книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений
..pdfсистем [20, 21]. Так при обнаружении детерминированного сигна ла s(/) на фоне помех информация по Фишеру
N
} N(s. « ) = У ] |
-ЩЩ In % (у) s (<i) S (</) |
i. У=1 |
1 |
определяет пороговое отношение сигнал-помеха. За меру прибли жения процесса с распределением w N ( у) моделью, которая харак
теризуется распределением |
w N ( y ) |
и информацией J N {S , я ) , в |
этом случае целесообразно принимать величину |
||
M ” ) = |
1Q1 |
П) > |
|
|
JN (s, п) |
которая выражает в децибелах соответствующую погрешность оп ределения порогового сигнала [21].
Задача синтеза марковской модели может быть поставлена так же, как задача приближения моментных функций. Критерии приближения в принципе могут быть разными, но наиболее удоб
ным, как и при синтезе цепей |
[82], оказывается равномерное |
(че- |
|||
бышевское) приближение, при котором отклонение |
задается |
ра |
|||
венством |
|
|
|
|
|
?q(f> £) = SU P K (тг |
*4- x) - m |
q{iv |
х |
f, g)\, (2.4.2) |
|
т |
|
|
|
|
|
и в качестве оптимальных выбираются |
те функции /,(х) и gu(x) |
||||
в СДУ (2.1.1), которые доставляют минимум |
суммы отклонений |
||||
по всем q с некоторыми весовыми коэффициентами |
aq, т. е. |
|
|||
Q |
|
|
(2.4.3) |
||
min 2 |
a p,(f, g). |
|
f-Я “ Го
Аналогично можно потребовать приближения кумулянтных или квазимоментных функций.
Даже в тех случаях, когда известна iV-мерная плотность ве
роятности |
моделируемого процесса, построение |
алгоритма |
синте |
за модели |
непосредственно по критерию (2.4.1) |
встречает |
труд |
ности. Критерий (2.4.3) является в этом отношении более конст руктивным, поэтому его целесообразно использовать и тогда, ког да процесс задан Af-мерным распределением, а не моментными функциями. Последние, как известно, однозначно определяются распределением вероятностей.
На практике часто заданы только одномерная плотность ве роятности и корреляционная функция процесса. Тогда при синтезе целесообразно потребовать совпадения одномерных плотностей:
w ( y ) = w ( y ) |
(2.4.4) |
и наилучшего приближения вторых моментов согласно (2.4.2),
(2.4.3) или эквивалентного им критерия |
|
min sup |G (m) — G (<o)|. |
(2.4.5) |
f, £. П “> |
|
71
2.4.3. Методы синтеза
Итак, для решения задачи синтеза марковской модели необ
ходимо найти |
такое значение п и такие функции ft(x)t ga(x) |
(i, j — 1, 2, ..., |
я), которые обеспечивают наилучшее приближение |
в смысле (2.4.2), (2.4.3) или (2.4.4), (2.4.5). Поставленная задача относится к типу нелинейных вариационных задач, и получение ее точного общего решения встречает большие трудности. Однако используя приближенное представление искомых функций в неко тором базисе, можно свести ее к значительно более простой за даче минимизации по числовым параметрам — коэффициентам такого представления. Моментные функции также удобно пред ставлять в виде ряда. Тогда при минимизации вначале определя ются оптимальные коэффициенты в разложении моментных функ ций, а затем уже по ним — коэффициенты искомых функций / {(х),
£//(*)•
Внастоящее время имеется богатый арсенал приемов построе ния чебышевского приближения для функций, зависящих от па
раметров |
[69]. Известны и методы, специально приспособленные |
к задачам синтеза цепей [38, 82]. Применительно к синтезу мар |
|
ковских |
моделей такой подход рассматривался в [73]. |
Ниже описываются два приближенных метода решения указан ной задачи для случаев, когда задана многомерная плотность ве роятности о>л'( у) :
а) метод, основанный на многократном применении процеду ры линейного программирования;
б) метод восстановления оператора по собственным числам. Отдельно рассматриваются более простые частные случаи син теза одномерных и двумерных моделей в виде СДУ (2.1.1) по
одномерным распределениям и корреляционным функциям. Важное значение имеет вопрос об однозначности решения за
дачи синтеза. Если заданы статистические характеристики моде лируемого процесса в форме функций распределения и моментных функций, то можно указать несколько СДУ различных типов, по рождающих процессы с такими характеристиками. В случае не линейных моделей это является неизбежным следствием ограни ченности исходных сведений о процессе. Так, реально всегда мож но задать лишь конечное число N функций распределения процес са, а функции размерности выше N остаются произвольными. Из этого не следует, однако, что при конечном N задача синтеза СДУ по указанным характеристикам процесса всегда неоднознач на. Если заранее ограничить тип СДУ, то при таком ограничении, как будет показано ниже, задача синтеза имеет единственное ре шение (см. § 2.5—2.8).
