книги / Современные методы анализа электрических систем
..pdfвых ремонтных работ или в результате аварии. Для сложной сети электрической системы подобных режи мов может быть очень много. При этом необходимо знать только те параметры режима, которые отличают ся от допустимых. Если это условие запрограммировать в ЭЦВМ, то на печать будет выводиться только инфор мация о таких критических случаях.
6-3,6. Соотношения между узловыми напряжением, током и мощностью. В варианте А задания исходных данных заданы мощности во всех узлах, кроме балан сирующего, для которого известен вектор напряжения. Ниже приведено несколько основных соотношений, важ ных для дальнейшего рассмотрения методов расчета по токов мощности.
1) Комплексная (активная и реактивная) мощность /-го узла определяется следующим образом:
Scj = Ujiсj,
где ioj — сопряженное комплексное значение тока узла
1с).
Это соотношение в матричной форме записи с уче том обозначений (6-12) будет иметь следующий вид:
Sc == diag 1Д = diag Щ |
(6-21) |
|
Из (6-21) сопряженное значение тока |
и напряжение |
|
узла определятся как |
|
|
ic= |
(diagU)-1Sc; |
(6-22) |
U = |
(diagrc)-‘ Sc. |
(6-23) |
2) В первом варианте схемы замещения содержатся только последовательно включенные элементы; базис ной точкой является один из узлов (обычно баланси рующий источник), поэтому по узловым токам можно определить только падения напряжения в узлах соглас но (3-20):
(6-24)
где
Yc — матрица узловых проводимостей.
3) В вариантах 2—4 схема замещения содержит та же параллельно включенные элементы; базисной точкой
121
является нулевая шина. В отличие от предыдущего слу чая матрицы узловых проводимостей и сопротивлений обозначим как Yc и Ъс. На основании уравнения (3-20)
6-3,в. Зависимости между падением напряжения и мощностью в узле. Этой зависимостью можно пользо ваться при первом варианте схемы замещения. Из соот ношений (6-24), (6-22) и (6-13) получаем:
— Uc = |
z c (UJL-f-diag Uc)-1^ . |
(6-26) |
По варианту А согласно табл. 6-2 все элементы век |
||
тора мощностей Sc |
(источников и нагрузок) |
известны; |
напряжение базисного узла t/0 скалярно. Необходимо определить вектор падений напряжений узлов ис отно сительно базисного. Задачу можно решить с помощью зависимости (6-26). Однако поскольку эта зависимость нелинейна, решение возможно только приближенным методом, способом итераций.
В начале расчета примем, что в правой части урав нения (6-26) все узловые напряжения равны заданному напряжению базисной точки. В соответствии с этим для первого приближения в правой части уравнения сделаем замену ис= 0 . В результате расчета получим вектор Uci, который подставим в правую часть уравне ния. Продолжим этот итерационный процесс до тех пор, пока элементы вектора падений напряжения ис двух последующих приближений не будут отличаться на ма лое (по сравнению с первоначальным) допустимое зна чение.
Если мощность балансирующего источника окажется недопустимо большой, то часть ее следует распределить между другими источниками.
Матрица узловых сопротивлений Zc в уравнении (6-26) определяется обращением матрицы узловых про водимостей Yc. Ввиду того, что по уравнению (6-26) не возможно непосредственно рассчитать вектор ис (это можно сделать только методом итераций), для расчетов можно использовать уравнение с матрицей узловых проводимостей. В этом случае из уравнения (6-26) по-
122
лучаем:
- Sc = (f/0I + diag uc) Yc uc. |
(6-27) |
Это матричное уравнение можно решить с помощью одного из итеративных методов (см. § 6-4—6-6).
6-3,г. Зависимости между узловым напряжением и узловой мощностью.
1) Для первого варианта схемы замещения из соот ношений (6-27) и (6-11) следует:
- Sc = diag UY с (0 - t/0e). |
(6-28) |
Это матричное уравнение следует решать так же, как уравнение (6-27). Оно может применяться и при зада нии исходных данных по варианту В.
