книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек

Вариационный критерий устойчивости

231

П о определению, данному в п. 10.1, такое упругое неодно­ родное тело - это упругий эквивалент конструкции в состоянии

Sn.

Задача о единственности продолжения основного процесса перехода в Su+i свелась к задаче устойчивости упругого эквива­ лента конструкции в состоянии Sn, для которого формально оказываются применимыми известные критерии устойчивости упругих тел. Для упругого эквивалента полными функциями яв­ ляются приращения данного шага,' полные функции состояния Sn позволяют определить матрицу констант материала в состоя­ нии Sn. Ввиду того, что уравнения состояния в теории наведен­ ной неоднородности линейны относительно приращений, фор­ мальный акт варьирования, необходимый для получения упруго­ го эквивалента, сводится к "замораживанию" процесса деграда­ ции, в результате чего фу в (10.4.1) пропадают, а Уундля упругого эквивалента - это матрица жесткостных коэффициентов, опреде­ ляемая в уравнениях состояния инкрементальной теории, что было продемонстрировано в п.9.7 главы 9.

Функционал ДП, варьированием которого формулируют критерии устойчивости, по отношению к упругому эквиваленту может считаться энергией деформации упругого эквивалента (в этом случае все соотношения должны быть линеаризованы).

Будем в дальнейшем, при формулировке условий устойчи­ вости, пользоваться термином "энергетический эквивалент" в состоянии Sn, понимая под этим потенциальную энергию де­ формации упругого эквивалента в состоянии Sn, введя для него обозначение ДПЭ.

Проблема устойчивости, поставленная и рассмотренная как бифуркация продолжения процесса деформирования и деграда­ ции, свелась к задаче устойчивости состояния равновесия для упругого эквивалента. Сформулированные критерии по форме могут рассматриваться как (10.2.14), (10.3.15) из п.10.2, п.10.3, но для энергетического эквивалента состояния Sn.

При этом отметим одну особенность: упругий эквивалент имеет все соотношения линейными и для него запись 52ДПЭ и просто ДПЭ-одно и то же; под приращениями перемещений для линейного случая можно понимать их вариации, в этом сущ­ ность упругого эквивалента, отсюда ДПЭ=52ДПЭ=82ДП. ч

Еще раз отметим, что упругий эквивалент и энергетиче­ ский эквивалент могут применяться только при установлении

232 Вариационные критерии устойчивости

критериев устойчивости процесса деформирования, когда внеш­ ний процесс "заморожен" и определяются условия бифуркации. Нельзя получить упругий эквивалент состояния Sn+i из упругого эквивалента состояния Sn. Необходимо сделать полный шаг в инкрементальной теории и получить новую матрицу \|/уы в урав­ нениях состояния. Она и будет определять упругий эквивалент. Энергетический эквивалент определяет матрица констант Туи и накопленный уровень напряжений сту.

Наряду с критериями в форме (10.4.16) и (10.4.17), формули­

руемыми для энергетического эквивалента,	можно использовать
краевую задачу иа собственные значения,	из которой определя­
ется критический уровень напряжений ау,	за которым процесс
может терять устойчивость.

Из (10.4.15) можно получить определяющие уравнения ус­ тойчивости в виде краевой задачи. Для этого в (10.4.15) подста­ вим геометрические линейные соотношения, затем применим формулу Грина для интегрирования по частям, как это делается для получения уравнений равновесия, и приравняем нулю коэф­ фициенты при 5AUj.

В результате получается система определяющих уравнений:

'Г - | C?kl~ !=0		на	V:
OXj <7Xk\	<?Xj )
		на	Si ;	(10.4.18)
	на	S2.

Нормируя поле напряжений сяу к неизвестному пока пара­ метру - R так, что akj = - Ra°kj, получаем линейную краевую задачу на собственные значения:

на V;

на Si ;

(10.4.19)

AUi = 0

на S2.

