книги / Современные методы анализа электрических систем
..pdfНапряжение балансирующей электростанции, как уже указывалось ранее, фиксируется. При варианте В задания исходных данных заданы напряжения |{У|Й и мощности Pg для каждого генераторного узла g. Урав нение системы (6-81), соответствующее генераторному узлу, можно записать в виде
|
|
|
(6-82) |
|
|
|
1gg'-'gb |
где |
£-1 |
|
п |
|
и.„ |
||
v gh+1= |
L* |
(6-83) |
|
Y |
Udk + 1 |
||
|
1 |
|
1 |
|
y=i |
|
1=в+1 |
Модуль напряжения узла g задан, т. е.
^gft+ 1 6 gk+i==|-^g| 2 ==const. |
|
||
Пусть действительная часть Ygg€'gkVgk+I |
будет |
||
\YggiJgu\ Vgak+1, а мнимая |
часть |
\YggUgk\ Vgbh+l. |
Тогда |
реактивная мощность в узле будет: |
|
|
|
<2«» = Ir . # . k I |
+ |
Y v ] ~ |
(6-84) |
Это выражение необходимо подставить в (6-82). Опыт показывает, что метод Гаусса — Зейделя дает
лучшую сходимость, чем метод Якоби. Преимуществом обоих методов является относительная простота про граммирования, вследствие чего эти методы применяют ся для расчетов с помощью ЭЦВМ.
Метод Гаусса — Зейделя можно привести к блочной итерации, так как если преобразовать (6-81), то
Xfe+1 = (I - М)-1Nx* + (I - М)-1b.
Итерационная матрица, характеризующая сходи мость итерации по Гауссу — Зейделю, имеет вид:
A = (I — M ^ N ,
где матрицы М и N можно определить по выражениям (6-80) и (6-81).
6 -6 ,в. Релаксационный метод характерен тем, что на каждом шаге итерационного процесса изменяется толь ко тот элемент вектора х, которому соответствует наи большая величина невязки. Вектор невязки определяет
ся соотношением |
(6-85) |
Г/* = Ь— Cxh. |
141
Если наибольшим (по абсолютному значению) явля ется i-n элемент вектора невязки rkf то я^+1 следует -вы бирать так, чтобы rik+ 1 = 0. Для следующего итерацион ного шага необходимо определить, какой элемент век тора невязки наибольший, и, выбрав этот элемент, про должать расчет.
6-7. УСКОРЕНИЕ ИТЕРАЦИОННОГО МЕТОДА
6-7,а. Метод ускорения Эйткена [Л. 46]. В случае большого числа узлов, т. е. большого числа переменных, сходимость итерационных методов довольно медленная. Для ускорения расчета можно применять экспоненци альную экстраполяцию Эйткена. Согласно этому методу по значениям х для трех последующих итераций {хи-ь Хи и Xk+i) корректируется среднее значение (xk):
Xk |
Xh-iXh+l — %k |
X k + i |
(Xh+i — XK)2 |
• (6-86) |
|||
%К+1 |
-f- Xk- ! |
Xk+i |
Xft-! |
||||
|
|
|
Этот метод ускорения можно применять шаг за ша гом в том случае, если имеется по меньшей мере пять постоянно убывающих разностей напряжений узлов. Возможно, что после ускорения по Эйткену на несколь ких шагах итерации возникнут колебания, однако за тем вновь устанавливается монотонно сходящийся про цесс.