2) Для вариантов схемы замещения 2—4 можно ис ходить из уравнений (6-25) и (6-22), тогда
- U = Zc (diagU)*1Sc |
(6-29) |
или |
|
— Sc = diagUYcU. |
(6-30) |
Необходимо принять во внимание (см. табл. 6-2),что напряжение балансирующего источника Uo задано. В со ответствии с этим матричное уравнение (6-25) запишем
в следующем виде, выделив |
балансирующий |
узел |
|
[Л. 50, 58]: |
|
|
|
■У. Y\1 |
[ Ч ___ р - 1 . |
|
|
Y. Y'c | |
1u'J |
k J |
|
Отсюда |
|
|
(6-31) |
- Y 'CU' = i,c + |
Y0t/0. |
||
Обозначив |
|
|
|
Y '- '= Z 'C, |
(6-32) |
||
из выражения (6-31) получаем: |
|
|
|
- U ' = Z'c (i'c+ V 7 0). |
(6-33) |
Штрихами помечены те векторы и матрицы, которые не содержат элементы, соответствующие балансирующему источнику. Вместо вектора мощностей Sc, определяемо го выражениями (6-22) и (6-23), введем вектор S'c, не содержащий мощности балансирующего источника. Тог-
123
да из выражений (6-33) и (6-31) |
получим: |
|
|
— U' = |
Z'c (diag U')“1S'c + Z'CY,U0 |
(6-34) |
|
или |
|
|
|
- S'c = |
diag U'Y'CU' + |
diag U'Y0£70. |
(6-35) |
Эти уравнения можно решить приближенным методом, изложенным ниже.
6-3,д. Зависимости между узловым током и мощно стью.
1) Для первого варианта схемы замещения на осно вании зависимостей (3-20), (6-23) и (6-11) получим:
— ic = Yc [(diag Q " ‘SC— £/0е]. |
(6-36) |
Это уравнение сходно с (6-26), но отличается тем, что вектор узловых напряжений U в правой части (6-26) изменяется в малой степени, а вектор узловых токов ic изменяется в широких пределах. Вследствие это го итерационный процесс плохо сходится. Последнее согласуется с опытом расчетов [Л. 60].
Для полноты изложения, перейдя в (6-36) к матри це узловых сопротивлений, получим:
Sc = (diagfc)(f/0e - Z cic). |
(6-37) |
2) Для вариантов схем замещения 2—4 уравнение (6-37) имеет вид:
- S c = (diagrc)Zcic. |
(6-38) |
Ввиду того, что расчеты по этому выражению тре буют большого времени (возникают трудности со сходи мостью), в дальнейшем будет использоваться только зависимость между узловыми напряжениями и мощно стями (см. § 6-3,г).
6-4. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РАСЧЕТА
Уравнения, связывающие режимные параметры си стемы, можно при расчетах потоков мощности разде лить на две группы. К одной группе относятся уравне ния (6-26), (6-34), содержащие матрицу узловых сопро тивлений; к другой — уравнения (6-27), (6-35), содер жащие матрицу узловых проводимостей.
124
6-4,а. Прямая итерация. При варианте А задания исходных данных (см. табл. 6-2) с помощью нескольких итераций можно получить достаточно точное решение уравнений (6-26) и (6-34). Задачу можно сформулиро вать следующим образом:
решить систему уравнений
х=А (х)а+Ь. |
(6-39) |
Матрица А(х) этого уравнения содержит элементы неизвестного вектора х. Однако величины xif ..., хп по крайней мере на один порядок меньше соответствующих постоянных элементов данной матрицы. В начале рас чета задаются значения xif ..., хп> которые подставля ются в матрицу А(х), затем на каждой итерации вно сятся поправки.
На первой итерации, задаваясь вектором х0, полу чаем:
X i= A (x o )a + b .
На /-й итерации |
(6-40) |
xt.= A (x /_ i)+ b . |
Итерации следует продолжать до тех пор, пока не будет выполняться условие
|Х„—X„_i|<8.
6-4,6. Косвенная итерация. Более длительный итера тивный процесс необходим для решения систем уравне ний (6-27) или (6-35), относящихся ко второй группе. Итерационные методы решения этих систем можно раз делить на две основные группы. К одной из них отно сится метод Ньютона — Рафсона, с помощью которого можно решать уравнения общего вида. К другой группе относятся методы, применяемые для приближенного ре шения систем линейных уравнений.
1) Систему уравнений общего вида с многими неиз вестными можно записать следующим образом:
(6-41)
а п ------- |
f n ( ■ ^ ' 1 » ^ 2 ’ •••» * ^ ' п ) ‘ |
Необходимо определить неизвестные
125
2) К системам уравнений, аналогичным линейным, относятся те, которые могут быть записаны в матричной форме с элементами, зависящими от неизвестных, при условии, что зависимость эта слабо выражена. Такую систему уравнений можно записать следующим обра зом:
Ь=А(х)х. (6-42)
Методы, разработанные для решения систем урав нений (6-41) и (6-42), будут подробно рассмотрены в § 6-5 и 6-6.
