книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений
..pdfЗная величину 1/тКОр, плот ность вероятности wCT{x) и предполагая, что существуют f " '( 0) и /'(0 ) (что имеет место не всегда) нетрудно найти ко эффициент диффузии К.
П р и м е р . Рассмотрим распреде ление (1.5.12)
|
а > с т ( * ) = с е х р |
(рх2—дхк), |
|
|
|
являющееся, |
как |
отмечено |
в |
|
|
разд. |
1.5.2, удобной аппроксимацией |
|
|||
истинного при |
описании мгновенных |
|
|||
значений сигналов и помех, у кото |
|
||||
рых |
амплитуды |
распределены по за |
|
||
кону Накагами, а фазы — равномерно. I [з (2.5.23) следует, что |
|||||
|
f (х) — К( рх — 2qxs), |
f'" (0) |
|||
|
у (0) - К р , — з |
= — 2K q. |
|||
Величина л0= М [х 4]/М'[.к2] в |
(2.7.5), в принципе, |
определяется несложно, но |
ее выражение получается довольно громоздким и содержит функции параболи
ческого цилиндра |
(см. также гл. 4). График |
ее |
в зависимости |
от величины |
|||
$ — р / 1^ 2q представлен на рис. |
2.6. |
|
|
|
|
||
В результате |
получаем 1/тКОр=К(р—2qn0), |
что |
определяет К. Таким обра |
||||
зом, СДУ синтезировано: |
|
|
|
|
|
||
dx |
(px — 2qxs) |
|
+ [т«гр (/> —2<щ0)] 1/2 МО- |
(2.7.6) |
|||
dt |
2ткор (Р — 2qn0) |
||||||
|
|
|
|
||||
В заключение сравним величину К, соответствующую (2.7.6), с тон, что мо |
|||||||
жет быть найдена |
на основе статистической линеаризации при р = 0, т. е. в гаус |
||||||
совском приближении. Из (2.7.6) |
и рис. 2.6 К |
0,9/т,,Ор ^2д, в |
то время как |
||||
в гауссовском приближении [90] |
К ^0,82/хКор V2~. |
Отличие составляет около |
10%, что указывает на допустимость гауссовского приближения при решении рассматриваемых задач.
2.7.4. Структурный синтез СДУ
Если при синтезе одномерного СДУ принять g(.v) = )^/(, то функция /(х ), как уже указывалось, может быть определена с точ ностью до постоянной К по заданной шст(л*). Тем самым опреде ляется структура СДУ и остается только найти значение К. Для этого можно использовать следующий прием [71]. Считая, что ве личина К известна, по найденному СДУ записывают УФПК, ко торое затем решается методами, описанными в § 2.1, и отыскива ется величина /(*(т), по предположению близка к экспоненте, причем показатель последней зависит от К Зная показатель экс поненты, определяем неизвестное значение /С
91
Поясним этот метод примером. Пусть W CT (X ) — распределение Накатами (1.5.6). Тогда в СДУ
f(x) = - j - ------2тх^, * G [0 , с»).
Составляя соответствующее УФПК, приходим к (2.2.3), решая которое, получаем Кх {х) вида (2.2.8). Пусть в заданной Кх {т) ко эффициент в показателе экспоненты (интервал корреляции) ра вен 1. Тогда из (2.2.8) К— 112т, что совпадает с результатом разд. 2.5.4.
Пусть |
теперь wCT(л:) = Се-Э 1х *. Тогда f (х ) == -- — sgn х. Изве- |
|
|
|
2 |
стно, что |
\оп = |
----- [90]. Отсюда, зная хко?> всегда можно найти К. |
|
кор |
рк |
Еще один пример касается логнормального распределения (1.5.10) , роль которого при моделировании каналов связи особен но велика (см. разд. 1.5.2). Соответствующее СДУ имеет вид
^ = - ^ ( 1п т + а 1 + г к~ т
где о2= о 2м, р.=\птм. Используя метод статистической линеари зации [45, 90], находим
K = 2 p V V ’ - l ) / w
Таким образом, описанный метод применим во всех случаях, когда есть возможность аналитического решения УФПК метода ми, описанными в § 2.1. Если известны приближенные или качест венные методы определения Кх (х) или тКор, например в виде (2.3.10) (см. также [90]), то подход этого раздела совпадает с из ложенным в разд. 2.7.3.