6-7,6. Ускоренный метод Зейделя [Л. 60]. В ускорен ном методе Зейделя линейно увеличивается шаг обыч ного итерационного метода. Если вектор напряжений на последующем шаге без ускорения определяется выра жением
|
U^M ) = |
Ufc+AUft, |
(6-87) |
то с линейным ускорением |
|
|
|
|
Uft+, = |
Uft —j—иДи*. |
(6-88) |
Из уравнений |
(6-87), (6-88) и (6-80) после |
приведения |
|
подобных получим: |
|
|
|
U*+I = |
(I - иМ)-‘ [(1 - и) I + KN] Uft+ |
|
|
|
+ (1 — мЩ-'Ъ. |
(6-89) |
|
В этом выражении итерационная матрица |
|
||
Л = |
(1 — иМ)’ 1 [(1— x)I + *N]. |
(6-90) |
142
Коэффициент ускорения к следует выбирать так, чтобы для обеспечения сходимости требовалось возмож но меньшее число шагов. Не приводя математического вывода, укажем, что наилучшим значением коэффици ента ускорения является:
|
2 |
(6-91) |
|
|
|
где |
-V— наибольшее собственное значение матрицы |
|
(M |
+ N). |
|
Для определения наибольшего собственного значе ния можно применить итерационный процесс:
р*= - (М+ N) Pft_, = - (М+ N)*Ро,
где ро— любой вектор. После достаточного числа \(k) итераций [как следует из зависимости, аналогичной вы ражению (6-79)] рk будет собственным вектором матри цы (M + N) и,таким образом,
РМ-1 *"Vpft.
Отсюда можно определить наибольшее собственное значение.
6-8. СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ПОТОКОВ МОЩНОСТИ
Для расчета токов при задании токов в качестве не зависимых переменных можно выбрать один из мето дов, рассмотренных в § 6-5 и 6-6. В приведенных си стемах уравнений параметры сети могут изменяться в ходе итерационного процесса. Для итерации важно, чтобы эти изменения оставались в известных пределах. Колебания переменных могут вызывать ухудшение схо димости итерации.
Ниже будет приведено сравнение вариантов 1—4 схем замещения элементов системы и будут рассмотре ны методы расчетов для вариантов А и В задания ис ходных данных.
6-8,а. При первом варианте схем замещения элемен тов системы матрицы Ус и Zc, содержащие последова тельно включенные элементы сети, в ходе итераций не изменяются.
При варианте А задания исходных данных вектор Sc в ходе итераций изменяется в соответствии с изме-
143
нениями вектора узловых напряжений. Параллельно включенные двухполюсники, например емкости линий, элементы схем замещения трансформаторов, представ ляются в виде нагрузок, мощность которых изменяется пропорционально квадрату напряжения; мощности этих двухполюсников обычно на порядок величин меньше мощностей нагрузок системы, и поэтому их изменения не влияют на число итераций. Базисный узел совмещается с балансирующим. Вектор падений напряжений узлов ис можно определить, зная вектор Sc, по выражению (6-26) итеративным способом согласно (6-40):
ucft+1 = Z0 (£/„1-)- diag ucfc)-1 Scfc. |
(6-92) |
Итерации следует прекратить, когда
|ucj; + i — Ucft| < 8.
Для расчетов по выражению (6-92) необходимо обратить матрицу Yc. Этого обращения можно избежать, если [исходя из выражения (6-27)] использовать один из кос венных методов, рассмотренных в § 6-5 и 6-6.
Для варианта В задания исходных данных для ре шения уравнения (6-27) можно использовать любой из методов, рассмотренных в § 6-5 и 6-6 (например, в слу
чае метода |
Гаусса — Зейделя — зависимости |
(6-81) — |
(6-84)]. Для |
большого числа методов можно |
также |
использовать следующее уравнение, полученное в резуль тате преобразования выражения (6-26):
—U= ZC(diag!))-1 Sc — t/0e. |
(6-93) |
В этом случае можно пользоваться прямой итера |
|
цией в соответствии с выражением (6-40), |
причем для |
ускорения сходимости можно строить итерационный про цесс по методу Гаусса—Зейделя. Далее сходимость ите рации можно ускорить, если в выражении (6-40) эле менты главной диагонали матрицы А(х) разрешить от носительно х [Л. 58].
1) Выпишем первую строку матричного уравнени (6-93), соответствующую узлу 1, считая, что это узел нагрузки. Аналогично можно оперировать и с остальны ми узлами нагрузки.
