книги / Современные методы анализа электрических систем
..pdfлить трехфазные узловые точки. В соответствии с П-об- разной схемой замещения линия может быть, таким об
разом, представлена |
после |
|
|
|
||||||
довательными |
и параллель |
|
|
|
||||||
ными ветвями, включенными |
|
|
|
|||||||
в узловых точках. |
|
модели |
|
|
|
|||||
Математические |
|
|
|
|||||||
остальных |
элементов |
элек |
|
|
|
|||||
трической |
системы |
рассмо |
|
|
|
|||||
трены |
в последующих |
гла |
|
|
|
|||||
вах КНИ|ГИ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
симметричной системе |
|
|
|
||||||
три фазы |
ветви |
соответст |
|
|
|
|||||
венно соединяются с отдель |
Рис. 7-3. |
Схема |
замещения |
|||||||
ными фазовыми контактами |
||||||||||
узловых |
точек, |
например |
параллельной |
трехфазной |
||||||
|
ветви. |
|||||||||
с контактом фазы а узловой |
С — емкость; G — проводимость. |
|||||||||
точки — контакт |
фазы |
а |
|
|
|
|||||
ветви. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7-1,в. Гиперматричные зависимости. Для трехфазной |
||||||||||
сети |
систему |
матричных |
уравнений |
можно записать |
||||||
в следующей гиперматричной форме: |
|
(7-4) |
||||||||
|
|
|
|
|
u = Zi; |
i= Yu. |
|
В этих зависимостях матрицы напряжений, токов, со противлений и проводимостей ветвей являются элемен тами гиперматриц
|
Ui |
|
|
i, |
11 = |
U2 |
. f= |
h |
|
|
• |
|||
|
Urn |
|
|
|
|
Z u |
Z J2 . |
• |
• Zim |
z = |
Z2i |
Z22 • |
• |
• Z2m ♦ |
- Zmi |
Zm2 - |
• |
• Zmm |
|
Г |
¥ ” |
Y lf • |
■ |
• Y lm* |
Y — |
Y „ Y 22 . • • Y 2m . |
|||
- Y ml |
Y m2. |
• |
• Ymm_ |
>
( (7-5)
)
Если между отдельными блоками нет индуктивных связей, то матрицы Z и Y являются диагональными ги
151
перматрицами, т. е. |
|
|
|
|
||
Z = |
diag(Z„, |
Z22, ..., |
Zmm) = diag (Zt, Z2, Z |
m); |
1 |
(7 6) |
Y= |
diag (Yu , |
Y2 I > |
Ymm)==diag(Yt, Ys...... |
Ym). |
J |
' ' |
Предположим, что сеть симметричная, следователь но, блоки (элементы) гиперматрид Z и Y являются ци кличными матрицами [на основании зависимостей (7-2) и (7-3) и 7-1,6], т. е.
Z*'j = C(Z/j0, Ziji), Zijc);
y ij = C (Yija, Yijb, Уцc),
где C — цикличная матрица.
Характерным свойством цикличных матриц является то, что их произведение не изменяется при перестановке матриц сомножителей (коммутативность умножения).
Для того чтобы облегчить запись уравнений, целесо образно ввести обозначение прямого произведения, со гласно которому
я п В я 12 В . . . я 1 п В
А Х В = |
В я 2 2 В . • • # 2 « В |
^ |
(7-8) |
Я 2 1 |
|
_ Я щ В ^ п 2 В • • • аппВ
где
-я12 . . • «ш '
А= а21 я22 • . . аг„
«П1 ап 2 • • • апп .
Прямое произведение некоммутативно.
*Первый и второй законы Кирхгофа [см. зависимости (3-1) —(3-3)] при отсутствии задающих токов (узловых токов) записываются в виде
(AXls)i = |
0; |
) |
(QXl.)i = |
0; |
(7-9) |
(BXi,)u = |
0, |
) |
где I3 —единичная матрица третьего порядка. Если имеются задающие токи ic, то
(AXI,)l = - ic .
Ввиду того, что в симметричной сети подсоединение ветвей к узловым точкам одинаково для всех фаз, до
152
статочно матрицы соединений, множеств сечений и кон туров (A, Q, В) записывать только для одной фазы. Зависимости между этими матрицами рассмотрены в гл. 2 (ем. пункты «а» и «б», § 2-5). Если для одной из фаз симметричной сети определить дерево, множество ветвей контуров, множество контуров, множество сече ний, то они будут относиться ко всей трехфазной систе ме.
