книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек
..pdfИллюстрация экстремальных свойств функционала |
151 |
денной неоднородностью свойств материала доставляет функциона лу П * минимум на множестве допустимых полей приращений пере мещений. Функционал П * соответствует принципу возможных пе ремещений.
Вводя аналогию упругим задачам, следует отметить, что вариа ция П * для упругих задач представляет собой вариацию полной по тенциальной энергии и может быть записана как в полных функцияхдак и в приращениях, обе формы записи эквивалентны. После то го, как функционал П * построен и вариационный принцип доказан, можно применить процедуру построения приближенного решения задачи методом Ритца. Для этого нужно конкретизировать П * для заданной конструкции, системы нагрузок, геометрических и физиче ских соотношений.
7.4.Иллюстрация экстремальных свойствфункционала
Вкачестве примера рассмотрим цилиндрический изгиб шар нирно закрепленной прямоугольной в плане пластины под действи ем поперечной равномерно распределенной нагрузки q в геометри чески линейной постановке с учетом физической нелинейности ма териала с наведенной неоднородностью механических свойств.
Потенциальная функция ДП в этом случае в безразмерной форме
ДП = З13 ДПр 4Еоп
(ДПрразмерная функция, где 1 — размер пластины в плане, h — толщина пластины) имеет вид:
А П = /{| Т [е к Деп+2ДЕсецAenJdz-AqAwjdx . (7.4.1)
Здесь Ек — касательный модуль ’'объективной” диаграммы де формирования; ДЕс — приращение секущего модуля "объективной" диаграммы деформирования, обусловленное развитием процесса де
152 Построение вариационного функционала
градации свойств материала; Aq — интенсивность поперечной на грузки.
В качестве аппроксимирующей зависимости для "объектив ной" диаграммы деформирования примем кубическую зависимость П.А.Лукаша:
с i EgCi mei j |
(7.4.2) |
где Бо — модуль упругости материала; ш — параметр диаграммы, изменяющийся в процессе деградации механических свойств мате риала.
Такое простейшее описание процесса деградации свойств ма териала с наведенной неоднородностью носит модельный характер, однако все дальнейшие рассуждения остаются справедливыми и для более сложных моделей развития наведенной неоднородности.
Выражения для касательного и секущего модулей и прираще ния секущего модуля "объективной" диаграммы деформирования в безразмерной форме имеют вид:
Ek=l~mken ; Ес=1“ тпсе?1 ; AEc=“ Amcen i
4т h4. |
4 т h4 |
. . |
4Am h4 |
|
mL=— - г |
■> Am |
В соответствии с принятой аппроксимацией "объективной" диаграммы деформирования функционал принимает вид:
•>|3 |
1 |
0.5 |
|
|
------ 5ДП=/0,5 | Aeii-mke?i Ae?i~2Amce?i Aeiidz-AqAWdx . |
||||
4Eoh |
о |
-0.5 |
|
|
|
|
|
. |
(7.4.4) |
Выражая деформации и их приращения через прогиб и прира |
||||
щение прогиба и раскладывая прогиб и его приращение в ряд |
|
|||
|
W = tAiSin(mx) , |
AW = ^ a ,sin(i7CX) i |
(7.4.5) |
получим функционал АП в виде квадратичной функции от a * , ми нимизация которой, согласно процедуре Ритца-Тимошенко, приво
Иллюстрация экстремальных свойств функционала |
153 |
дит к системе линейных уравнений с переменными коэффициентами, которая дает решение задачи о равновесии пластины на каждом ша ге по нафужению или по параметру деградации механических свойств материала:
(1А’НА*1|*Н=Лт.|в"|+4ч|В'1 |
(7.4.6) |
где ||а у||— матрица упругих констант; |а ф" |— |
матрица переменных |
коэффициентов, учитывающих физическую нелинейность материала; |а|— столбец неизвестных коэффициентов в разложении функции
приращения прогиба в ряд; |внн|— столбец параметров, учитываю щих наведенную неоднородность материала; \в"\— столбец коэффи
циентов при грузовом члене.
