книги / Современные методы анализа электрических систем
..pdfчивается k-и вехвью в i-м узле (рис. 4-5); на этом же рисунке показана также матрица Сц. После исключе ния строки h в /-м столбце матрицы Clt останется лишь один ненулевой элемент. Вычисляя определитель разло жением по этой строке, получаем:
|Ci(fc)| = (—1 )i+ic3Dt.
Заметим, что i-я строка после исключения h-й строки бу дет иметь номер (i—1), что компенсирует отрицатель ный знак при сг Аналогично
| Ci(l)| = (—\)i+hc3Dt.
Следовательно,
1с1Лс>1(* ,|= (- 1 )А +*с*/);,
где Dt (в соответствии со сказанным выше) является произведением проводимостей ветвей 2-дерева, лишен
ного /-й ветви. Ввиду того, |
3 |
|
|
|
3 |
что нам необходимы значе |
|
|
|
||
ния миноров с соответствую |
|
|
|
|
|
щими знаками, коэффициент |
|
|
|
|
|
(—l)ft+i отпадает. Этим тео |
^ |
Ог |
O f |
|
|
рема доказана. |
|
|
|
|
|
Величина алгебраическо |
Рис |
4-6 |
2-деревья |
для |
|
го дополнения в графе опре |
узлов |
1 и |
2 (или |
1 |
и 3) |
деляется не только заданны |
графа |
треугольной |
формы. |
ми узлами (А, /), но и базис ным узлом. 2-дерево относится по меньшей мере к двум
узлам. Для узлов 1 и 2 треугольного графа, приведен ного на рис. 4-6, можно составить два 2-дерева. Исклю чение строки, соответствующей узлам / и 2, символиче ски означает объединение одного узла с базисным. Так, между узлами 1—3 и 2—3 можно дорисовать по одной ветви, как это показано на рисунке. Этим узлы 1 или 2 по переменно превращаются в изолированные. Произведение
проводимостей, относящееся к изолированному узлу |
(как |
|||||
|
это уже указывалось), равно единице. |
|||||
|
Для узлов 1 и 3 |
графа, приведенного |
||||
|
в качестве |
примера |
на |
рис. 4-7, можно |
||
|
составить |
|
2-деревья, |
показанные |
на |
|
|
рис. 4-8. 2-деревья алгебраического допол |
|||||
Рис. 4-7. |
нения узлов |
1 и 2 для |
базисного узла 4 |
|||
|
показаны |
на |
рис. 4-9. |
|
|
На рис. 4-10 показаны 2-деревья, относящиеся к узлу 1 и базисному узлу 4 для случая, когда необходимо най
61
ти главные миноры. |
Для |
алгебраического |
дополнения |
||
узлов 3 и 4 сети, приведенной на рис. |
2-17 |
(базисный |
|||
узел /), можно найти лишь два пути: |
один — из ветвей |
||||
7, 8, 9, другой — из |
ветвей |
7, 8, 6, 3. |
В соответствии |
||
|
|
с этим 2-деревья будут сле |
|||
|
|
дующими: |
(7, 8, |
9), |
(/); (7, |
|
|
8, 9, 3), (0) (в этом |
случае |
||
|
|
базисный |
узел |
является |
Рис. 4-8. 2-деревья гра |
|
|
|
Рис. 4-9. 2-деревья для |
||||||
фа, приведенного |
на |
|
|
|
узлов /, 2 и 3 графа, |
|||||
рис. 4-7, для узлов / |
и 3. |
|
|
|
приведенного на рис. 4-7 |
|||||
|
|
|
|
|
(узел 4 — базисный). |
|
||||
изолированным); |
(7, |
8, |
9, |
6), |
(0); |
(7, |
8, |
6, |
3), |
(0) |
(рис. 4-11). Поэтому алгебраическое дополнение |
|
|
||||||||
Л,4„= Г,W |
, + |
у,w |
|
. + |
У.W |
, + |
У.У.УЛ. |
|
Главные миноры получаем, если й= it; в этом случае 2-деревья определяются двумя узлами, из которых один базисный. Число деревьев, которые следует рассмотреть для графа, показанного на рис. 2-17, в случае 6-го узла:
|
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
2 |
3 |
— 1 |
0 |
0 |
|
f = |
|А.А*в |
3 |
— 1 |
3 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
2 |
— 1 |
|||
|
|
||||||
|
|
5 |
0 |
0 |
— 1 |
3 |
|
4-2,6. Теорема. Определитель матрицы узловых про |
|||||||
водимостей можно представить в виде |
|
||||||
|
I Ye |= y , |F ft< 1+ |
1Ye.il, |
(4-10) |
||||
где Yj — проводимость |
/-й |
ветви; |
| Yc,3| — определитель |
||||
матрицы |
узловых |
проводимостей |
графа |
без /-й ветви, |
|||
соединяющей узлы |
(A, t); |
|F/u| — определитель матрицы |
|||||
узловых |
проводимостей графа, у которого узлы h и i |
62
совмещены; этот определитель равен произведению прово димостей ветвей 2-дерева для узлов к и г.
