книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек

Концепция критериального подхода

181

Глава 9. Ф ормализация критериальной оценки длительной устойчивости на основе теории бифуркаций процессов

9.1.Концепция критериального подхода

коценке долговечности

Оценка работоспособности конструктивных элементов обычно связана с количественным сравнением той или иной комбинации фазовых переменных математической модели с ее некоторым допус­ тимым предельным значением. Здесь, как правило, необходимы достоверные экспериментальные данные о характере процесса раз­ рушения конструкционных материалов, так как в основе количест­ венного критерия оценки работоспособности конструкций лежит экспериментальная информация о двух состояниях материала: об исходном состоянии при t = 0 и о состоянии, предшествующем мо­ менту разрушения материала.

Следует отметить, что если экспериментальные данные, харак­ теризующие свойства материала в исходном состоянии, имеют обычно достаточную степень достоверности, то получение данных экспериментальных измерений в области значений параметров, предшествующей разрушению материала в фиксированных точках, с точки зрения достоверности, проблематично. В связи с этим, при проведении каких-либо экспериментальных измерений в этих об­ ластях трудно гарантировать их количественную достоверность, и установление границ работоспособности конструкций во многом зависит от субъективных представлений исследователя, что является препятствием для объективных оценок в данной области.

В этом случае перспективен другой путь получения оценок работоспособности конструкций, взаимодействующих с агрессивной средой. Этот путь состоит во введении функциональных зависимо­ стей для описания процессов взаимодействия материала конструкции и среды и затем в изучении устойчивости этих процессов.

При рассмотрении вопросов деформирования нагруженных конструктивных элементов, взаимодействующих с агрессивной

182 Формализация критериальной оценки длительной устойчивости

средой, всегда имеем дело с некоторым реологическим процес­ сом, состоящим в медленном движении континуума точек де­ формируемого твердого тела.

Все виды отказов, приводящие к какой-либо потере работо­ способности конструкции (естественно, в рамках гипотез тео­ рии деформируемого тела), следует искать только среди особых (характерных) точек реологического процесса.

Таким образом, в этой постановке возникает вопрос об особых точках реологического процесса деформирования, то есть вопрос об устойчивости процесса. Следует подчеркнуть, что такое понятие устойчивости шире традиционного опреде­ ления, оно не тождественно понятию устойчивости состояния равновесия деформируемого тела, не тождественно оно и поня­ тию устойчивости движения в соответствии с классической тео­ рией, где на первое место выходит инерционность связей систе­ мы, именно она создает память о прошедших моментах и со­ стоянии системы в этих моментах.

В такой постановке задачи устойчивости рассматривал В.Д.Клюшников/136,137/. В его работах с точки зрения теории устойчивости процессов обсуждались упруго-пластические зада­ чи и процессы ползучести. Были получены критерии устойчиво­ сти для упруго-пластических сред и критерии устойчивости про­ цессов ползучести. Для процессов ползучести В.Д.Клюшников ввел понятия особых точек процессов для сложных сред - точек псевдобифуркации различных порядков.

В данном случае, когда имеем процесс взаимодействия аг­ рессивной среды с материалом нагруженной конструкции и де­ формирование конструкции, такой памятью о прошедших мо­ ментах деформирования (историей деформирования) должна об­ ладать система уравнений, определяющая процесс взаимодейст­ вия. При этом неустойчивость такого процесса обусловлена из­ менением природы внутренних связей системы и характеризует­ ся неединственностью продолжения процесса для его внутрен­ них, определяющих параметров.

Это позволяет положить в основу исследований устойчи­ вости данных процессов квазистатический подход. Потеря ус­ тойчивости исходного процесса деформирования может служить в качестве критериальной оценки работоспособности конструк­ ции в условиях внешних агрессивных воздействий, изменяю­

Основные понятия теории бифуркаций процессов

Ш

щих физико-механические свойства материала в процессе де­ формирования.

9.2.Основные понятия теории бифуркаций процессов

вприложении к реологическим процессам деформирования твердых тел

Распространим введенный В.Д.Клюшниковым подход к ис­ следованию устойчивости сложных сред на новый класс задач, когда, наряду с процессом ползучести, в материале нагруженной конструкции протекает процесс изменения физико-механических свойств, обусловленный внешними факторами, что приводит к накоплению в материале рассеянных микроповреждений, мера которых определяется вводимой функцией <в, зависящей от на­ пряжений и параметров воздействия.