Какие же соображения следует принимать во внимание на практике при выборе типа СДУ для моделирования процесса в канале?
Отметим прежде всего, что с аналогичной ситуацией инженер встречается достаточно часто и при решении других технических
72
задач, ибо он, как правило, располагает целым «спектром» конкурирующих вариантов устройств или систем, предназначенных для выполнения одних и тех же функций, но различающихся по сложности, стоимости, технологичности и т. п. В этом случае специалист выбирает из набора конкурирующих единственное тех ническое решение, руководствуясь соображениями, зачастую не посредственно формально не заложенными в процедуру построе ния соответствующего устройства или системы.
Такое же положение имеет место в задачах синтеза СДУ. Воз можным выходом из этой ситуации может служить системный подход к синтезу СДУ, основанный на использовании некоторого обобщенного критерия, учитывающего соображения сложности, экономичности, надежности, затрат и т. п.
На практике число эквивалентных СДУ оказывается неболь шим (не более трех, четырех) и всегда можно выбрать из них единственное. Примеры указанного выбора будут изложены в §2.8.
2.5. СИНТЕЗ СДУ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
2.5.1. Основные этапы синтеза. Определение размерности марковской модели-
Примем, как и прежде, что для реального наблюдаемого про
цесса y{t) задана его Af-мерная плотность вероятности |
в N вы |
бранных сечениях: |
j |
(у) = »/..< ......Ун) |
|
N |
|
и при моделировании ему приписываются свойства первой компо
ненты X\ { t ) |
векторного марковского процесса х (/), т. е. уравнение |
наблюдения |
имеет простейший вид y(t)=X i (/). |
В данном разделе ограничимся синтезом СДУ в классе моде
лей с диагональной матрицей диффузии |
|
B = D , bij—dabij. |
(2.5.1) |
При этом в СДУ (2.1.1) не требуется преобразование коорди нат, и во всех формулах § 2.1 можно положить
U= I, ^ ( и ^ Н ( х ) , х '( 0 = х ( 0 .
Кроме особо оговоренных случаев, будем считать также, что условие потенциальности не имеет места.
Предлагается следующий метод синтеза. На первом этапе опре деляется размерность п многомерного марковского процесса, на блюдаемая компонента которого представляет моделируемый про цесс. На втором этапе с учетом найденного значения п определя ются коэффициенты синтезируемого СДУ /, (х), ga (t= l, 2, ..., /i).
Первый этап синтеза — оценку размерности п марковского про цесса— целесообразно осуществлять по критерию информацион-
73
•ной меры Кульбака |
(2.4.1) [20, 21, |
73], выбирая такое значе- |
|
дие я, при котором для меры IN (K) |
обеспечено неравенство |
^ |
|
|
IN(n)^?ir(n), |
(2.5.2) |
|
где h (я) — некоторое |
предельно допустимое значение IN (л) - |
|
|
Выбор конкретной |
величины /л-(я) |
определяется дальнейшим |
использованием синтезированных моделей. Если их предполага ется применять для моделирования непрерывных каналов при ис
пытаниях |
систем |
связи, |
а |
также для |
синтеза оптимальных при- |
||
емных устройств, |
то |
из |
[151] следует, |
что |
о |
||
/лг(я)^(1-*-2) •10~2. |
|||||||
В этом |
случае в |
(2.4.1) |
подставляются |
заданная для модели |
руемого процесса совместная плотность вероятности wN{y) и ана логичная плотность WN{у), определяемая при условии, что про
цессу y(i) приписывается |
свойство первой компоненты я-мерного |
марковского процесса х(^) |
и выборка уи • . уя образует я-звен- |
ную цепь Маркова [126]. |
При этом следует учитывать, что в за |
висимости от интервала выбора At или коэффициента корреля ции г соседних выборочных значений величина я, определяемая в соответствии с (2.5.2), будет различной, так как при заданной «памяти» реального процесса сгущением и разрежением выборки можно получать зависимые и практически независимые случайные величины, т. е. процедура выбора я приближенна.