В качестве иллюстрации положим в разложении (7.4.5) п = 3 и оставим только нечетные слагаемые, тогда АП принимает вид
Из (7.4.7) следует линейная система двух уравнений:
|
* =Дш 61 +— ^1' |
, (7.4.8) |
|
|
аз |
В2 гс I3 |
|
где |
3 * У , |
|
|
■(A ?-6AIA3+54A?) ; |
|
|
|
an |
160Ео I4 |
|
|
(7.4.9)
■ (A I ~ 9 A I А з+ 1 6 2 А 1 А з) ;
154 Построение вариационного функционала
8 .4
B2=-JL ^ - J (I 62A?A3+6561AHA ?) <
1 бОЕо 1
Рассмотрим эту же пластину из. упругого материала с учетом геометрически нелинейного деформирования под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки q и сжимающей рас пределенной контурной силы Р.
Принцип виртуальной работы в безразмерной форме имеет в этом случае вид
5ДГн(дМ,М хп+ЛН,|{^ )+ Н 1*^8^j-Aq5Awjdx^P8AU(l)=0 ■
(7.4.10) Согласно условиям задачи, приращения перемещений удовле
творяют граничным условиям:
ди(0 ) = 0 ; AW(0 ) = 0 ; AW(1 )= 0 ; dl AW(0 )=d2 AW(1)=Q ( 7 4 Ц) dx2 dx2
и.следовательно, этим же условиям удовлетворяют суммарные пе ремещения, полученные по шагам нагружения.
Из (7.4.10) и (7.4.11) легко следует, что
^ |
0 ; ANn(t)=-Ap ; AN(x)=-Ap=const . |
(7.4.12) |
С учетом (7.4.12) для вариации АП справедливо:
5АП=/^ДМ1iSAx,1+A p5^~^^+p*^^6^~^j-Aq6Awjdx+p5AU(l)=0 •
(7.4.13) Отметим, что (7.4.13) имеет место для линейно- и нелинейнодеформируемого материала конструкции, так как связь между де
формациями и напряжениями не конкретизировалась. В случае линейно упругого материала имеем
8An = } [ ^ S A Xlr A p 5 ( ^ - p * ^ 8 [ ~ ] - A q 5 A w j d x+p5AU(l)=°'
(7.4.14)
Иллюстрация экстремальных свойств функционала. |
155 |
||||
Потенциальная функция, которая |
в данном |
случае является |
|||
удельной потенциальной энергией деформирования, |
|
|
|||
ДА: М “ |
'<ШЛ |
pVdAWA |
|
(7.4.15) |
|
Ар |
2 |
I dx J ' |
|
||
’ 24 |
, dx Г |
|
|
||
Полная потенциальная энергия |
|
|
|
||
ДП=} AA-AqAWdx+ApAU(l), |
|
(7.4.16) |
|||
о |
|
|
|
|
|
Отсюда очевидно, |
что при Др=0 |
выражение |
(7.4.14) |
эквива |
лентно выделению среди множества допустимых функций таких, ко торые приводят к стационарности отношения
f4X ndx
(7.4.17)
что позволяет определить критическую нагрузку Р кр.
При Aq*0 выражение АП, после преобразования приращения изгибной кривизны, имеет вид.