Пусть рассматриваемый процесс деформирования конст­ рукции имеет определяющие соотношения следующего типа:

р (	•	- ,	,<к) ,	......,к) Wo, (9.2.1)
,J Vdmn’ffnm CTmii			СГ mil бтп emn Сшп		с тп/

где к-порядок производной от компонент тензора напряжений Ота или деформаций етп. Рассмотрим две системы определяющих функций, удовлетворяющих системе (9.2.1): {o0mn,e0mn} в исход­ ном состоянии и {<Jmn, Cmn} в возмущенном состоянии. Введем в рассмотрение приращения определяющих функций:

Дощп = Omn - 0®mni		Дбтп —emn “ e®mn,
ДСТтп = Omn - 0°mn;		Двтп = бит - е°тп;
(к)	(к) (к)	(к)	(к) (к)
ДСТтп =	СГтп - Cf°mn;	Дбтп = бтп - е°пш.

Очевидно, для приращений из системы (9.2.1) получим ли­ нейную систему следующего вида:

184 Формализация критериальной оценки длительной устойчивости

(а?||/ао™)до™, + (sF i/Э а ,т )л 0 тп+ (5Р«/Э0 тп)даш„ +

+..... +(ар»/а0т3д *>» + (ЗР</Зега}детп + (ар»/аем)дётп+(9'2'2)

' + ( 5 F » / э ё т п ) д ё т п + ' ........ Э е О л ' е т г , = ° '

которая описывает поведение упругого неоднородного материа­ ла, представляющего собой упругий эквивалент в данный, фиксированный момент времени [136].

Основываясь на соотношении (9.2.2), можно указать ряд особых точек процесса (9.2.1):

Iо		(к)	(к)
	Детп^О', Д(Ттп~Детп—1)j .... Детп—Дсг—0:
	0)	(1)
2) Дотп^О;	Дбтп^О: ACTirm=Aenui=0: Дстшп=Дешп=0; для 1—2.3.

О) (1)

3) Аапш^О; Детп^О; Дотп=Детп—О» Дотп Д£тп—0: для 1—1,3,4,...к,

(в)	(в)	0)	(I)
Дошп^О’, Детп^О;		Дош,,=Детп=0; Дошп=Дегш)=0: для всех 1^в.

Отметим, что соотношениями типа (9.2.1) описывается по­ ведение широкого класса тел, материал которых представляет собой сложную среду - упругую неоднородную, вязкую ползу­ щую, упруго-пластическую. При конкретном выборе модели ма­ териала должен адекватно конкретизироваться выбор функций Fij.

Решение бифуркационных задач длительнойустойчивости 185

9.3. Решение бифуркационных задач длительной устойчивости процесса ползучести элементов конструкций

6 качестве примера рассмотрим модельный стержень Шенли/137/, выполненный из материала с определяющими соотноше­ ниями следующего типа (рис.79):

p = A o nG)/pm;

р = е-ст/Е;

(9.3.1)

to = a(a)B/(l-w )B;

а = 0.

Здесь Р - деформация ползучести; со - функция накопления рассеяннных по объему материала микроповреждений; е - полная линейная деформация стержня Шенли; о - нормальное напряжение.

Коэффициенты Е, А, а, п, ш, в, входящие в (9.3.1), определяют­ ся с помощью экспериментальных данных и могут учитывать воз­ действия агрессивных сред.

Составим уравнения равновесия стержня Шенли:

Oj + С2 = 2 о ; <Ji - <si= 2crU;

ei - ег - 2ц U; ei + = 2е.

(9.3.2)

186 Формализация критериальной оценки длительной устойчивости

Н а основании (9.3.1) составим функцию F:

F = (Р)шр - асту/(1 - d(cr)Ht)c = 0;

(9.3.3)

где

а = А + а; у = п + Ъ; с = в/(в + 1); d = a(b + 1).

Уравнения упругого эквивалента имеют вид

(6F/5o)Ac + (0F/0a)A<Jmn +(3F/5e)Ae + (0F/0e)Aemn = 0. (9.3.4)

Входящие в это время частные производные легко опреде­ ляются из соотношений (9.3.1):

	(0F/Эе) = m(p)(n‘-,>p;
	(dF/de) = pm;
a cr	a ycrv-1
dF-da =—	P:
	(cdoBt)C

. (9.3.5) Для описания процесса деформирования необходимо иметь соотношения в скоростях. Для этого продифференцируем по t

уравнения (9.3.2):

ел + Ст2 = 2ст; ai - с г = 2aU+2aU;

ei - ег = 2 r\ U. (9.3.6)

При заданном внешнем процессе получим соотношения для приращений функции а .е и их скоростей, входящих в (9.3.4):

Д а1+ Дст2=0; Дст) - Да: = 2aAU; Aei - Дег = 2T|AU;

AOI + Да-* = 0; Aaj - Да: = 2CTAU + 2aAU;' Aei - Дв2= 2т}Ди. (9.3.7)

Решение бифуркационных задач длительной устойчивости 187

Считаем, что соотношения (9.3.1) записаны относительно экви­ валентов напряженно-деформированного состояния о и е, входящих в (9.3.2). Получим для рассматриваемого стрежня Шенли систему уравнений типа (9.1.2):

(5Р/5о)Дст! + (dF/da)Ao, +(dF/de)Aei + (dF/de)Aei = 0;

(dFidc)Ao2 + (д¥/дс)Асг +(0F/3e)Ae2 + (3F/5e)Ae2 = 0.

