книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек

Модификация МПВП

81

Звездочка над жесткостными коэффициентами, как и ранее, обозначает их соответствие возмущенному состоянию. В момент по­ тери устойчивости при t = txp , f = О, ДР=0, Рф= - Фк получим уравне­ ние для определения ненулевого значения, приращения прогиба на первом шаге по времени:

(3.5.9)

Это позволяет осуществить выход на закритическое решение.

/

Рис. 66 Для конструкций, теряющих устойчивость путем перехода к

удаленным равновестным состояниям, сохранение члена, нелинейно­ го относительно пары приращений прогиба и нагрузки, позволяет осуществить переход из точки А (рис.66) в точку В, минуя итераци­ онный процесс метода переменных параметров упругости, путем проведения линеаризации метода последовательных нагружений / 222 / для задачи с физической нелинейностью. При этом в момент t=tKp фиксируется параметр времени и начинается разгружение оболочки до уровня Р* с повторным нагружением от Р* до Рф. Пере­ ход в точку В осуществляется по кривой АСВ. Такой путь решения дает гарантированный (то есть не зависящий от сходимости итера­ ционного процесса) выход на закритическую ветвь. Точность ре­ зультата обеспечивается выбором шага по нагрузке в соответствии с методом последовательных нагружений. Дальнейшее движение по закритической ветви за точкой В производится при Р=РФ путем возмущения параметра времени.

82 Линеаризованные уравнения состояния

Глава 4. Линеаризованные уравнения состояния

материала с наведенной неоднородностью

4.1.Уравнения состояния с учетом гипотезы

онесжимаемости материала

Из уравнений состояния материала (на основе гипотезы о не­ сжимаемости материала)

Cij” X.eij+ o6ij

(4.1.1)

следуют соотношения в приращениях

Asij АХ

(4.1.2)

*eij=- r ~ F Sii'

Представим приращение параметра X как сумму

AX=AXS+ AX{ ,

(4.1.3)

где ДХб вызвано приращением напряженно-деформированного со­ стояния, a Akt вызвано приращением параметра времени.

На основании деформационной теории полагаем, что в каж­ дый фиксированный момент времени коэффициент пропорциональ­ ности компонент девиатора напряжений компонентам девиатора деформаций X связан с секущим модулем диаграммы деформирова­ ния при сдвиге

х=2<3‘= % м	(4.1.4)

Здесь Ес и Цс - секущий модуль диаграммы деформирования cri(ei, xj/g. \|/6)и переменный коэффициент Пуассона. Полагая рс =

=ро=0.5, получим

Уравнения состояния с учетом гипотезы

83

Л Ь = | Бк-	Бс Aei	(4.1.5)
3	ei
ДХ, = | (	е : - Е . )	(4.1.6)

Здесь Ес* и Ек* — значения секущего и касательного модулей в возмущенном состоянии.

Запишем приращения компонент тензора деформаций
3 Asjj	sij Ek ~ Ес	(4.1.7)
Деу =	Ес ej
■Ес
Обобщенная характеристика деформации ej при условии не­
сжимаемости материала
ei =	|2+(е22_еи )2+(еи _еи)2+б(е’2+е21э+е2,)]! - (4.8)

Получим приращение интенсивности деформаций

Aei~ ~ -Д ец +^-Ae22+~'Ae33+~ LAei2+~"Aei3+~"Ae23’ (4.1.9)

OQ\\

O t n

OQ33

OSi2

f e u

0&23

Используя выражение для e* (4.1.8), подставим значения про­ изводных в (4.1.9), тогда получим

2

Aei=— [(ец -ejA en + fe “ е)де22+(е33 -е )^ з3+2(е12Ае1 +е13Де,3 +е23Ае23)].

(4.1.10) Вследствие условия несжимаемости материала, полученное

для Aei выражение упрощается:

Aei = — [eiiAeii+ еггАе22+ еззДезз+ 2ei2Aei2 + ej3Aei3 + 2егзАегз].(4.1.11)

Подставляя выражения для Aei в соотношение (4.1.5), получим:

84 Линеаризованные уравнения состояния

ДЛб-	Ес	2 SijAejjХуДеу •		(4.1.12)
	J	(Ji
Выражение для	приращений компонент		тензора	деформа­
ций (4.1.7) преобразуется к виду:
=	~|(Ek ~ Ec)eiciДеи ~ ~|(Ес - Ес)1			(4.1.13)
^ v- Ес	cTj	Ес	J
Используя полученное выражение, запишем уравнения состоя­
ния в приращениях в следующей форме:
Asij = XijkiAeki +				(4.1.14)

где Xyki— характеризует анизотропию свойств материала с наве­ денной неоднородностью:

= a - M jl + ^ Sij. (4.1.15)

Выражая в (4.1.14) приращения компонент тензора деформа­ ций через приращения компонент и сами компоненты девиатора на­ пряжений, получим уравнения состояния в приращениях следующего вида:

Деу = Sijki^Aski" ~j“ Sk^ >

(4.1.16)

где Sijki — коэффициенты податливости для материала с наведен­

ной неоднородностью.