144
После преобразования получим:
U i j J 7 ife |
Л 1]1_ J J ' i h - j - Z i |
, = |
0 , |
(6-94) |
где
hr2
По уравнению (6-94) можно рассчитать Uik на £-й итерации. Значения [Д для (k—1)-й итерации полагаем известными. Ввиду того, что рассматриваемые величи ны представляют собой комплексные числа, разделим их на действительные и мнимые составляющие. Приняв, что и 0 имеет положительное действительное значение, получим:
U1n = Ua-\-jUb = \U\eib-,
A t h - i — Л а - \- j A b',
Z,, —
Подставим эти выражения в уравнение (6-94):
и 1+ и 1 ~ А*и * ~ 4 / Л + RP+ X Q= 0 ;
A bu a - A aU b + RQ - X P = 0.
Корни Ua и Ub этой системы уравнений определяются как
и а, и ь= - 0,5В r t К'0,25В*- С, |
(6-95) |
|
где |
|
|
B _ 2 A b { R Q - X P ) |
л |
|
4 + 4Ч |
|
|
с= ( * Р — R Q ) (А аА ь + Х Р - R Q ) + |
А а2 ( R P + |
X Q ) |
4+ 4
2)При составлении подобной зависимости для узла источника необходимо принять во внимание, что модуль напряжения и активная мощность в этом случае заданы.
Поэтому, исходя из соотношения
145
и из зависимости (6-93), аналогично пункту 1 можно полу чить:
Ua = — 0,5Gr t )/0,25Ga — Н;
Ub = EUa + D
и
|
tg 8 = |
Ua |
|
|
где |
Ub |
|
|
|
|
|
|
|
|
n _ |
£|t/|2- ( tf2 + y2)P |
_ |
||
|
RAa- X A b |
|
|
|
F RAa + XAb . n |
2DE |
„ |
Z)2 — |t/|2 |
|
XAa — RAb' |
l + £ 2 |
’ |
l + £ 2 * |
Может оказаться, что в выражении (6-96) под квад ратным корнем будет отрицательная величина, что в ре зультате даст мнимое число. Это может быть в случае, если передача находится на пределе устойчивости или если этот предел превзойден.
6-8,6. При втором варианте схем замещения элемен тов системы матрицы Y<- и Ъс отображают полную сеть, содержащую также и параллельные ветви между нуле вой шиной и узлами. В ходе итерации матрицы Ус и Ъс и вектор Sc неизменны. Поскольку параллельно вклю ченные сопротивления обычно на два порядка величин больше последовательно включенных, напряжения в сильной степени зависят or Sc. Уровень напряжения дол жен обеспечиваться балансирующим источником, поэто му целесообразно пользоваться зависимостями (6-34) и (6-35), в которых напряжение балансирующего источни ка постоянно. Поскольку мощность балансирующего ис точника ограничена, то при достижении известного пре дела эту мощность необходимо разделять между осталь ными источниками. Преимуществом такого подхода яв ляется то, что для отображения трансформаторов можно пользоваться схемами замещения.
Для решения задачи при варианте А задания исход ных данных можно выбрать один из многих приведен ных выше методов. Целесообразнее всего в этом случае решать уравнения (6-34) методом Гаусса — Зейделя по итерационной формуле (6-40). Для ускорения сходимо сти в этом случае можно применить зависимость (6-94),
146
в которой
п |
_ |
п |
|
Aib-i — — |
Zlt S ^ - V o |
5 |
(6-97) |
«=2 |
|
(=1 |
|
Для решения уравнения (6-35) можно также поль зоваться методами, рассмотренными в § 6-5 и 6-6.
При решении задачи по варианту В задания исход ных данных необходимо действовать аналогично тому, как описано в § 6-8,а. Для ускорения сходимости ите рации согласно зависимости (6-40) можно пользоваться выражениями, аналогичными (6-95) и (6-96).