Плотность вероятности $jv(y) для я-звенной цепи Маркова
®л;(У) = w n(y,. |
|
...... У/-п)- |
(2-5.3) |
Переходные плотности |
|
l=i |
быть най |
вероятности в (2.5.3) могут |
|||
дены по формуле |
|
|
|
, . |
ч |
wi(y ....... yj) |
(2.5.4) |
|
|
|
в которой многомерные плотности вероятности в свою очередь, рассчитывают по заданной JV-мерной плотности
wk {yx...... У*) = f % (У г |
Уы)*Ук+г-<1Уы- |
(2-5-5) |
R*-* |
|
|
Из (2.5.4) и (2.5.5) видно, что марковская аппроксимация не изменяет соответствующих переходных плотностей вероятности и частные распределения, которые определяются непосредственно из W N (у), а погрешность аппроксимации возникает из-за искаже ния статистических (в первую очередь корреляционных)' связей случайного процесса. Это справедливо как для гауссовских, так и для негауссовских случайных процессов.
Увеличением величины я можно добиться сколь угодно точного описания статистических свойств реального процесса, однако тог да теряется привлекательность моделей процессов в виде СДУ, так как при этом увеличивается сложность их исследования и практического использования.
74
Таким образом, величина п не должна быть слишком большой, чтобы чрезмерно не усложнять модель, и в то же время не долж на быть слишком малой, чтобы существенно не искажать ста тистические связи между случайными величинами в последова тельности уи У2, • . Уы- Расчетным путем установлено, что коэф фициент корреляции г между выборочными значениями процесса следует выбирать равным приблизительно 0,8 или более. При этом по (2.5.3) с учетом (2.5.4) и (2.5.5) определяется шЛ-(у) для
разных |
п = 1, 2, ..., |
подставляется |
в (2.4.1) |
и |
в соответствии с |
(2.5.2) |
определяется |
минимальное |
значение |
п, |
при котором по |
следнее соотношение выполняется. Эта задача не вызывает прин
ципиальных |
трудностей и решается |
|
путем |
простого |
перебора. |
|||
Однако следует учитывать, что |
при п ^ 2 |
конкретные расчеты ста |
||||||
новятся |
весьма громоздкими, |
так |
как |
при |
этом определение |
|||
it(yi\yi-u |
• |
. Уз-п) в соответствии |
с |
(2.5.4) |
и (2.5.5) |
даже в |
||
гауссовском |
случае требует решения |
систем |
из N— 1 |
линейных, |
алгебраических уравнений. Отметим также, что выбором п из не равенства (2.5.2) при 0,8 обеспечивается приближенное восста новление реализации непрерывного процесса по его выборочным
значениям, так как «выбрав точки разбиения tA, t2, ..., |
доста |
точно близко друг от друга, с точностью, достаточной для |
любых |
практических задач, |
можно заменить случайную функцию y{t) |
||
последовательностью |
значений y(ti), y{t2) t........# (/* )" |
[131]. |
i |
Проиллюстрируем |
описанную методику примером, |
привлека |
тельность которого определяется и тем, что величина п в нем мо жет быть определена также на основе теоремы Дуба [120]. Рас смотрим случай, когда до^(у) представляет собой Л^-мерное нор мальное распределение с нулевым средним, единичной дисперсией и корреляционной функцией вида Л ?(т)=ехр(— Ют2).