2.8. СИНТЕЗ ДВУМЕРНЫХ МАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ УЗКОПОЛОСНЫХ ПРОЦЕССОВ
Рассмотрим случайный процесс вида |
|
y ( t ) = A (t) cos [сооН-ф(0]» |
(2.8.1) |
где A(t) и <p(0— соответственно случайные |
амплитуда и фаза, |
изменяющиеся так, что эффективная ширина энергетического спек тра AQ процесса y(t) удовлетворяет условию AQ/CDO'C I, т. е. про
цесс является узкополосным. Будем считать |
его стационарным и |
в общем случае негауссовским. Для стационарности такого про |
|
цесса необходимо и достаточно [118], чтобы |
совместное распреде |
ление амплитуды и фазы имело вид |
|
w(A, ф )=ауА (А)-а>ф(<р), |
(2.8.2) |
где шф(<р)=1/2я при <ре[—я, я].
Выражением вида (2.8.1) описываются случайные колебания типа «замирающей несущей» (см. гл. 6), а также многие негаус совские (в том числе замирающие) сосредоточенные помехи.
92
Рассмотрим корреляционную функцию процесса (2.8.1) в пред положении, что соответствующий спектр G(w) симметричен отно сительно частоты ©о, а стационарное распределение амплитуды ШстИ) подчиняется закону Накагами (1.5.6). Тогда корреляцион ная функция /Сх(т )= а 2р(т) COSWOT, а ее огибающая р(т) связана с коэффициентом корреляции амплитуды сигнала # А(т) соотноше нием
Г2(т + 0,5) |
Р4(^) |
тТ*(т) — Г2(т + 0,5) |
32т(т + 1) |
которое следует из результата, приведенного в [178]. Для значе ний l/2s^ms^5, представляющих основной практический интерес, это равенство легко проверяется расчетом.
Отсюда следует, что при |
RA(х) = |
e~v 1т 1 |
|
Кх (х) = |
оге 2 |
cos ш0т. |
(2.8.3) |
Полагая, что узкополосный процесс (2.8.1) порождается устойчивой динамической системой, естественно принять в качестве его модели стационарное решение СДУ минимального порядка. По скольку СДУ первого порядка принципиально не могут порождать квазигармонические процессы, следует остановиться на СДУ вто рого порядка.
Как уже отмечалось, существует множество СДУ второго по рядка, порождающих процесс (2.8.1) и описывающих нелинейные колебательные контуры. Рассмотрим уравнение вида [34, 131]
- ^ - + 2 Д Of (у, ^ ^ . + ш \ у г = у к ц п . |
(2.8.4) |
где AQ удовлетворяет условию узкополосности, a /(=4<j2©2oAQ. Дисперсия этого процесса а2, центральная частота ©о и полоса
AQ определяются по спектру G(©). Остается найти функцию
f (у, . Следуя [36] для нее можно записать интегральное
уравнение
2п
•по d—-A2In wCT(Аг) 1= ( f (A cos Ф — A sin Ф) sin2 Ф^Ф, (2.8.51
I J
где Ф (/)=о)о^_Ь ф (0 —полная фаза; Wvr(A2) —одномерная плотность вероятности квадрата амплитуды. Она может быть определена по WCT(у) на основе известных интегральных соотношений [118]. Та ким образом, левая часть (2.8.5) известна, а функцию /(А соэФ —
—A sin Ф) требуется найти. Уравнение (2.8.5) не определяет ее однозначно, поэтому необходимы дополнительные предположения.