6-8,в. При третьем варианте схема замещения систе мы, помимо последовательно и параллельно включенных ветвей, соответствующих второму варианту, содержит сопротивления, заменяющие нагрузки. Узлы, к которым
подключены нагрузки, можно исключать |
из уравнений, |
и в результате оставить только узлы |
с источниками. |
Обозначим узлы с источниками индексом 2, остальные — индексом 1. Пересчет матрицы узловых проводимостей при исключении узлов нагрузок рассмотрен в § 5-8,6 и может быть выполнен в соответствии с формулой (5-48). К узлам с индексом 1 могут быть подключены проводи мости нагрузок, отображаемые элементами диагональ ной матрицы D = < y u> . С учетом этого результирую щие проводимости узлов с источниками будут опреде ляться по выражению
Y ,= Y tl - ' * 11(YII + E )-‘ YItf |
(6-98) |
где /-й элемент диагональной матрицы D
Если в матрице (6-98) исключить элементы, соответ ствующие балансирующему узлу, то получим матрицу узловых проводимостей Y'с, фигурирующую в выраже нии (6-31), обратной к которой является матрица узло вых сопротивлений ZV
Преимуществом описанного метода является то, что число узлов и, следовательно, уравнений, используемых для расчета, уменьшается.
Для решения уравнений сети при вариантах А я В задания исходных данных можно использовать любой из итерационных методов согласно разд. 6-8,6.
147
6-8,г. Четвертый вариант схемы замещения системы
[Л. 55] отличается от третьего варианта тем, что источ ники отображаются параллельно включенными (между узлом и нулевой шиной) сопротивлениями. Матрицу уз ловых проводимостей Yc необходимо дополнить диаго нальной матрицей D, ненулевые элементы которой соот ветствуют узлам, содержащим источники и нагрузки:
Y6 = YC+ D. |
(6-99) |
В этом случае, исключив элементы, соответствующие балансирующей электростанции, получим матрицу \ ' ь,
обращение которой дает: Z'b = Y^~1. Эту матрицу следу
ет подставить в уравнение (6-34) вместо Zc. Ввиду того, что источники и нагрузки заменены сопротивлениями (проводимостями), исходным значением вектора мощ ностей узлов будет Sbo=0. В ходе итераций мощности источников и нагрузок будут изменяться относительно первоначальных значений вследствие изменения напря жений. Фактические мощности узлов будут:
Sb = Se—D| U |2,
где элементы вектора |U|2 являются квадратами напря жений узлов; Se— заданный вектор мощностей узлов. Вектор Sьи необходимо корректировать в процессе ите раций. Для расчета можно пользоваться блочным мето дом или — с целью ускорения итерации — методом Га усса— Зейделя, используя формулы (6-95) и (6-96).
Г Л А В А С Е Д Ь М А Я
ОБОБЩЕННЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ТРЕХФАЗНОЙ СИСТЕМЫ
7-1. ГИПЕРМАТРИЦЫ СЕТИ
Электрические системы передачи и распределения энергии обычно трехфазны, однако нет принципиального препятствия тому, чтобы рассматриваемые ниже пробле мы отнести к любой многофазной системе. Элементами трехфазной сети являются: трехфазные ветви, узловые точки и нулевая шина (точка). Трехфазная ветвь мо жет быть:
а) последовательной, включенной (между двумя узло выми точками;
148
б) параллельной, включенной между узловой точкой и нулевой точкой (нейтраль звезды на рис. 7-1).