6-5. ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА—РАФСОНА
6-5,а. Изложение метода. С помощью метода Ньюто на (метода касательных) можно приближенно решить нелинейное уравнение f(x)= 0.
Если f(a )< 0 и f(b )> 0 и на отрезке [а, b] имеет ме сто df(x)/dx> 0, то корень уравнения (единственный на
этом отрезке) |
можно рассчитать с помощью итераций |
|
следующего вида: |
|
|
|
■xh |
f(xh) |
|
Гdf (x) |
|
|
|
|
|
|
[ d x x—x.h |
где Хо = b; xh |
xz... — монотонно убывающий ряд, кото |
|
рый стремится к единственному корню х. |
||
Аналогично |
можно получить решение при f(a )> 0 и |
f ( b ) < 0 .
Рассмотрим решение системы уравнений с двумя не известными:
f(x, у )= 0,
g(x, у) = 0.
Пусть единственным решением этой системы уравне ний в пределах
а—Н ^ х ^ а + Н,
Ь -К У b + К
будет х = а, у=Ь. Кроме того, будем полагать, что в об ласти, заданной указанными пределами, функции f и g имеют непрерывные частные производные fx, fv, gx, gv и
fx fy
gx gv
126
Пусть хо, уо есть приближенное решение системы уравнений в указанных пределах. Линеаризуем исход ное уравнение в окрестности этого приближенного ре шения путем разложения в ряд Тейлора и опускания членов ряда порядка выше первого:
О =zf (&f e) = f (х 0, уQ) -j- fх(x0, у0) hQ | /j/ |
У0) kQ, |
| (6-43) |
|
о = g (a, b)s g (xa, y0) + gx (A-0, y0) h0-\-gy {x0, IJ0) k0. |
j |
||
Уравнения |
(6-43) служат для определения поправок |
||
п и /г. Расчет |
продолжается для скорректированного |
||
приближенного решения Xi=xQ+ho, t/i=(/o+^o- |
|
||
Следовательно, итерационный процесс |
определяется |
||
системой уравнений: |
|
|
|
fx{Хц, г/ft) hk -J- fy (xk, t/ft) kk — — f (xh, yk)\ |
|
||
gx (Xk, t/ft) hk + gy (xk, г/ft) kk = — g (xk, г/*), |
(6-44) |
из которой можно найти hk и 1гк. Следующее приближение определяется так:
Хк+1==-Хк~^ кц',\ |
(6-45) |
г/ft+t = Ук-\- hk- I |
|
Итерации продолжаются до тех пор, пока уточнения не станут меньше заданной величины
hk, &ft<e.
Если считать, что f u g являются элементами век тора q, а независимые переменные х и у — элементами вектора р, то частные производные /*, fv, gx, gy будут элементами матрицы градиента вектора q по вектору р. Действительно, градиент скалярной величины V по век тору р определяется как
ду_\ |
J ’ |
ду |
|
Соответственно градиент вектора q по вектору р |
|
g r a d q = |fx Н |
(6-46) |
рg x I g y J
Теперь итерационные зависимости можно |
записать |
|
в матричной форме следующим образом: |
|
|
rft+.= --P ft-fgradqr ' <7ft- |
(6-47) |
|
IP |
ч |
|
127
6-5,6. Применение метода для решения уравнений, связывающих напряжения и мощности. Пусть заданы активные и реактивные мощности в узлах системы (ва риант А задания исходных данных), образующие век тор Se. Вектор узловых напряжений U можно опреде лить итерационным методом, используя соотношение (6-30) и определяя разность
AS = Se—Sc,
которая в процессе итераций стремится к нулю:
AS— Se — Sc— Se —/ (U) —* 0. |
(6-48) |
|
Решение этой задачи с применением (6-47) приводит |
||
к следующей итерационной зависимости: |
|
|
U*+1 = Uft+ [ 2' ad s‘] j |
(S .-S * ), |
(6-49) |
где Sc определяется согласно (6-30). |
|
|
Введем следующее обозначение: |
|
|
AUjt = U/t+ , — |
11* |
(6-50) |
и подставим его в выражение (6-49). Тогда |
получим |
следующее выражение для расчета вектора разностей мощностей:
ASft=[SudSc AUft- |
(6'51) |
Это выражение чаще всего используют для решения |
|
матричного уравнения (6-30), однако оно |
может приме |
няться и для итерационного решения других уравнений [например, (6-35)].