Пусть указанная функция не зависит от производной:
' ('• - 2 г Н « -
93
Тогда wCr(y) связана с ней соотношением [131] |
|
|
|||
wCT(y) — const exp j _ |
i ^ j f ( Z)d2+ 2A Q f(!/)J, |
|
|||
из которого получается дифференциальное уравнение |
|
|
|||
df{y) |
yf ( у ) = — ------ — In w „ (у). |
(2.8.6) |
|||
dy |
К |
2Д2 dy |
TV ' |
|
|
Из (2.8.6) по заданной Wa(y) легко найти f(y). |
(2.8.6) |
для |
|||
В качестве примера рассмотрим решение уравнения |
|||||
случая, когда доСт(А) |
имеет вид распределения Накагами (1.5.6). |
||||
Аппроксимация распределения |
мгновенных |
значений |
wc^(y) |
вы |
|
ражением (1.5.12), которая уже |
использовалась в разд. 2.7.3, по |
||||
зволяет получить решение уравнения (2.8.6) |
в виде |
|
|
||
1w; |
42(0*. 9 |
+ З Й 1 _ , _ £ _ . |
|
|
|
1 AQ(0% и Д2а>2, |
|
|
Следует, однако, учитывать, что вследствие упомянутой аппро ксимации распределения wM(y) распределение амплитуд тСт(А) процесса (2.8.1) будет совпадать с законом Накагами лишь при ближенно. Поэтому в тех случаях, когда требуется точное совпа дение распределений, необходимо рассмотреть СДУ более общего вида, чем (2.8.4):
|
^ г ) г х т |
(2.8.7) |
|
|
|
||
для которого путем обращения выражения wc?(A) |
(см. разд. 2.1.2) |
||
.можно записать интегральное уравнение [12] |
|
|
|
А |
( |
|
|
|
1 а ^ М ) ] х |
|
|
—A |
V |
} |
|
А |
А |
|
|
X Г/% (у. A )V W = J ‘ d y - ± - |
|
A)dy\. (2.8.8) |
Если fi(y, dy/dt)=f\(y), то от (2.8.8) легко перейти к интеггральному уравнению Абеля, решение которого имеет вид
'Пт ПА)
Л-уО А
f
где 1(A) —правая часть (2.8.8). Поскольку далее ищется решение в классе непрерывных функций, то на /(А )'сл едует наложить ус
ловие Пт I (А) = 0.
а-*о
Указанное решение справедливо для любых функций f2(y, dy/dt), однако с точки зрения реализации удобно выбирать функ ции простого вида. В табл. 2.2 приведены выражения 1(A) и 1т(А) для различных функций f2(y, dyfdt) при оговоренном выше усло вии, что стационарное распределение амплитуд шст(А) подчиняет ся закону Накагами.
34
f* (У.dyjdt)
У
dy dt
А=
~V»!+ (л )! “ г«
/ (Л)
пКА2Г а 1
16®«. [» — ^4-ЗЯ-1" <*>т М) J
- " 1 6 [l+3AdA1п®сгМ)]
й
— 4со20 1пшстМ)
dA1
Таб лиц а 2.2
ъКА2(4 тАг\
8®*0 \ 1-m + — J
8у—3,/I + 7?* А)
%КА2( п 2тА2\
4о)г0 ( 1_2m + fl2 )
Из таблицы видно, что функции f\{y) при /2 {у, dyfdt), равной у' и dyfdt, получаются практически одинаковыми. Однако с реализа ционной точки зрения наиболее простой является модель, соответствующая
т. е. СДУ вида
iffr + К (-1Г Уг+ |
= -%ГVK'5(0- (2.8.9) |
Таким образом, найдено единственное СДУ, порождающее про цесс (2.8.1 с распределением амплитуд по закону Накагами. Мож но показать, что это СДУ устойчиво.
Рассмотрим теперь синтез СДУ для негауссовской узкополос ной помехи с плотностью вероятности мгновенных значений вида (1.5.13), известной под названием распределения Холла [185] и используемой при описании негауссовских помех на выходе изби рательного тракта приемника. Соотношения Блан-Лапиерра позво ляют записать стационарное распределение амплитуды в виде
®ст И ) = |
) ------ |
2Ay>~ i, ’ |
(2.8.10) |
( f + A2) 2
где Л е [0 , оо). Это выражение будет использовано также в гл. 3„ Подставляя (1.5.13) в (2.8.6), получаем
М ' = - ~ Ь ехр [т~{уг+ f ) ] Е‘ [~ 1 Г { f + 'f } \■
где Ei(z) — интегральная показательная функция [128]. Тем самым СДУ вида (2.8.4) для процесса с распределением Холла синтези ровано.