Между отдельными фазами трехфазной ветви в об щем случае имеет место взаимодействие. При опреде
ленных условиях значения |
то |
|
|
|
|
||
ков и напряжений можно пре |
|
|
|
|
|||
образовать таким образом, что |
|
|
|
|
|||
трехфазная |
система разделя |
|
|
|
|
||
ется на три однофазные, кото |
|
|
|
|
|||
рые связаны только в тех точ |
|
|
|
|
|||
ках, где элементы сети несим |
|
|
|
|
|||
метричны. Такое преобразова |
|
|
|
|
|||
ние определяет переход к обоб |
|
|
|
|
|||
щенным составляющим. |
по |
|
|
|
|
||
Типичная |
трехфазная |
|
|
|
|
||
следовательная |
ветвь, как |
это |
|
|
|
|
|
видно из рис. 7-2, содержит |
|
|
|
|
|||
сопротивление и индуктивность; |
Рис. |
7-1. Трехфазная сеть. |
|||||
между фазами |
возможна |
вза |
1 — последовательная |
трехфаз |
|||
ная |
ветвь; |
2 — параллельная |
|||||
имная индукция. В такой ветви |
трехфазная |
ветвь; |
3 — пулевая |
||||
может быть |
и |
последователь |
шина; 4 — узловая точка. |
||||
но включенная |
емкость. |
Ти |
|
|
|
|
пичная трехфазная параллельная ветвь (рис. 7-3) содер
жит емкости |
и сопротивления |
(проводимости). Может |
|
быть также |
и параллельная |
индуктивность, |
например |
в случае параллельно включенного дросселя. |
|
7-1,а. Уравнения трехфазной ветви и симметричная сеть. Зависимости между напряжениями и токами ветви можно выразить с помощью операторного или комплек сного сопротивления (проводимости) следующим обра зом: '
u* = Zii*; ij= V m , |
(7-1) |
где
|
|
' |
U ia |
' |
|
|
i i a |
|
|
U i — |
и гЬ |
; |
U = |
|
H b |
(7-2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
H e _ |
|
|
|
- |
H ie |
_ |
|
|
|
|
% ia a |
Z fa b |
^ ia c |
|
|
|
Y ta a |
Y ia b |
Y ta c |
Z < = % ib a |
Z tb b |
Z ib c |
; |
Y < |
= |
Yiba |
Yibb |
Ytbc |
|
Z% tb |
Z f CC |
|
|
|
Y n a |
Yicb |
Yicc _ |
149
Сеть называется симметричной, если матрицы сопро тивлений Z/ или проводимостей Y,- являются цикличны ми, т. е. если
Z ia a = = : Z ib b |
: Z i cC — |
Z/G, Уiaa — Уibb |
Уi c с |
Уt а* |
(7-3) |
||
Ziab ~~ Ztbc |
: Z i t а = |
Z i b\ |
У i ab = |
У i bc r==z У tea |
=== У ib \ |
||
Ziac '—; Ziba |
- Z icb — |
: Z u \ |
У i ac — |
: У iba |
У^сЬ |
У€с‘ |
|
7-1,6. Элементы электрической системы. К пассивным элементам электрической системы относятся: воздушные
|
|
|
линии, |
кабели, |
трансформаторы, |
|||||
|
|
|
конденсаторы, |
дроссели. |
К |
актив |
||||
|
|
|
ным элементам |
относятся вращаю |
||||||
|
|
|
щиеся |
машины, |
т. е. генераторы и |
|||||
|
|
|
двигатели. Матрицы сопротивлений |
|||||||
|
|
|
или проводимостей |
пассивных эле |
||||||
|
|
|
ментов |
симметричны. |
Например, |
|||||
|
|
|
Zab=Zba‘ Для |
активных |
элементов |
|||||
|
|
|
эти матрицы |
удовлетворяют |
(в со |
|||||
Рис. 7-'2. Схема |
заме |
ответствии с |
направлением |
враще |
||||||
ния машины) |
условиям |
так |
назы |
|||||||
щения |
последователь |
|||||||||
ной трехфазной |
вет |
ваемой |
цикличной |
(круговой) сим |
||||||
|
ви. |
|
метрии, |
соответствующим |
равен |
|||||
L —• коэффициент |
само |
ствам (7-3). |
|
|
|
|
|
|||
индукции; М — коэффи |
элемента |
цикличной |
||||||||
циент |
взаимоиндукции; |
Замещение |
||||||||
R — сопротивление; |
а, Ь, |
матрицей, характеризуемой выраже |
||||||||
с — отдельные фазы |
нием (7-2) и (7-3), является прибли жениями. Так, например, матрица сопротивлений гори зонтальной воздушной линии симметрична и имеет сле дующий вид:
ZQZp Zq
Zp Zb Zp •
_Zq Zp Za_
Эта матрица не циклична; она оказывается цикличной только в том случае, если
Zag*Zb и Zp^Zg.
Линию (воздушную, кабельную) целесообразно пред ставить П-образной схемой замещения согласно § 6-1,в. В случае линии большой протяженности ее следует раз делить на участки, между которыми необходимо выде
150