При решении задачи для вариантов А и В задания исходных данных можно применять алгебраическую, тригонометрическую и экспоненциальную форму записи комплексных чисел (см. § 6-2,а). Однако элементы век тора S с целью выделения активной и реактивной мощ ности всегда записывают только валгебраической форме.
6-5,в. Запись комплексов напряжений и полных про водимостей в алгебраической форме [Л. 45, 50, 51, 60]. Введем следующие обозначения:
Уjj == Gij -j- jBij;
Ui = Uia+ iUib.
128
Разделив выражение (6-51) на действительную и мни мую части, для /г-й итерации получим:
АР* |
-/g r a d |
Р \ /grad |
Р \ " |
AU0fe~ |
|
VUa |
А Vи6 |
Л |
|||
|
|
де а <
1
где
/grad |
Q\ /grad |
Q\ |
AUW |
|
.Л и0 |
Л \ U;, |
J к_ |
||
|
|
ДР& = Р<? — Р/б |
(6-53) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
A Q ft = |
Q |
c |
Q f t . |
|
Согласно выражению (6-30) |
|
|
|
||
- S = - Р - |
/Q = [diag (Ue+ |
/Us)] (Gc -:/B c) (U„ - |
/U6). |
||
|
|
|
|
|
(6-54) |
Отделив действительные и мнимые составляющие, |
полу |
||||
чим: |
|
|
|
|
|
- Р = (diag Ue) GcUa |
(diag Ub) GCU„ - |
|
|||
- |
(diag U„) BcUb + (diag U6) BCU0; |
|
|||
— Q = |
— (diag U„) BcUa- |
(diag U„) BcUb - |
|
||
- |
(diag U„) GcUb + (diag U„) GCU0. |
|
|||
Градиент можно определить на основании следующих |
|||||
правил. Пусть |
|
|
|
|
|
|
X’t (Ац</1+ ... + АщУп) |
|
|||
(diag х) Ау = |
|
|
|
(6-55) |
|
|
. Хп ( ^ 7»l//l + |
• • • + -АппУп) |
|
||
Образуем градиенты этого вектора по векторам х и у: |
|||||
|
grad [(diag х) Ay] = |
diag (Ау); | |
(6-56) |
||
|
grad [(diag х) Ay] = |
(diag х) А. |
|||
|
|
||||
|
у |
|
|
I |
|
Из приведенного выше следует: |
|
||||
grad [(diag х) Ах] = |
diag (Ах) -f- (diag х) Л. |
|
129
Подставив (6-54) в (6-52) и учитывая (6-56), получаем:
— grad Р = diag (GCU0)- f (diag Ue) Gc —
U 0
-diag (BCU6) +(diag Ub)Bc;
—grad P = diag (GcUb)-|- (diag Ub) Gc -f- Ub
+diag (BCU0) - (diag U0)BC;
—grad Q = —diag (BCU0)— (diag U0) B„ —
Ua
-diag (GcUb) + (diag Ub)Gc;
—grad Q = —diag (B Ub) — (diag Ub) В +
+ diag (GCU «)-(diag U„)GC.
В |
уравнении |
(6-52) |
в матричных блоках |
/ grad |
P i |
||
|
|
|
|
|
|
V U a |
A ’ |
/grad |
Р \ |
/grad |
Q \ |
/grad |
Q \ часто учитывают только |
||
l Ub |
A ’ \ Ua |
A ’ V Ub |
A |
|
|
элементы, расположенные на главной диагонали; значе ния остальных элементов малы, при итерации ими мож но пренебречь. Это существенно облегчает расчет AUab и AUbft по известным значениям АРЬ и AQb. При расче тах напряжение балансирующего источника следует поддерживать постоянным. Поскольку
Gafc.fi — G0fc ] AUafe, |
) |
/g 5g4 |
Gbfc+I = Ubfc-|- AUbfc, |
J |
|
то на следующей итерации градиенты следует рассчиты
вать |
подстановкой |
векторов напряжений |
Uafe+i и |
Ubfc+i |
в выражения |
(6-57). Итерации следует |
продол |
жать до тех пор, пока не будет выполнено условие
AU„<E.
6-5,г. Вариант А задания исходных данных при запи си комплексных чисел в алгебраической форме. На k-u
итерации необходимо выполнить следующие операции: а) по векторам напряжений U0fc и и ьь, определен ным на предыдущей итерации, с помощью выражений
(6-54) рассчитываются векторы мощностей Pfc и Qь;
б) по выражениям (6-53) определяются отклонения активной и реактивной мощностей от заданных значе ний— APft и AQfc;
130