Почленным вычитанием из этой системы с использованием (9.3.7) получим уравнение, связывающее AU и скорость изменения A U:

(9.3.8)

На основании (9.3.5) и (9.3.8) выделим две особые точки:

1) ди=о, ди*о.

(9.3.9)

Тогда а=т1Е=аэ - Эйлерово напряжение. Эта точка получена из условия единственности продолжения процесса деформирования и возможной неединственности скоростей его продолжения. В данном случае критерий этой особой точки совпадает с Эйлеровым критери­ ем.

Наряду с этой точкой выделяется еще одна:

2) Д и = 0, д и * 0

(9.3.10)

что соответствует возможности появления ненулевого прогиба в процессе деформирования стержня при условии единственности скоростей этой функции.

188 Формализация критериальной оценки длительной устойчивости

Из (9.3.8) с условием о =0, которое имеется в

(9.3.1),получаем
o(5F/5a) + T|(dF/de) = 0.
С учетом (9.3.5) это уравнение преобразуется к виду
a 4 t ____ aygY	- m p <m"l|p+T) m p "'lp=0,	(9.3.11)

где введены обозначения: ?1= у + в;£ = а dec.

Из (9.3.11) легко получается эквивалентная форма этого уравнения:

(9.3.12)

если учесть, что pmp=aaB/(l-d o "t).

Уравнение (9.3.12) представляет собой условие, выполнение которого выделяет характерную особенность протекания про­ цесса во времени: имеет место единственность скоростей про­ должения процесса к неединственности состояния, в соответст­ вии с (9.3.10). Это условие выделяет соответствующее характер­ ное время t* , при котором выполняется (9.3.10). Следует специ­ ально отметить, что параметр времени t входит в (9.3.12) не только явно, но и в неявном виде через величину накопленной деформации Р.

В силу этого, при определении характерного момента вре­ мени t* возникает вопрос и о характерном значении, соответст­ вующем t* , уровня накопленной деформации Р , который и оп­ ределяется соотношением (9.3.12). При этом следует иметь в ви­ ду, что слагаемое, содержащее время t в явном виде, входящее в условие выделения характерного уровня деформации Р* (9.3.12), учитывает влияние процесса развития поврежденности материа­ ла на величину этого характерного уровня Рф.

Тогда очевидно, что при t=0 из (9.3.12) следует значение характерного уровня деформации Ро*:

Решение бифуркационных задач длительнойустойчивости 189

Р Н г ( л Е - а ) .	(9.3.13)
Еу

Ро* определяет характерный уровень накопленной деформа­ ции ползучести в условиях отсутствия процесса развития поврежденности материала, при котором может иметь место неедин­ ственность продолжения процесса в соответствии с (9.3.10). В условиях развития процесса поврежденности материала харак­ терный уровень накопленной деформации Р* не остается посто­ янным во времени для данного материала, а зависит от характе­ ристики процесса развития поврежденности о :

(9.3.14)

1-1

(9.3.15)

С учетом значений коэффициентов а ,Х ,у £ ,d, запишем Ф в

виде

			(9.3.16)
Обозначим
1	, _	о____	(9.3.17)
tp (в+1)аав’	1 (п+в)(в+1)
Получим
Ф= l+ki——;		•	( 9 .3 .1 8 )
L	‘p-‘J

190 Формализация критериальной оценки длительной устойчивости

Проанализируем полученную формулу			(9.3.18). Коэффициент
ki принимает значения,	зависящие только от степени, в которой на*
	пряжение о входит в закон ползу­
	чести и закон накопления повреж­
V	дений.	Функция Ф при t=tp			имеет
	нулевое	значение,		достигаемое
	только	при	предельном переходе,
	самое большое значение Ф прини­
	мает при t=0, так как t<tp (рис.80).
	Если		ввести	обозначение т=
	=t/tp , тоФ = =(1-т )/(1+(к, -1)т).^
	Для определения времени t*, в
	течение которого накопится				харак­

о^ терный уровень деформации Р* ,

Рис.80	необходимо	использовать уравне-
	ния системы	(9.3.1),	которые в

данном случае (ст =0) допускают

интегрирование в квадратурах. Преобразуя систему (9.3.1), получим:

ршр =

l-d o * t

и после интегрирования имеем

(9.3.19)

Введем обозначение р = р/р0* .

Для р с учетом (9.3.19) и (9.3.13) получим

Е(п+в) Г (шч-1)

ш (т]Е-о)[ в+1 А а"

Введем обозначение