An=}W |
dx dx |
Jid x |
о [241 dx J 2 v dx / |
|
|
Разлагая функцию приращения перемещения AW в ряд |
||
AW=£ai<Pi(x), |
где <pi=sin(ixx), |
(7.4.19) |
i=l |
|
|
получим W =lAi<Pi(x),Ai=Iai |
|
|
ы |
ml |
"j |
|
АП=^-1 H i2j2aiajsin(i Jtx)sin(j rcx)dx - г P I H«actjSin(i nx)sin(jxx)dxU 24H J =IO 2 Ц>ю J
156
П2
2
Построение вариационного |
функционала |
|
ш Г ш 1 |
" 1 m l |
|
АрS Е J ij Ai ajsin(i тс x)sin(j it x)dx |
-A q£ J a i sin(i7tx)dx. |
|
i=l|_ j=10 |
J |
i=lQ |
(7.4.20) В качестве иллюстрации и в этом случае положим в разложе нии (7.4.19) ш = 3 и оставим только нечетные слагаемые, тогда АП
принимает вид:
ЛП=^ |
+^48~ а *"4" Ар(А' а '+9А' а з)~ 7 Р*(а ' +9аз)_Лс1( Г7 +^ ) 1 |
|
(7.4.21) |
При этом условия минимума АП приводят к системе уравне- |
|
ний: |
|
f e - f p,)arf ApAl' Aq=0;
^ - ^ Р ' ) а 3- ^ Д Р А , - Д 4=0 . (7.4.22)
При Aq=0, Др=0 получается задача на собственные значения, определяющая безразмерную критическую нагрузку Р*кр = it2 /12.
При Aq*0,Ap*0система (7.4.22) описывает нелинейное дефор мирование пластины при комбинированном нагружении:
|
|
48Aq |
, 6Ai Ар |
|
|
|
a i=“l ------Г“7+~ ;------ ; , |
|
|||
|
|
7г'-12я3р 7t2-12p |
|
||
|
|
16Aq |
| |
6А3Ар |
(7.4.23) |
|
3 |
8l7t5-1087tV |
9и2-12р* |
||
|
|
||||
Подставив (7.4.23) в |
(7.4.21 )f получим зависимость АП от Aq, |
||||
Ар и Р* . Для наглядности формул ограничимся одним |
членом ряда |
||||
в (7.4.19): |
|
|
|
|
|
дп=- 48Aq |
Зи2А2 Ар |
12Ai |
AqAp |
(7.4.24) |
|
я6-12я4р" |
4 |
яг-12р |
я |
7i2-12p |
|
Выражение (7.4.24) обладает теми же экстремальными свойст вами, что и полная потенциальная энергия системы ,и может рас
Иллюстрация экстремальных свойств функционала |
157 |
сматриваться как потенциальная энергия "упругого эквивалента" на текущем шаге нагружения, которую в дальнейшем будем называть упругим эквивалентом потенциальной энергии. Действительно, подставив в (7.4.21) не истинное решение, то есть решение, соответ ствующее уровню приращения нагрузки Aq+ , получим (при АР = 0) для энергетического уровня
|
ЛП*=4-А^ А<1 (Aq*-2Aq) . |
(7.4.25) |
|||
Найдем минимум ДП+ по Aq+ : |
|
||||
|
^^= ^(iq * -A q )= < J-> A q = A q \ |
(7.4.26) |
|||
|
dAq п v |
|
’ |
|
|
то есть минимум достигается только на Aq . |
|
||||
При |
ДР*0 имеем: |
|
|
|
|
|
ап _ Г я |
и |
2 я AiAp 2Aq |
(7А27) |
|
|
дП=и |
г 7 рг ' — |
r ~ a rv ai |
||
Подставим в (7.4.27) |
решение, отличающееся от истинного, |
||||
соответствующее Р*+, тогда (при Др=0): |
|
||||
^ |
48Aq2 |
1 |
12я5(р’~р'*) |
(7.4.28) |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
ёА П _ |
48Ад2 266п6(р ~ У +) |
|
(7.4.29) |
||
|
|
|
|
|
|
dP*+~ |
71 |
(л5-12тс3-р*+)2 |
’ |
|
Минимум достигается только при Р*=Р*+.