Эта теорема следует непосредственно из вида поли номов произведений проводимостей деревьев.
0
1
0
1 |
|
|
Рис. 4-11. 2-деревья для узлов |
|
Рис. 4-10. 2-деревья для узлов |
3, 4 и 1 графа, приведенного на |
|||
1 и 4 графа, |
приведенного |
на |
рис. |
2-17 (узел 1 — базисный). |
рис. 4-7 (узел |
4 — базисный). |
Путь отмечен жирной линией. |
||
Зависимость (4- 10) |
можно |
также записать с по |
мощью полиномов произведений проводимостей ветвей деревьев:
n = r ft<n M + n (_ft,)f (4-11)
где П — полином произведе ний проводимостей ветвей деревьев трафа G; Гы —'про водимость ветви между уз лами h и i; Щ,; — полином произведений проводимостей ветвей 2-деревьев для узлов h и i графа G; П(_Л{) — по
лином произведений проводимостей ветвей деревьев гра фа, полученного из графа G удалением ветви между уз лами h и г.
4-2,в. Пример. Найдем определитель матрицы узло вых проводимостей (полином произведений проводимо стей ветвей деревьев) графа, показанного на рис. 4-12:
П —КвПц+ П(—45).
63
Полином И(-45) (согласно теореме 4-1,в, соотношение (4-7)] будет:
П(_„ |
+ |
так как без ветви б граф можно разделить на три ча сти (на ветви 4 и 5 и треугольный граф, содержащий ветви 1, 2, 3). Полином произведений проводимостей 2-де ревьев:
П45 = (К4 -Ь Yt) (Г,Уа+ Г / , + Y,Yt) + Г4Г6 (Yt + Yt).
4-3. ^-ДЕРЕВО |
|
|
|
|
Аналогично |
2-дереву |
можно образовать А-дерево; |
||
в этом случае необходимо соединить N узлов. Если узлы |
||||
1, 2, ..., N заданного графа G0 |
соединить с |
внешним |
||
узлом, то получается новый граф G, определитель мат |
||||
рицы узловых |
проводимостей |
(полином произведений |
||
проводимостей) |
которого |
находим с помощью |
соотно |
шения, называемого обобщением теоремы разложения
(рис. 4-13): |
|
|
|
|
П = (F. + Г2 + ... + |
Yn) П, + |
+ |
|
|
+ |
S W » n < „ + ... + yi7 #- W |
, 2... Л,- |
(4-12) |
|
где Yu |
У2, ..., Yu Y3, ..., |
YN— проводимости |
ветвей, |
примыкающих к внешнему узлу; По — полином проводи
мостей ветвей деревьев графа G0 (определитель |
матри- |
; У** |
-** |
Рис. 4-13. Присо |
Рис. 4-14. Частич |
Рис. |
4-15. |
Объеди |
|||||
единение |
нового |
ный граф Gо для |
нение узлов 2 и 4 |
||||||
узла к заданному |
графа, |
приведен |
в графе, |
приведен |
|||||
графу |
<j0. |
ного на рис. 4-12 |
ном |
на |
рис. |
4-14 |
|||
|
|
(без |
узла |
5). |
(для |
образования |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2-дерева). |
|
|
цы узловых проводимостей); |
П^ — полином проводимо |
||||||||
стей ветвей 2-деревьев |
для |
узлов i |
и k |
графа |
Go; |
||||
Tlijk — полином |
проводимостей |
ветвей |
3-деревьев |
для |
узлов i, / и к графа G0 и т. д.