95
2.9. ВЫВОДЫ
Сравним возможности и области применения рассмотренных методов анали за и синтеза марковских моделей случайных процессов в каналах связи в фор ме СДУ.
Метод анализа СДУ на основе диагоналиэации матрицы диффузии и после дующего разделения переменных позволяет проследить влияние вида СДУ на поведение моментных функций любого порядка. Однако реализация его для СДУ большой размерности затруднена из-за сложности решения краевой задачи.
Метод, основанный на сведении УФПК к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, удобен для проведения численных расчетов, так как сводит процесс решения УФПК к стандартной вычислительной процедуре.
Общие методы синтеза многомерных марковских моделей в форме СДУ требуют большого объема исходной информации и применения сложных вычис лительных процедур. Если, однако, ограничиться исходной информацией в виде плотности вероятности и корреляционной функции (как это чаще всего и бывает на практике), то можно синтезировать достаточно простые СДУ первого и вто рого порядка, порождающие случайные процессы с заданными характеристиками.
Выбор конкретного вида СДУ второго порядка диктуется удобствами реше ния задачи синтеза, а также перспективами дальнейшего использования его при построении имитаторов каналов и синтезе оптимальных алгоритмов обработки сигналов в моделируемом канале.
В приложении 1 приведена сводная таблица СДУ, определяющих случайные процессы с различными законами распределения, характерными для статистики реальных каналов связи (см. § 1.5). Эти СДУ получены на основе рассмотрен ных выше методов.
Г л а в а 3
МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В КАНАЛАХ СВЯЗИ
3.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ СТОХАСТИЧЕСКИМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
3.1.1. Разрывные марковские процессы и порождающие их СДУ
Как уже отмечалось в § 1.5, при передаче информации по мно гим видам реальных каналов связи существенную роль играют импульсные помехи. Случайные процессы импульсного типа воз никают и при преобразованиях полезных сигналов в некоторых звеньях каналов связи, например в фотодетекторах оптических си стем.
К типу импульсных, как известно, относят случайные процессы, которые можно рассматривать как последовательности «импуль сов» той или иной формы с длительностью, которая предполагает-
.96
ся малой в рамках решаемой конкрет |
|
|
|
ной задачи (например, если она намно |
|
|
|
го меньше длительности элемента сиг |
|
|
|
нала). Как отмечено в § 1.4, процессы |
|
|
|
подобного типа допускают представле |
|
|
|
ние в виде реакции некоторой, в общем |
|
|
|
случае нелинейной системы на после |
|
|
|
довательность дельта-импульсов (рис. |
Рис. 3.1. Структурная |
схема |
|
3.1) и описание СДУ вида |
моделирования |
разрывного |
|
|
марковского процесса |
|
|
i7 T = f(x ) + 4W . |
|
|
(3.1.1) |
где |
|
|
|
Ч(0 = 2 а ,8 (< -У |
|
(3.1.2) |
|
А |
|
|
|
— вектор пуассоновских последовательностей дельта-импульсов со случайными амплитудами, образующими вектор A/t и распределен ными по закону р(А ). Как и в случае непрерывной модели (2.1.1), предполагается, что векторная функция f(x) удовлетворяет усло виям Липшица.
Случайный процесс, порождаемый СДУ (3.1.1), относится к ти пу разрывных марковских процессов1 (см. § 1.4). Его вероятност ные характеристики могут быть найдены из уравнения Колмогоро
ва — Феллера (УКФ) |
вида |
(1.4.18). |
уравнений, |
К сожалению, теория |
интегродифференциальных |
||
к которым относится |
УКФ |
(1.4.18), развита гораздо |
слабее, чем |
теория параболических дифференциальных уравнений типа Фоккера— Планка— Колмогорова (1.4.14), и их аналитических решений, как правило, не существует [64, 65, 104, 118]. Исключение состав ляют случайные процессы, порождаемые линейными СДУ первого и второго порядков: для них найдены аналитические выражения характеристической функции [142, 157].