Согласно сказанному гиперматричное уравнение для симметричной трехфазной системы можно записать в узловых величинах следующим образом [на основании зависимостей (3-19) и (3-20), гл. 3]:
—ic = Ycuc,
где
YC= (AXI3)Y(A*XIs). |
(7-10) |
7-1,г. Собственные значения, собственные векторы и проекционные матрицы цикличной матрицы. На основе известных соотношений матричной алгебры (Л. 4, 5] можно следующим образом представить отдельные бло ки гиперматрицы проводимостей [Л. 69, 70]:
Y<j - Yij0P0+ Ytil Р. + YiitР2, |
(7-11) |
где Ро, Рь Рг— проекционные матрицы цикличной ма трицы, т. е.
Р^ = Рг; Pj'Pj = 0, "если 1ф /; |
(7-12) |
2 р* = i.. «=1
Проекционную матрицу, как известно, можно выра зить с помощью диад собственных векторов; число диад равно рангу проекционной матрицы.
В выражении (7-11) Уде, Уде, Уде являются собст венными значениями цикличной матрицы Yц.
Проекционные матрицы и собственные векторы лю бой цикличной матрицы третьего порядка равны [Л. 4,
153
5, 41]:
P„ = W0W*o= 4 -
P . = Wlw *,= -J-
Р =Чу vv* |
= —L. |
Г 2 j Wj W 2 |
^ |
где а — е
Г |
1 |
1 |
1 " |
. |
хм — 1 |
- |
1 ' |
, |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
||||
|
> wo |
V з |
|
f |
|
|||||
|
1 |
1 |
1 _ |
|
|
|
1 |
|
|
|
- |
|
|
|
~ |
|
|
||||
1 |
а |
а |
|
|
i |
1 : |
|
(7-13) |
||
|
а |
1 |
а |
> w, = |
|
а |
> |
|||
|
w |
|
||||||||
|
|
а |
1 _ |
|
|
|
а . |
|
|
|
" 1 |
|
|
|
" |
|
|
||||
а |
а |
|
ITT |
1 |
1 " |
|
|
|||
|
а |
1 |
а |
|
|
а |
» |
|
||
|
9 w2— / з |
|
|
|||||||
|
а |
а |
1 _ |
|
|
|
|
и |
|
|
На основании этих свойств цикличной матрицы (как это будет видно ниже) можно определить обобщенные со ставляющие. При этом, поскольку порядок чередования фаз, принятый в электрических системах, противополо жен положительному направлению вращения, порядок следования собственных векторов wb w2 также изме няется.
Собственные значения матрицы Хц определяются вы ражениями
Yiin = |
Yija+ |
Yiibc rb + Y iicab |
(7-14) |
|||
т. е. |
(k = |
0, |
1, |
2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yiu = Yiia+ |
Yijb + |
Yijc- |
|
|||
Yih = Yiia- |
Y<»± -Y- ^ |
- j |
i j - |
(Yijb - |
YtjC); |
|
Yij2— Yija |
Ytjb + Yijc |
|
J ^ F H b - Y a c). |
|||
2 |
|
|
Пассивному элементу симметричной сети, между фа зами которого нет взаимосвязей, соответствует диаго нальная цикличная матрица
С(Yth 0, 0).
В этом случае
Yijo= Yij\ = Yij2= Yij.
Пассивному элементу симметричной сети, между фа зами которого существует взаимосвязь, соответствует
154
следующая симметричная цикличная матрица:
С O ' t j s , Y i j m i Y i j m ).
В этом случае
Yiio= |
Yijs -f - 2 F fjm ; |
(7-15) |
|
Y i j i |
|
|
|
Y i j 2 |
Y i j s |
Y ijff). |
7-1,д. Определение гиперматриц проводимостей и со противлений через их собственные значения. 1) Гипер матрицу проводимостей Y (содержащую m Xm блоков) можно представить в виде суммы прямых произведений блоков собственных значений и проекционных матриц:
Y= Y0XP„ + Y.XP, + Y2X Pa.