64
4-3,а. Примеры.
1) Исходным для графа, приведенного на рис. 4-12, является граф G0, показанный на рис. 4-14; здесь спра ведливо
Ветви 5 и 6 соединяют узел 5 с узлами 2 и 4 проводи* мостями У5 и У6. Полином проводимостей новой сети
я |
= (Г. ■+У.) У4 0\У ,+ |
Yjr, + У.У, ) + у5у.п 24, |
|||||
где П2 4 — полином |
проводимостей |
ветвей |
деревьев для |
||||
узлов 2 и 4 графа |
Go. Совмещение уз |
|
|
||||
лов 2 и 4, соответствующих этим 2-де- |
|
|
|||||
девьям, согласно рис. 4-15, образует |
|
|
|||||
граф треугольной формы. Ветви / |
и 4 |
|
|
||||
связывают узел 1 с совмещенным уз |
|
|
|||||
лом 2, 4, поэтому в деревьях они появ |
|
|
|||||
ляются |
попеременно, а в полином по |
Рис. 4-16. Тетра- |
|||||
падает |
сумма проводимостей |
этих |
|||||
|
эдерный граф. |
||||||
ветвей. |
Впрочем, |
это же |
получается |
|
|
по результирующему выражению для полинома прово димостей:
П24= (У1+ У 1)(Уг+У,) + У2У3.
На этом основании
Я = (У,+ У*) У4 (У,у,+ УшУ,+ У.Уг)+
+У , У Л У , У , + < У г + У № , + У Л
2)Найдем определитель матрицы узловых проводи мостей графа, показанного на рис. 4-16. Пусть узлы 1, 2, 3 и ветви 1, 2, 3 относятся к графу G0. Граф G допол няется узлом 4 и ветвями 4, 5, 6. В основном графе число ветвей деревьев — 2, число ветвей 2-деревьев — 1, число ветвей 3-деревьев — 0. В последнем случае произ ведение проводимостей равно единице.
Тогда
Я = (у4+ У.+ У.) (У,У2 + |
У2У3+ У.У,)+ |
У4У. (У,+ У.)+ |
+ У 4У. (У,+ У2)+ |
у.у, (У,+ У3)+ |
у.у.у.- |
Эти соотношения хорошо программируются для ЭЦВМ.
65
4.4. СОБСТВЕННЫЕ И ВЗАИМНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
4-4,а. Собственное сопротивление. Пусть один из двух узлов, образуемых в пассивной сети парой клемм, будет точкой питания, а другой — базисной точкой. Измеряе мое таким путем входное сопротивление будет назы ваться с о б с т в е н н ы м с о п р о т и в л е н и е м . Так, на рис. 4-17 питающий ток i'i и напряжение и10 определяют собственное сопротивление:
(4-13)
где П— определитель матрицы узловых проводимостей (полином проводимостей ветвей деревьев); П^о — поли ном проводимостей ветвей 2-деревьев для узлов 1 я 0.
4-4,6. Взаимное сопротивление определяется измере ниями для двух пар зажимов (рис. 4-18). Пусть ток ц
|
Of |
0 |
1 |
|
|
||
|
0 |
3 |
игэч |
|
1 |
||
Рис. 4-17. К опреде |
Рис. 4-18. К определению |
||
лению собственного |
взаимного |
сопротивле |
|
сопротивления. |
|
ния. |
|
питает зажимы 1, а узел 0 является базисным. В этом случае измеряется напряжение и2ъ между зажимами 2,3. Узловые уравнения сети будут следующими:
- Y и |
. |
. |
• |
К ш ~ |
а \ |
|
h |
. .. .. .. |
.. .. .. |
.. .. |
.. .. . |
|
. |
|
. |
. .. .. .. .. |
.. .. |
.. .. .. |
.. . |
|
• |
— |
• |
. .. .. .. .. |
.. .. |
.. .. .. |
.. . |
|
• |
|
• |
- У щ |
. |
. |
. |
У п п |
« п |
- |
0 |
|
На основании § 4-1 и 4-2 получаем:
^12,0--Pi;
П
66
Можно доказать, что*
12,0 ^12,03 Н"" ■^■123.0’
П13.0 = = ^ 1 3 ,0 2 |
•^■123,0* |
Образуя разность двух этих выражений и подставив ее в предыдущую формулу, получим:
•7 _ |
И23 |
_ П12(03 |
|
П13)02 |
/л 1Л\ |
L i ~ |
ix |
~ |
П |
* |
\*т№) |
Для определения взаимного сопротивления в (4-14) не обходимо в 2-деревьях наметить пути вначале между узлами 1 2 и 0 3, а затем — между узлами 1 3 и 0 2. (Если узел 3 совпадает с базисной точкой 0, то полу чится узловое взаимное сопротивление холостого хода, о котором говорится в § 5-8,а).