В настоящее время известно ограниченное количество работ (по крайней мере, прикладного характера), посвященных исследова нию марковских моделей разрывных случайных процессов, задан ных в форме СДУ (3.1.1). Так, в [142] изложены результаты ана лиза системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) первого порядка, находящейся под воздействием импульсных помех. В [180] приведены аналогичные результаты для системы ФАПЧ второго порядка. Задача синтеза СДУ (3.1.1) по известной исход ной информации о вероятностных характеристиках порождаемого
им процесса (см. гл. 1 |
и 2) в литературе не ставилась. |
|
||
1 Строго |
говоря, чисто |
разрывным |
является только процесс ц (/), |
а реализа |
ции процесса |
х(/) имеют |
скачки (разрывы) в отдельных точках, т. |
е. процесс |
|
x(t) является дискретно-непрерывным |
[142]. Однако для краткости |
будем на |
||
зывать его также разрывным. |
|
|
||
7—3490 |
|
|
|
97 |
Ниже рассматриваются вопросы анализа и синтеза марковских моделей разрывных случайных процессов в виде СДУ (3.1.1) с произвольной размерностью п. Более детально исследованы од номерные и двумерные модели, представляющие наибольший прак тический интерес.
3.1.2. Методы анализа и синтеза марковских моделей разрывных процессов
Под решением задачи анализа СДУ (3.1.1) в соответствии с общим подхо дом, сформулированным в § 1.6, будем понимать определение плотности вероят ности ш(х, t) или я(х, /|хо, to) порождаемого им процесса x(i) путем решения уравнения Колмогорова — Феллера (1.4.18) при заданных начальных и граничных условиях.
Решение УКФ позволяет вычислить известными методами [142] моментные функции и спектральные характеристики векторного процесса x(t) или любой его компоненты.
Рассмотрим вначале некоторые возможные подходы к этой задаче, рекомен дованные в [104, 142]. Известно, что уравнения типа (1.4.18) можно решать несколькими способами: методом интегральных преобразований по Фурье или Лапласу, методом разложения по полной системе функций и др. Указанные два метода по существу сводятся к восстановлению распределения вероятностей по некоторому числу его моментов, т. е. к решению так называемой проблемы мо ментов [106]. Однако в случае нелинейных СДУ при ограниченном числе членов в представлении характеристической функции в виде ряда понятие плотности вероятности оказывается лишенным практического смысла [90]. При бесконеч ном числе членов получить выражение для суммы ряда удается только в случае линейного СДУ. Сказанное позволяет отказаться здесь от рассмотрения перечис ленных методов.
Рассмотрим возможность использования для решения УКФ процедуры, изло женной в § 2.1. Пусть начальные условия
и>(х, to) = 6 (х —х0). |
(3.1.3) |
Вводя в рассмотрение характеристическую функцию 0 (v, /), связанную пре образованием Фурье с переходной плотностью вероятности я(х, /|х0, t0), полу чаем из (1.4.18)
П
k=I
где F — символ преобразования Фурье; P(v) — характеристическая функция рас пределения р(А). Широкий класс нелинейных функций fh(x) в СДУ (3.1.1) до пускает представление [45, 79]
tk (х) 2 |
f*?** И- 2 ^0*а~ь ck‘ |
|
ч |
Поскольку
98
имеем
<эе
dt |
q |
J |
k=l V9, / |
||
Нетрудно заметить, |
что полученное уравнение аналогично (2.1.22) и, следо |
|
вательно, может быть в |
принципе решено методом, данным в § 2.1. Однако при |
этом необходимо учитывать правило приближения распределений по оценкам их характеристических функций [106].
Рассмотрим возможность синтеза моделей вида (3.1.1). Под решением за дачи синтеза марковских моделей разрывных случайных процессов в форме СДУ вида (3.1.1) будем понимать алгоритм определения с заданной точностью раз мерности, п, функции f(x) в указанном СДУ, распределения р(А) в УКФ (1.4.18) и параметра порождающего процесса v по известной исходной информа ции о вероятностных характеристиках моделируемого процесса.