Вариационный критерийустойчивости						233
Используя R, можно получить
Щ А(A U j- R		2	-к—		dv = 0.	(10.4.20)
_	'		axi	axj
Обозначив, как и в п. 10.3,
ffl[A(iUi)dv=U		v	2	axj	dv=T j
v					axj
имеем вместо (10.4.20)
	5U - R5T = 0			,		(10.4.21)

что равносильно 8R = 0, если lA(MJi)dv

	R = -----	*------------------	,
	m<^dAUkdAUkdv
	v 2	3xj	dxj
так как	оR = -- (оU - R8T).

Условием появления бифуркации процесса в состоянии Sn является соответствие значения параметра R, полученное как собственное значение краевой задачи, и уровня параметра в со­ стоянии S,,. как накопленного по шагам.

Отсюда следует, что точки стационарности энергетическо­ го эквивалента состояния S« позволят определить, является ли данный шаг теории критическим в следующем смысле: при данной истории внешнего процесса, состоящей именно в этой, заданной последовательности и величине прикладываемых на­ грузок, продолжительности и интенсивности воздействий внеш­ ней среды, из условия стационарности энергетического эквива­ лента определяется наираннее состояние внутреннего взаимосвя­ занного процесса деформирования и деградации, когда нару­ шается единственность его продолжения, таким образом, если при переходе из Sn в S»+i определяемые приращения неединсгвенны.

Критерием для определения нарушения единственности продолжения процесса из состояния Sn является R3<Rn, где R3

234	Вариационные критерииустойчивости
определяется из условия стационарности энергетического эк­

вивалента 6АП:»= 0, где ДПЭвведенный энергетический эквива­ лент (или из краевой задачи на собственные значения), a Rn - значение нормирующего параметра поля накопленных по шагам напряжений щ в состоянии Sn.

Для истории внешнего процесса, наиболее распространен­ ной в данных задачах, когда конструкция сначала нагружается до некоторого уровня Рф, не достигающего критического, а затем эксплуатируется под действием внешнего процесса постоянной интенсивности, вызывающего деградацию свойств материала,

можно определить	время	эксплуатации	конструкции
(долговечность) до	точки	бифуркации первого	порядка для
внутреннего процесса,	являющейся наиранней для		заданной ис­

тории процесса деградации - это сумма приращений параметра времени, накопленная при движении по параметрам внешнего процесса деградации.

В заключение отметим, что аналогичные по внешней форме функционального представления критерия бифуркации, как и следовало ожидать, можно видеть в исследованиях в облас­ ти устойчивости в теориях пластичности [80, 168, 136, 37 и др.]. Однако это - лишь внешнее совпадение. Во всех теориях пла­ стичности свойства материала заданы, их изменение происхо­ дит в результате действия нагрузок и описывается, в рамках раз­ работанных теорий для данного материала. Ищется при этом критический уровень приложенных нагрузок. В нашем случае опеделяется критическое время, в течение которого нагружен­ ная конструкция, находящаяся под воздействием внешнего про­ цесса, потеряет устойчивость в результате деградации свойств материала, зависящей от изменяющегося урЬвня напряжений в каждой точке тела. Такая постановка задачи является новой, И настоящая работа, конечно, не решает всех вопросов в пробле­ ме устойчивости, которая для неупругих задач механики еще да­ лека от своего завершения.

Задачи построения вариационных критериев представле­ ны в главе 11 па конкретных примерах , где будут рассмотрены тонкостенные конструкции со своим способом нагружения, за­ крепления и геометрическими зависимостями, деформирующие­ ся в соответствии с теорией наведенной неоднородности.

Особенности применения критерия бифуркации

235

10.5. Особенности применениякритериябифуркации первого порядка вслучае нарушениямонотонности

процессадеформирования

Процесс деформирования нагруженных конструкций в ус­ ловиях внешних агрессивных воздействий, описываемый инкре­ ментальной теорией наведенной неоднородности, может терять монотонность.