4-5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ РАСЧЕТА
МАТРИЦЫ КОНТУРНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
Топологические зависимости можно записать и для матрицы контуров. Если нет взаимоиндукции, то матри цу контурных сопротивлений можно так же, как и ранее, разложить на произведение двух взаимно транспониро ванных матриц.
Целесообразно исходить из матрицы базисных кон
туров |
(см. |
теорему |
2-3,в, гл. 2), состоящей |
из |
р, строк |
||||||||||
и имеющей |
ранг р. Базу |
этой ма |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
трицы образует множество |
контур |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ных |
ветвей. |
Поэтому |
необходимо |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
исходить из второго блока матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
базисных |
контуров, |
который пред- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ставляет собой единичную |
матрицу. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для расчета определителя, по вы |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ражению |
(3-28), можно также при |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
менить теорему Бинэ — Коши. Вви |
Рис. |
4-19. |
|
Образова |
|||||||||||
ду того, что база матрицы базисных |
ние |
дерева |
(отлично |
||||||||||||
контуров |
образуется |
контурными |
го |
от |
того, |
кото |
|||||||||
ветвями, |
каждому |
дереву |
соответ |
рое |
приведено |
на |
|||||||||
рис. |
2-19) |
графа, |
по |
||||||||||||
ствует свое |
|
множество |
контурных |
||||||||||||
|
казанного |
на |
рис. 2-17 |
||||||||||||
ветвей. |
|
|
|
|
|
|
(ветви |
деревьев |
по |
||||||
Только определитель блока, обра |
казаны |
|
сплошными |
||||||||||||
зованного |
из |
множества контурных |
линиями, |
|
ветви |
кон |
|||||||||
ветвей, не равен нулю. В данном гра- |
туров — пунктирны |
||||||||||||||
|
|
ми) . |
|
|
|||||||||||
* Здесь П12,оз — полином проводимостей ветвей таких 2-деревьев, |
|||||||||||||||
у которых узлы |
/, 2 находятся в одной части |
2-дерева, |
а |
узлы |
0 и |
3 — в другой. {Прим, ред.)
67
фе имеется р контурных ветвей. Если вместо контурной ветви выбирается ветвь дерева, то полученному множе ству будет недоставать одного контура и определитель обратится в нуль.
Можно доказать, что определитель матрицы контур ных ветвей равен ±1. В этом случае, если исходная мат рица контурных ветвей является единичной матрицей, ее определитель равен +1. Заменим одну из контурных ветвей первоначальной единичной матрицы другой воз можной ветвью, например, контурную ветвь 3 графа (см. рис. 2-19), ветвью 2 (рис. 4-19). В результате замены изменится также первоначально взятое дерево. Вместо контура, состоящего из ветвей 1, 2, 9> 6, относящихся к контурной ветви 9, возникает контур, из ветвей 3, 6, 9. Новая матрица контуров будет иметь вид:
/ |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
2 |
7 |
8 |
9 |
|
- 1 1 0 |
0 |
0 |
— 1 0 |
0 |
0 |
' |
||||
0 |
0 |
1 |
— 1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
— 1 |
0 |
0 |
1 — 1 |
0 |
0 |
1 0 |
|
|||
— 1 |
0 |
0 |
0 |
— 1 |
|
1 0 |
0 |
1 |
|
Эта матрица отличается от первоначальной только тем, что столбцы 2 и 3 были заменены в соответствии с за меной ветвей. В результате сложения строк получается
другой контур |
(образование |
кольцевой |
суммы, см. |
|||||
рис. 4-19). В соответствии |
с этим, |
прибавив строку 1 |
||||||
к строке 4, получим новую матрицу: |
|
|
|
|||||
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
2 |
7 |
8 |
9 |
- 1 1 0 |
0 |
0 — 1 0 |
0 о - |
|||||
0 |
0 |
1 |
— 1 |
0 |
0 |
1 0 |
0 |
|
— 1 0 |
0 |
1 |
— 1 |
0 |
0 |
1 0 |
||
0 |
1 |
0 |
0 |
— 1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Проведенное преобразование не изменяет значения определителя. В этом случае определитель матрицы кон турных ветвей равен —1. Таким образом, утверждение доказано.