Рассмотрим интегральный член в (1.4.18)
/ = wCT(х — А) р (A) dA
кп
и положим dw(x, t) ldt=0, так как исследуется стационарный режим. Используя разложение шст(х—А) при шСт(0)=т^0 в ряд Тейлора, получаем представление
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1.4) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ( x ) = J |
(х — А )9 р (A) dA. |
|
|||
|
|
|
|
|
Rп |
|
|
|
|
Подставляя |
(3.1.4) в |
(1.4.18), приходим к уравнению |
|
||||||
|
|
|
|
V '[ f ( x ) o > c T ( x ) ] = v / ( x ) , |
(3.1.5) |
||||
где |
|
|
|
|
»<;> (0) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
/(X) - [? |
7! |
■Fq (х ) — а>ст(х) |
|
||||
|
|
П |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V ' |
[f (х ) а’ст (х)] = |
— |
J=I |
-faT If* (х) ^ст (х )]. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
(0) = |
0, |
то |
вместо |
(3.1.4) |
можно использовать представление |
|||
|
|
|
J = Y |
( ~| — |
|
( х) М[ А1] , |
|
||
|
|
|
|
<1 |
|
|
|
|
|
после чего аналогично предыдущему случаю записывается /(х ). |
|
||||||||
Полагая р (А )= б (А —А0), |
из (1.4.18) получаем |
|
|||||||
|
|
|
— V'[f (х)доСТ Ml = VIOC T (X — А0)—VO>C T (X ) . |
(3.1.6) |
|||||
Решениями |
уравнений (3.1.5) и |
(3.1.6) |
являются функции f (х) и |
1до (х) |
|||||
соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
7* |
99 |
Возникает вопрос: откуда брать исходную информацию, т. е. р(А ), шСх(х)
и v? Примем следующие допущения: |
|
|
|
|
|||
1) величину п и плотность вероятности |
а > с т ( х ) |
можно |
определять аналогич |
||||
но § 2.5 по известной |
(у) |
из (2.5.3); |
|
|
|
|
|
2) интенсивность потока импульсов VA |
совпадает с |
частотой v* |
скачков |
||||
процесса х(/), т. е. последние не перекрываются во времени. |
|
||||||
Тогда, учитывая [118, 157], получаем |
|
|
|
|
|||
|
|
|
VxM [A4]=Xqx^a, |
|
|
(3.1.7) |
|
где a ^ l /ткор; |
М [А9] — начальный момент |
q-го |
порядка; |
xqx— q-й |
кумулянт |
||
распределения ш Ст ( х ) . |
Таким образом, Fq(x) известна. |
|
|
||||
Здесь принято допущение об идентифицируемости р(А) по своим моментам |
|||||||
М[А«]. При |
практическом |
определении |
р(А) |
целесообразно переходить от |
М[А«] к ща и затем пользоваться методами построения р(А) по известному набору кумулянтов.
Обоснованность принятых допущений может быть проверена эксперимен тально только для каждого конкретного случая, поэтому использование соотно шений (3.1.4) — (3.1.7) в общем случае затруднительно. Однако они с успехом могут быть использованы при синтезе моделей в классе одномерных и двумерных СДУ, который и рассматривается ниже. Эти модели хорошо описывают многие виды индустриальных и атмосферных импульсных помех в радиоканалах.
3.2. ОДНОМЕРНЫЕ МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ РАЗРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В КАНАЛАХ СВЯЗИ
В этом разделе рассматривается решение уравнения (1.4.18) при п= 1 методом вырожденных ядер и путем разложения решения по степеням параметра v. Стационарная плотность вероятности мо жет быть найдена также на основе сведения УКФ к интегральным уравнениям или кумулянтным методом.
Сущность последнего метода состоит в представлении УКФ (1.4.18) в виде [90]
00
где К\{х) = —f(x)-\-vМ [Л]; Ki(x)=vM . [Л1], 1=2, 3, ..., после чего кумулянты {xs} стационарного распределения определяются из си стемы уравнений
2 C ' s (x i! -'l. К,(х)) = 0, 5 = 1 , 2 9•••
Кумулянты представляют и самостоятельный интерес при по строении моделей каналов связи. С их помощью, например, можно получить приближенное выражение wm (x\ щ, ...» %N ) для плотно сти вероятности wcx(x). Обычно используется эксцессное прибли-
100