Yn it r.2k • |
. |
i |
|
^ 1 |
(k = 0, 1, 2). |
||
I'm |
|
^ 1 |
|
Ymth Утп2к • |
|
. • |
|
• • Ymmh~ |
|
(7-16)
(7-17)
Для многофазной (s-фазной) системы справедливо сле дующее выражение:
Y = S YftXPfc.
k=0
где в соответствии с положительным направлением враще ния
/.2kv\ exp ( j — J
« р [ / ^ ]
П я .= 2]
h=&
155
Здесь Yn — h-й |
элемент цикличного матричного |
lJah |
|
блока Y*j: |
|
Y^ C ( K |
, ao...... yw v ..., Yl K _). |
2) Гиперматрицу сопротивлений Z можно записать а логичным образом:
Z = Z0X P. + Z, х Р, + Z2Х р 2.
где
Zlih |
Zi2h • |
• |
• mh |
|
|
Z21h |
^22h • |
• |
• %2mh |
О II |
1, |
- Z mih Zm2h • |
• |
• Zmmh- |
|
|
(7-18)
2).
3) Зависимость между матрицами сопротивлений проводимостей, выраженными через собственные значе ния, имеет вид:
Zft= |
Y“ ' (6 = 0, |
1, 2). |
(7-19) |
Доказательство: |
перемножим |
гиперматричные |
выра |
жения (7-16) и (7-18), учитывая свойства проекционных матриц:
Isn= Y0Z0XP„ + Y.Z.XP, + Y2Z2X Pa-
Подстановка (7-19) в это выражение дает тождество.
4) Матрицы собственных значений гиперматриц пр водимостей и сопротивлений можно получить, если урав
нения (7-16) и (7-18) умножить слева |
на матрицу |
||||
lXw*fe и справа на матрицу iXw*. |
|
|
|
||
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
1, |
если |
» = |
/, |
(7-20) |
|
W*/Wj = |
|
если |
i Ф j, |
||
0, |
|
||||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
Wi, |
если i = /, |
|
(7-21) |
||
0, |
если i Ф1, |
|
|||
|
|
||||
получаем для m ветвей: |
|
|
|
|
|
Yft = (ImX w*fc) Y (ImX wft): |
|
|
(7-22) |
||
Zft == (I« Xw*ft)Z (ImX wft) |
|
|
|||
|
|
(*-=0, |
1, |
2). |
156
5)Гиперматрица узловых проводимостей на основании
зависимостей (7-10) и (7-17) может быть записана в виде
2
Yc= £ АУ*А>ХР;£,
YC= S YcftXP*, |
(7-23) |
k=0 |
|
где \ Ck — матрица, элементами которой являются соб ственные значения (& = 0, 1, 2) блоков гиперматри цы Yc.
7-1,в. Запись уравнений сети через узловые величи ны. На основании зависимостей (7-10) и (7-23) полу чаем:
- l c = ( s |
YcftXP^Uc |
(7-24) |
\А=0 |
1 |
|
Учитывая выражение (7-21), умножаем слева урав нение (7-24) на гиперматрицы I ^ X w V I„_iXw*b I„_iXw*2, где порядок единичной 'матрицы I„_i совпа дает с числом независимых узлов. При этом матричное уравнение порядка 3(п—1) распадается на три незави симых уравнения порядка (п—1). Введем следующие обозначения:
k) •<;> |
| |
(7-25) |
Ucft = (IXW*ft)Uc |
J |
|
(k= 0, 1, 2). |
|
|
Тогда три полученных матричных уравнения запишутся в виде
—U = YcAucft (k = 0, 1, 2). |
(7-26) |
7-1,ж. Симметричные составляющие. Уравнения вида (7-25) и (7-26) можно записать не только для узловых токов и напряжений, но и для соответствующих контур ных значений или значений множества сечений. Полу ченные значения токов и напряжений будут соответствен вать составляющим нулевой, прямой и обратной после довательностям, известным под названием симметричных составляющих (Л. 65—72]. Это же относится к сосгав-
157
ляющим проводимостей и сопротивлений. Так, из урав нения (7-25) получаем ток нулевой последовательности
1а |
|
h |
|
it |
|
== ~ y f Va + г’ь"Ь г’с)- |
(7-27) |
Аналогично |
|
U0= Y = r(ua + ub + Ue). |
|
Эти величины в ]/"3 раз больше обычно |
применяемых |