На основании этого определитель матрицы контур ных сопротивлений графа будет равен:
MZ) = E z hz ,'.. : z |
(4-15) |
9 |
|
68
где р — число возможных множеств базисных контуров; Z^ , — сопротивления контурных ветвей одного
из множеств базисных контуров.
4-5,а. Теорема. Определитель матрицы сопротивлений базисных контуров является полиномом произведений сопротивлений контурных ветвей. Число членов полино ма совпадает с числом возможных деревьев. Множество контурных ветвей является дополнением дерева. Отсюда следует:
4-5,6. Теорема. Определитель матрицы контурных со противлений равен определителю матрицы узловых про водимостей, умноженному на произведение сопротивле ний всех ветвей.
В самом деле:
* (Z) = |
Е Zh ... |
= ( Z tZ 2 ...Zm) 2 Yb ... Y |
|
|
P |
T |
|
где Z iZ 2 . . . |
Z m — произведение сопротивлений |
всех вет |
|
вей графа. Отсюда с учетом зависимости (4-5) |
получим: |
||
|
A(Z) = |
(Z,ZS ...^)A (K ). |
(4-16) |
Выражения определителей матрицы узловых прово димостей и матрицы контурных сопротивлений наглядно показывают, что в обоих случаях число слагаемых в по линомах одинаково, а число сомножителей в каждом слагаемом в первом случае равно п—1, а во втором случае — р.
Г Л А В А П Я Т А Я
РАСЧЕТ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ
Линейная электрическая сеть состоит из узлов и вет вей; зависимость между напряжениями и токами в та кой сети линейна. Коэффициенты уравнений, описываю щих установившийся режим сети (т. е. элементы матриц узловых или контурных уравнений), для сети постоянно го тока являются действительными числами, для пере менного тока—комплексными числами. Для неустановившихся режимов расчеты можно вести с помощью
69
интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений как в виде рядов, так и с применением oneраторного исчисления. В последнем случае элементы матрицы, описывающие процессы в системе, будут со держать оператор и его степени.
Уравнения установившегося режима сети в матрич ной форме, полученные на основе теории графов (см. гл. 3), имеют вид:
Сх=Ь,
что соответствует системе линейных уравнений первого порядка. Решением этрй системы является:
х = С_1Ь.
Следовательно, задача состоит в определении матрицы, обратной С, т. е. С-1. С этой проблемой нам уже прихо дилось встречаться в гл. 4 при рассмотрении топологи ческих зависимостей. Решение, которое можно назвать классическим (применение правила Крамера), требует очень большого числа вычислительных операций. Ввиду того, что в сетевых задачах обращаемая матрица не полна, т. е. некоторые из ее элементов равны нулю, це лесообразно использовать это свойство для уменьшения числа операций. Кроме уменьшения времени, требуемо го для расчета, при этом уменьшается также степень использования объема памяти вычислительных машин.
Ниже дается обзор методов, с помощью которых це лесообразно обращать квадратную матрицу коэффици ентов уравнений установившегося режима линейной сети. Для решения этой задачи, помимо прямых методов обращения, могут быть применены также итерационные методы. Вопросы, связанные с применением итерацион ных методов, будут изложены в гл. 6 при решении за дачи расчета потоков мощности.
Прежде чем переходить непосредственно к обраще нию, целесообразно задачу упростить так, чтобы было меньше неизвестных. Назовем это упрощением сети.
5-1. УПРОЩЕНИЕ СЕТИ
Если произведение узлов в промежутке пути между двумя узлами равно 2, то путь можно заменить одной ветвью, переместив нагрузки промежуточных узлов в два крайних узла.
70