^jikl на каждом шаге Su будет по свойствам симметрии анало­ гичен моноклинной системе, когда отличны от нуля 13 коэффициен­ тов в Tyki.

Возможно напряженное состояние, когда сдвиговых деформа­ ций нет: eJ2 = eJ3 - е23 = 0, то Т р = 0, при к=1,2; 1=2,3. Тогда свойст­ ва тензора аналогичны свойствам анизотропного тела с симметрией кубического кристалла. Для таких анизотропных свойств тензоры Ку и Ру - шаровые тензоры.

Также может быть получен в виде частного случая изотропный тензор четвертого ранга с двумя константами (например Е и D ).

В результате приведенных рассуждений следует заключить, что уравнения состояния в приращениях, построенные в инкременталь­ ном виде в теории наведенной неоднородности, обладают такими свойствами, что позволяют развивать в дальнейших построениях теории вариационные принципы и методы, аналогичные тем, кото­ рые используются в упругих задачах, когда существует потенциаль­ ная функция энергии деформации с ее минимальными свойствами.

п о	Линеаризованные уравнения состояния

Это также позволяет сделать вывод о существовании решений относительно приращений на шаге теории для тех задач расчета пластин и оболочек, для которых известно существование решения в упругом случае. Для решения вопроса единственности решения для приращений необходимо развить аппарат, позволяющий исследо­ вать появление неединственности определяемых на шаге прираще­ ний, что, как будет видно из дальнейшего изложения, эквивалентно исследованию бифуркаций процесса деформирования.