Как известно, деформационная теория в полных функциях, когда постулируется существование конечных, не зависящих от пути деформирования, соотношений, связывающих инварианты напряженного и деформированного состояния oi(ei) (диаграмма деформирования), описывает упруго-пластическое деформиро­ вание в условиях простого нагружения. В этом случае деформа­ ционная теория практически неотличима от теории нелинейно­ упругого тела (за исключением случаев использования диаграмм с условиями текучести).

При использовании деформационной теории в приращени­ ях история деформирования учитывается и существует возмож­ ность учитывать появление зон пассивного деформирования. Как известно, применение деформационной теории для изучения пластических деформаций вызывает обоснованную критику. Ва­ рианты деформационной теории в приращениях также несво­ бодны от недостатков, когда речь идет о специфических для тео­ ретических исследований в области пластичности аспектах [126, 136, 288, 289 и др.]. Однако для исследований в 'докритической области и при определении бифуркационных критических нагру­ зок деформационная теория в приращениях находит свое приме­ нение [115, 136, 292, 293,60-64,86,81-84], более того, дает, в ряде случаев, значения критических нагрузок тонкостенных конст­ рукций , более близкие к их экспериментальным значениям, чем варианты теории течения [136].

Не останавливаясь здесь на многочисленных теоретических аспектах и проблемах пластичности, которые не являются предметом исследований данной работы, сделаем некоторые за­ мечания, касающиеся возможности появления зон пассивного деформирования в процессе деформирования и деградации, опи­ сываемого теорией наведенной неоднородности.

Следует отметить, что взаимосвязанный процесс деформи­ рования и деградации, описываемый в рамках теории наведен­

236	Вариационные критерии устойчивости

ной неоднородности, является необратимым уже вследствие не­ обратимости изменений, происходящих в материале (что отра­ жено при введении функций деградации материала). Траекто­ рия движения изображающей точки по поверхности деградации (рис.62 главы 2) не может иметь точек возврата. Перераспреде­ ление напряжений в результате деградации материала, в том числе их уменьшение в Зонах наиболее пораженного материала, вызывает переход изображающей точки по объективной гипер­ поверхности деформирования на объективную диаграмму, соот­ ветствующую в данной точке материала данному уровню напря­ жений и значений деградационных функций. Деформации в этой точке при этом продолжают возрастать. Таким образом, рассматриваемый процесс не может рассматриваться как после­ довательность состояний с возможным возвратом по диаграмме, как в нелинейной упругости, записанной через приращения, что часто делается.

Если речь идет о необратимости другой природы, связан­ ной с проявлением и изменением пластических свойств материа­ ла в результате как нагружения, так и деградации материала под действием внешних агрессивных факторов, то следует учи­ тывать возможность пассивного деформирования при форми­ ровании тензора Tijki. Как известно, в теориях пластичности счи­ тается, что пассивное деформирование происходит по закону упругости, то есть для пассивной ветви касательный и секущий модули равны касательному модулю в начале координат:

Ек = Ес = Ео.	(10.4.22)
Так как было показано, что	в предельном случае линей­

ной упругости дает изотропный тензор четвертого ранга, то для зон пассивного деформирования не требуется новых уравне­ н ий состояния.

Возвращаясь к вопросам формирования и применимости критериев устойчивости, и при наличии зон пассивного дефор­ мирования следует использовать введенный упругий эквивалент. Однако теперь в состоянии S» в зонах активного и пассивного деформирования в тензоре Ч'уы для точки тела будет соответст­ вующая зоне, которой принадлежит эта точка, информация, и для пассивного деформирования в Ч^и при его формировании следует использовать (10.4.22).