Использованная здесь гипотеза о несжимаемости материала может вызывать, как известно, определенное снижение точности результата и не дает предельного перехода к упругим задачам.

Уравнения состояния с учетом сжимаемости материала

85

4.2. Уравнения состояния с учетом сжимаемости материала

При построении уравнений состояния с учетом сжимаемости материала полагаем, что средние напряжения и деформации связа­ ны законом Гука для объемной деформации, тогда

(4.2.1)

где К — объемный модуль упругости; ц0 — коэффициент Пуассона в упругом состоянии.

Полагаем также, что данная зависимость справедлива для лю­ бого момента времени, а объемный модуль упругости К пренебре­ жимо мало изменяется под влиянием агрессивных воздействий, тогда ДК=0.

В этом случае связь между приращениями напряжений и при­ ращениями деформаций можно представить в виде:

(4.2.2)

Приращение параметра X, связанного с секущим модулем и переменным коэффициентом Пуассона с учетом (4.1.4), будет

(4.2.3)

где приращение переменного коэффициента Пуассона в соответст­ вии с деформационной теорией имеет вид:

86	Линеаризованные уравнения состояния
Здесь	и Ро - модуль упругости и коэффициент Пуассона для

материала в упругом состоянии.

Выражая приращения АХ и Дцс через приращения интенсивно­ сти деформаций и возмущенные значения параметров диаграммы деформирования Ек* и ЕД получим:

АХ = Ес~ Ес L	Vo	EcV j t Ek ~ Ес Ае^
1 + (ic V	1 + PCE0A		Ec~Ec ei J
л,, _	fE k -E c^ ei		Ес- е Д
AHC= VO		ei	I
	v Eo		Ed )

где v0=(p0-l)/2;

Интенсивность деформаций определяется выражением:

(4.2.5)

(4.2.6)

е4= ^ ~ ^ [(е и -е 2 2 )2 + (е22-езз)2+(езд-е»|)2 + ф 1 2 )2 + (е1з)2 + (е2.02)]-

(4.2.7) Получим приращение интенсивности деформаций. Исходя из

выражений (4.2.6) и (4.2.7), имеем:

(1 + P c K v u - ^ - - ^	- 1+ (1 + р с)2е}Де; + (1 + р с)е?v0 ^ k- - с- =
Е0	е,	Е(1
ж|(е«-М4ео;
(|+ Мс)е?v o ~ r^ " - ?1 +(1+Цс)!,е,Де,+(1+Мс)е? v0 Ес_ Е? =
Eo ej	Ео	(4.2.8)

= -(eir6ije)Aeij .

Выразим из полученного соотношения приращение интенсив­ ности деформаций и, подставляя его в (4.2.5), будем иметь следую­ щее соотношение:

	v° В ^Ек~Ес^	v0
	V 1+P0E J ei у!+Цс
		Ео УУ
		(4.2.9)

Уравнения состояния с учетом сжимаемости материала

87

где

y=^voO+M c) ^ z ^ e i + ^(l+ tic)2ei . Ео

Представляя, как и ранее, ЛЯ- в виде суммы двух слагаемых АЯ-б* иДЯ** , запишем:

		E l-E c	Ьу	ф		(4.2.10)
		т	Aeij= Я.у Деу J
			CTi
дх:«и—У(>	Ес			Ео	У	4.2.11)
1+ЦсЕо-
С учетом полученных соотношений			связь	между	компонента­
ми девиаторов напряжений и деформаций в приращениях:
ASIJ =	sijAeki + — 1 sy •					(4.2.12)
Вводя обозначение:
	Xljki=>.Sij8ji + Y 1Sij.					(4.2.13)
получим:
ASij= X‘jk,Д5к,		+		+ ^ SiJ.		(4.2.14)
Связь между приращениями		компонент		тензора	напряжений
и тензора деформаций с учетом		полученных соотношений будет
иметь вид:
Aojj= X’jn Деи +		Дст8ц+ ^		s , j		(4-2.15)

Полученные соотношения для материала с наведенной неод­ нородностью позволяют при расчете напряженно-деформированного

88	Линеаризованные уравнения состояния

состояния учесть влияние различных агрессивных факторов окру­ жающей среды на физико-механические характеристики материала с учетом его сжимаемости.