Рассмотрим пример нелинейного деформирования и устойчи вости пластины при наличии упругого основания, при котором возможна потеря устойчивости как по симметричной, так и по косо
158 Построение вариационного функционала
симметричной форме. В этом случае принцип виртуальной работы будет иметь вид
5R =5П '+Як 5AWds=0, |
(7.4.30) |
где £ =r(W -AW )— реакция основания; г — коэффициент постели
согласно гипотезе Винклера. Рассмотрим интеграл, представляющий виртуальную работу реактивных сил основания:
ЯR*5AWds=r) (W8AW+AW5AW)dx. |
(7.4.31) |
|||||
s |
|
|
О |
|
|
|
Вклад данного |
интеграла в потенциальную функцию п со* |
|||||
ставляет: |
|
|
|
|
|
|
|
- ^ r j f w A W |
+ ’ AW2) |
|
|||
|
4E0lv |
<Л |
2 |
) |
|
|
Вкладе ДП : |
k j ^ - d x , k = - ^ - r |
|
|
|||
|
о |
2 |
|
4E0h3 |
|
|
Сохраняя в разложении искомой функции в ряд (7.4.19) два |
||||||
члена ряда (i = 1,2), получим |
|
!£*г’ф |
- 'иг?■ |
|||
Ч й |
4 М |
|||||
Условия минимума АП позволяют получить |
|
|||||
|
( я* |
к |
п2 *) |
2Aq |
Л . |
|
|
U |
+2 |
2 Р J “* |
it |
° ’ |
|
|
(i 24'+l~ ^ 4p*)a2=0> |
|
(1АП) |
|||
Рассматриваемая задача |
распалась на задачу нелинейного де |
формирования пластины по симметричной форме и задачу бифурка-
Иллюстрация экстремальных свойств функционала |
159 |
ционной потери устойчивости по несимметричной форме. Критиче ские нагрузки потери устойчивости при Aq=0 по симметричной
форме (р 4 ° ) и по несимметричной форме (р*£2)) -
, <»=*!. к |
*(2) |
16тс^ _к_ |
(7.4.33) |
кр ,2 |
Ркр |
12 V |
|
При этом очевидно, что при к>я4/9 критическая нагрузка по тери устойчивости по несимметричной форме будет минимальной.
Вводя малую несимметрию в нагрузку Aqua^ =Aq+£,Sin2irxT где £— параметр несимметричного несовершенства, получаем попрежнему несвязную систему уравнений нелинейного деформирова ния пластины:
|
|
|
2дЧ_л. |
|
124 2 |
|
«I-------=о, |
|
|
2 v ) |
% |
|
||
(l6*4 |
к |
,*) |
\ |
(7.4.34) |
24 |
f~2_—w |
р Jаг_2 |
|
Рассмотрим пример физически и геометрически нелинейной постановки задачи. Заметим, что и в случае нелинейно деформируе мого материала с наведенной неоднородностью справедлив принцип виртуальной работы (7.4.10), который был получен для линейно де формируемого материала и геометрически нелинейной задачи, и справедливо соотношение (7.4.13). Используя данную эквивалент ную форму (7.4.13) вариационного принципа, получим выражение функционала ДП для рассматриваемой задачи. Учтем, что
ш,,1 Aa"zdz=(ji’mk(n+io))Ax‘rmk!TUAEirAm'(!TU+^) •
(7.4.35) Таким образом, в выражении для AM последнее слагаемое учи
тывает влияние наведенной неоднородности.
Выразим Аеп через Ахи, используя дополнительные условия (7.4.12):
160 Построение вариационного функционала
A N iH Aondz=-AP |
(7.4.36) |
h |
|
Подставляя выражения для Д ан и интегрируя по толщине, по
лучим:
(7.4.37)
Подставим полученное выражение для Де| I в выражение для
ДМ и , тогда
ДМ 1i=D Ах,,+Дшск+АРк » |
(7.4.38) |
где D=D0-Dk, имея в виду, что D0= 1/12. a Dk зависит от напря женно-деформированного состояния материала:
ХцВп |
(7.4.39) |
Dk=mk 12 80 к |
|
36(l-mk( ef ,4 !))
Слагаемое Д тск учитывает вклад наведенной неоднородности
материала
Amck=~Amc |
ХцЕп+Е?!Х% |
(7.4.40) |
|
|
80 |
36| 1 mk| Бп+ y j