Так как для критерия процесса деформирования наиранний момент бифуркации для данной теории дает бифуркация первого

Особенности применения критерия бифуркации

237

порядка, как было показано, и принята концепция равноактивности основного и побочного процессов, что дает возможность использовать в качестве матрицы констант упругого эквивален­ та вычисленный на шаге тензор Т р , так как появление дополни­ тельных пластических зон, сопровождающих бифуркацию, мож­ но не учитывать. Из сказанного следует, что при учете пластиче­ ских свойств материала форма критерия (10.4.15) может быть видоизменена:

Ш Т р Л е 1 ,8 ( д е ^ +/Я 4 f t A e ^ ie ^ v + ftf			^ ) d v = 0 .
у	Vp	v	dXi v dxj J
где	вычисляется с учетом (10.4.22), a Va и Vp - объемы мате­

риала, соответствующие зонам активного и пассивного дефор­ мирования в состоянии Sn. Такие изменения потребуется внести в критерии устойчивости, которые будут рассмотрены в следую­ щей главе, для решения конкретных задач, если будут получены данные об изменении пластических свойств материала конструк­ ции при его деградации.

Однако пока нельзя указать таких данных эксперимента, пользуясь которыми можно было бы построить объективную поверхность деформирования для ветви пассивного деформиро­ вания. Поэтому исследования в области развитой пластичности с учетом деградации свойств материала пока, как представляет­ ся, могут носить только гипотетический характер.

Вместе с этим, можно указать большой круг задач устойчи­ вости для тонкостенных конструкций, в частности все задачи, в которых докритическое деформирование происходит без иэгибных составляющих, когда до точки бифуркации процесса зон разгрузки не возникает. Тогда критерий устойчивости процесса деформирования по концепции продолжающегося нагружения по функциональному представлению неотличим от критерия би­ фуркации нелинейно-упругого тела, для которого бифуркация процесса идентична бифуркации состояния.

238Приложение вариационных критериев к проблеме устойчивости

Глава 11. Приложение вариационных критериев

кпроблеме устойчивости пластин и оболочек

снаведенной неоднородностью

11.1. Критерии устойчивости докритического процесса деформирования и деградации пластин и оболочек, протекающего без изгибов

Рассмотрим конкретизацию вариационной формулировки критерия устойчивости процесса деформирования и деграда­ ции трехмерного тела с наведенной неоднородностью, получен­ ной в главе 10, для частных случаев напряженного состояния пластин и оболочек, для которых потеря устойчивости является объектом наибольшего внимания вследствие их геометрических свойств.

В этой части главы рассмотрим такие частные случаи на­ пряженно-деформированного состояния идеальных пластин и оболочек, когда вид нагружения и внешний процесс позволяют сделать допущение о том, что до потери устойчивости в конст­ рукции не возникает изгибов.

11.1.1.Критерий устойчивости сжатых пластин

По В.В.Новожилову, пластина, нагруженная с торцов усилиями, приложенными в срединной плоскости, находится в условиях обобщенного плоского напряженного состояния, если под напряжениями и перемещениями понимать вместо а п , ап ,

а 22, щ, иг их осредненные по толщине значения
h		] h
i h° iidX3,	Ui=	2 h - i U‘dX3’		U 3 = 0 ■
При этом принимается, что
	- = -		=0.
	аз!	а з

Для компонент тензоров следует интересоваться только их осредненными значениями.

Р а с с м о т р и м п л а ст и н у , н а гр у ж е н н у ю с т о р ц о в су сим-

у с и л и я м и , р а в н о м е р н о				р асп р ед ел ен н ы м и п о ко н ту*				JV
д о п у с т и м , ч т о		в н е ш н и е во зд ей ств и я т а к о в ы ,				ч т о г		ёгр?
т е р и а л а т а к ж е р а в н о м е р н а п о т о л щ и н е . П р о ц е с
н и я э т о й	п л а с т и н ы о п и сы в а е т ся тео р и ей					н а в е
р о д н о с т и ,	и	н а	э т а п а х S i, S 2 ,...S n п о т е р и			уст»	^	ч и т
и з о ш л о , п р и		э т о м	н а к а ж д о м		и х э т а п о в п л а с л		>на o f
в и я х о б о б щ е н н о г о п л о с к о г о н а п р я ж е н н о г о							с о с г о
н о м э т а п е S n и зв е с т н о				н ап р я ж ен н о е состо г
и с т о р и ю д е ф о р м и р о в а н и я .
Уравнения			состояния		материала н;	этап
ния задаются (3.17):
			Доц = Ч'уиДем + QiimA'

л 2

лощим

:фИ ЭТО

дация ма юрмирова )й неодно ости не про­ гнется в усло-

лния. Н а данткопленное за

ах деформирова-

( 11.1.1)

При плоском напряженном

сосг

. деформации

при-

нимаются линейными и не зависят от

диз.