4.3.Уравнения состояния с учетом сжимаемости

иизменения объемного модуля упругости материала

При построении уравнений состояния с учетом сжимаемости и изменения объемного модуля упругости материала полагаем, что в любой момент времени шаровой тензор деформаций пропорциона­ лен шаровому тензору напряжений, но коэффициент пропорцио­ нальности К является функцией параметров агрессивного воздейст­ вия среды и времени. Связь между приращениями напряжений и приращениями деформаций представим в виде:

Аец	ДОу	ЗК -Х	_ АХ	д к о б * -(4.3.1)
	' X	зкх io8,i	хг$и	з к 2

Приращение параметра X и в этом случае будет иметь вид (4.2.3), а приращение переменного коэффициента рс:

Л цс= - б к 1 д е ск ;

(4.3.2)

С учетом (4.3.2) для АХ получаем следующее соотношение:

- J L J U L .

(4.3.3)

1+мЛ l+ ^ 6 K j 6К! (1+Цс)2 ■

Выразим приращения АХ и Дрс через приращение интенсивно­

сти деформаций, возмущенные значения параметров диаграммы де­ формирования Ек* и Ес* и возмущенное значение объемного модуля упругости материала К*:

Уравнения состояния с учетом сжимаемости

89

	ДХ =			ei А		J l l - j p К * -К .
	1+HC V Ес-Ес				1+Цс6к> 6К2(1+ц^2’					(4.3.4)
	ди = К *~К	Ес. _ Ес~ЕсГ |, Ek~E* Aei								(4.3.5)
	К	6К	6К	I Е;-Ес ei
Используя выражение для интенсивности деформаций										(4.2.7)
и выражение для		приращения цс (4.3.5), определим приращение ин­
тенсивности деформаций:
	- к	^		е ; - е с к ^ - к е Л						(4.3.6)
	Aei ——- Aeij-		у	6К		К		6К J
	Y	3
Здесь у обозначает следующее выражение:
	Y -^О+М-о)2^			1	Ek-Ec^l					(4.3.7)
				1+Цс		6К	/
Подставляя (4.3.6) в (4.3.4),					получим с учетом (4.3.7)					для ДХ
следующее соотношение:
дX J	U 1 Ес] Ес-Ес		Е ^ К * - К ,ГН				1	Ec^E l - E ^ ij Деу ,
I	l+Pc6K j	1+рс	6К2(1+цс)2			I	l+Mc6K j		ei y l+ p c
		f								•
										(4.3.8)
Представим, как и ранее, ДХ в виде суммы двух									слагаемых ДХ*** и
ДХ,М:
	ДХв“=(1+|^ |с )					m Ле“=^'Aaj;				(4.3.9)

90	Линеаризованные уравнения состояния
J _	Ес. Е^Ес	2/ *	Е ^Е с К - К		Есlei	Ес2 К - к "
1+Цс6К, ^ 1+рс		3'Ек Ч	6К	К	6K J Y	6К 2(1+Цс)2у ‘
						(4.3.10)

С учетом этих соотношений получим связь между компонен­ тами девиатора напряжений и девиатора деформаций в приращени­ ях:

As y=	+ “ SijAeki + у	Sij+	аб„ •	(4.3.11)
Вводя обозначения:
	Xp^XRiKSji+^'Sij ,			(4.3.12)
получим:
ASij= X.p A^ki+ ~ T ^ SijA® + ^ Y Sij+ ^			a ^'i '	(4 -3 1 3 )
Связь между приращениями		компонент	тензора	напряжений

и тензора деформаций с учетом полученных соотношений имеет вид:

Д<ту= XijkiAeki+ ~ ~	Aa8ij+ “	■sy+	a 6у • (4.3.14)
JK.		к	ЗК.

Полученные соотношения для материала с наведенной неод­ нородностью позволяют при расчете напряженно-деформированного состояния учесть влияние различных агрессивных факторов на фи­ зико-механические характеристики материала с учетом его сжимае­ мости и, в том числе, с учетом изменения модуля объемной упруго­ сти при сохранении гипотезы о пропорциональности в любой момент времени шаровых тензоров напряжений и деформаций.