в практике расчетов в настоящее время. Однако в прин ципе правильнее пользоваться именно зависимостью (7-27), определяющей так называемое нормализованное значение симметричной составляющей. Нормализованная симметричная составляющая прямой последовательно сти
|
|
1а |
|
< .= w*,i |
[1 а а] |
1ъ |
|
|
уъ |
|
|
= -р = - |
(/„ -f- aib-f- (tic)- |
(7-28) |
Аналогично
ui = -уг=- (ua-f- aub-j~ aucy
Нормализованная симметричная составляющая обратной по следовательности
|
1 |
[1 а а] |
ia |
|
ib |
||
= w*2i=-p-=- |
|||
— - y j- |
(г'а + |
oib-f- aic). |
(7-29) |
Аналогично |
|
|
|
ы 8 = y - g |
(u a + |
OWfc - f - f l U c ) - |
На основании соотношений (7-27) —(7-29) переход от фазных величин к составляющим пулевой, прямой и об-*
15#
ратной последовательностей можно отобразить следую щим матричным уравнением:
|
го |
~W*0 " |
iu> = |
h = |
(7-30) |
|
_ h « |
_W*2 _ |
В дальнейшем iw будем называть преобразованным вектором тока. Матрица преобразования имеет вид:
|
|
- 1 1 1 |
|
|
||
|
S*= |
1 |
1 |
а |
а2 |
(7-31) |
|
V T |
|||||
|
|
1 |
а2 |
а |
|
|
Ясно, что а=а2. |
|
|
|
|||
является |
|
комплексно-сопряженной |
||||
Матрица S* |
|
|||||
с транспонированной матрицей S, которая также пред |
||||||
ставляет собой матрицу преобразования: |
|
|||||
|
|
- |
1 |
1 |
1 - |
|
|
|
|
1 |
а2 |
а • |
(7-32) |
Согласно (7-20) |
|
|
1 |
а |
аг_ |
|
|
SS* = I. |
|
|
(7-33) |
||
|
|
|
|
|||
На основании (7-30), (7-32), |
(7-33) |
|
|
|||
|
|
i = Siu,. |
|
|
(7-34) |
|
Это соотношение |
можно также записать |
в виде |
||||
1 = *оХw0-f i.X'V, + *aXwa. |
(7-35) |
Раскрывая (7-35), получаем:
«. + ' . + У:
к— -у=- (К + аЧ1-|-ai2)\
lc— -у=' (»'. “Ь ~Ь лН^).
7 -1 ,3 . Матрица преобразования и преобразованная гиперматрица проводимостей. Матрицы S и S* можно рассматривать как матрицы унитарного преобразования. Если матрица преобразования действительная, то она определяет ортогональное преобразование (Л. 4, 5].
159
Согласно (7-11) с учетом выражений (7-13) матрич ный блок Y(j можно записать так:
Y fj = w 0VVj0w * 0 + |
+ w / Jj2w * 2. |
Это выражение можно преобразовать к следующему виду:
' У г Н |
0 |
0 |
' |
о |
|
О |
!____ |
о |
о |
м. |
|
|
|
со |
|
"W * 0 ~ W * !
W * 2
V___CV-. С* |
|
|
1 Ij — ^ 1 |
> |
|
где |
|
|
Y l j t o = : <С. Y i jo> Г / j 1( |
1^2 |
• |
Гиперматрицу узловых проводимостей |
можно получить |
из преобразованной гиперматрицы проводимостей следую щим образом:
Yc = |
(In-, X S) vcu)(In_, X S*), |
(7-36) |
где гиперматрица |
\ cw состоит из (п—1)Х(я—1) |
диаго |
нальных блоков третьего порядка. |
|
|
Зависимость, обратная (7-36), будет, очевидно, иметь |
||
вид: |
|
|
Ycw = (I„-1X S*) Ye (1Я_,<Х S). |
(7-37) |
Зависимость (7-26) можно получить умножением уравнения —ic=Ycuc слева на матрицу I„_iXS* и под становкой единичной матрицы (I„_!X S) (In_!XS*) поряд ка 3 (п—1) между сомножителями Yc и ис этого уравне ния:
-( I « —CXS*)ic =
=(In- i$*) Yc (I„_, X S)(In- , X S*) UC.
Эта зависимость согласно (7-30) и (7-37) идентична зависимости (7-26), так как, введя обозначения:
•си>--- (In- 1 X S) ici
Ucw == (In- j X 3) Uc>
получим:
hw z= YctoUcu)'
Этим доказано равенство (7-26), поскольку блоки гипер матрицы Ycro — диагональные матрицы.
160