Однако

при увеличе-

нии

нагрузок или в результате прои

ес:-,а р

эградации, связанного

с процессом деформирования,

мож

наг

кого процесса, и при переходе к S>

+l иау

гупать бифуркация та-

ушается единственность

при

определении приращений

еДиш

гвенность

продолжения

процесса), становится возможен с

^ежн1

■1Й процесс.

Рассмотрим здесь

условия

10ЙВЛ

:ния такого смежного про-

цесса, при котором пластина г

iepeCT

аег наХодиться в

условиях

плоского напряженного сосго:

»ния

1

появляется

возможность

приращений перемещений Ди-

^

ри этом, как можно видеть,

задача ставится, как

при

с

пред'

лении

бифуркации

первого

порядка (глава 9). Тогда, г

вряд

! с

исходным процессом

(Дщ,

Ди2, 0), возможен смежный

(Диг

-Дщ1 э ДЦ2+ДЦ21, 0 + Диз1}. Для

обоих процессов состояние

Sn

шляется общим,

следовательно,

Тци и Qijm - общие при ог

Р*Д' шении приращений основного и

смежного процессов.

Для основного продо

ния выполняются геометрические

сотношения:

Ден=

^

+

—

;L

(11.1.2)

dxj

9xi

Д л я с м е ж н о г о п р о д с лж ен и я д л я г е о м е т р и ч е ск и х св я зе й с л е ­

д у е т :

Де j= д 4 “* хзагац\	г =Деу	Дец—ха	(11.1.3)
Эх?

240 Приложение вариационных критериев к проблеме устойчивости

где

9xj	dxi	dxj dXi ■ i,j = l,2	(11.1.4)
	i _ A i	д^диз

A eij-A Eij-xj-dXjTF ■

Как было указано в главе 10, следует считать приращения, отличающие основное и смежное продолжения {Аш1}, бесконеч­ но малыми выриациями, не нарушающими геометрических гра­ ничных условий. При этом нелинейные слагаемые в определе­ нии Asij1 нужно отбросить. Варьирование уравнений состояния приводит, как указано в главах 9,10, к "замораживанию" деградационного процесса,

Аау1= ^ijkjAeki'.							(11.1.5)
Теперь записываем выражение для энергетического эквива­
лента, стационарные точки	которого определят критические
значения параметров внешнего процесса:
АП=м( AoljAelj+As,/		^	aA“f y v .				(11.1.6)
V		dXj	dXj )
Подставляя вместо Дец1 выражение (11.1.4), для							энегетиче-
ского эквивалента АП получим:
А 1	дгАиз	+Aoij		Э ДизЭ Диз		lv	(11.1.7)
Д е д -х з — 5“				dxj	d\j
	дх?
Рассмотрим первое слагаемое		(11.1.7),			учитывая,		что нуж­

но брать линеаризованное выражение для Дед1, и используя не­ мое суммирование и симметрию тензоров:

Я/AG!JAejjdv=Я!Aa'j		5xj	•
v	v
Применив формулу Грина,	а затем		используя геометриче­

ские граничные условия, которые не нарушаются варьированием исходного процесса, а также плоское напряженное состояние с

нулевыми условиями на контуре,	можно заключить, что это сла­
гаемое обращается в ноль.
Тогда (11.1.7) формулируется в виде
Л П = 1 Aaij	., . дАиз дАиз
	+Aaij— ---- — >

5xj 5Xj