Такой процесс, как известно [131], является сингулярным, и его марковская аппроксимация принципиально возможна только приближенно. Информационные меры Кульбака, полученные на основе (2.5.3), имеют вид [20]
где D и D\ — определители корреляционных матриц реального процесса [/?*,•] — [R {U—•/,-)] и модели [£,;], причем Я ц = $ ц при '|/—Ц ^п . А информационная мера
(п ) = \ wN(y) log
имеет вид
где bu = |
R ~ l. |
Ч |
jl |
75
На рис. 2.3 представлены зависимости IN (п) и IN (п) |
от г |
при |
|||
л = 2 и 4. Из |
них видно, что для случая /?(х) = |
е_10т* |
при |
г== |
|
= /? (А 0 ^ 0 Д |
Аг(/г) = 10-2 /г= 4, а |
при г= 0 ,5 |
п = 2 |
[20]. |
На |
рис. 2.4 показаны соответствующие зависимости |
G (co) |
при тг=2 |
|||
и 4, из которых следует, что при /г= 4 |
марковская аппроксимация |
не приводит к заметным искажениям энергетического спектра в диапазоне частот 0<со<3, 5AQ, где AQ — эффективная ширина спектра.
Ып)-ПГ1 Тщ(п)-Ю'г
Рис. 2.3. Зависимость /лг(л) от величины коэффициента кор реляции
Как следует из второй теоремы Дуба [142], размерность п марковской модели, обеспечивающей представление энергетическо го спектра моделируемого процесса с указанной точностью, рав на 4, т. е. результаты, полученные разными способами, идентич ны. Такой точности достаточно для описания большинства про цессов в каналах связи. При более низких требованиях к точности можно ограничиться значением п = 2.
В случае негауссовских процессов, если корреляционные функции реального процесса и модели совпадают, при малом зна чении 1ы{п) можно полагать близкими и высшие моментные функ ции.
Аналогично выполняются расчеты с использованием иных кри териев приближения. На рис. 2.5 приведены результаты расчета
рассмотренной |
в разд. 2.4.2 меры расхождения 6w(/i)= 1 0 1 g X |
||
X [ h ( n ) / I N(n)\ |
в зависимости от r = R ( A t ) при я = 1 и 2 для кор |
||
реляционных функций различного вида [21]: |
|||
(1 + |
а|х|ехр(— а|х|), (кривая /), |
||
(1 + |
+ |
ехр(—а|т|), (кривая 2), |
|
(ехр[— (ах)2] |
(кривые 3 и 4). |
76
Рис. 2.5. Зависимость |
энергетиче |
|
ского проигрыша б от коэффи |
||
циента корреляции г при различ |
||
ных аппроксимациях корреляцион |
||
ной функции |
|
|
Из рисунка видно, напри |
||
мер, что в случае корреляци |
||
онной функции первого типа, |
||
задаваясь значением Ья (/г) = |
||
=0,5 дБ |
(обычно |
приемле |
мым на практике) для пред |
||
ставления |
процесса доста |
|
точно одномерной |
модели при г= 0 ,5 и двумерной — практически |
при любых г. Для процессов с корреляционными функциями вто
рого |
типа при г=0,75 и третьего при г= 0 ,5 |
достаточно двумер |
ных |
моделей ( п = 2). |
по расстоянию Бхат- |
Близкие результаты дает и приближение |
тачария. Таким образом, значения размерности марковской моде ли п, определенные различными способами, оказываются близкими.
Подчеркнем, что в тех случаях, когда ш^(у) близка к ЛГ-мер- ному нормальному распределению, что соответствует СДУ с ма лой нелинейностью, или же образована с помощью квазигауссовского приближения, т. е. условные плотности вероятности, начи ная с некоторой, являются гауссовскими, в описанной процедуре нет надобности. В этих случаях размерность марковского процес са определяется из решения задачи дробно-рациональной аппро ксимации энергетического спектра и равна порядку полинома N X Х ( ю 2, Я, h) (см. разд. 2.5.2), что непосредственно следует из вто рой теоремы Дуба [120]. В общем случае такой путь тоже воз можен, но приводит к определению размерности лишь в гауссов ском приближении.
В некоторых задачах, например при идентификации моделей непрерывных каналов связи в форме СДУ (см. гл. 5), желательно иметь возможность оценить значение п (хотя бы ориентировочно) при минимуме априорных допущений о ха рактеристиках процесса. Иногда это можно сделать, полагая наблюдаемую ком поненту п-мерного марковского процесса т раз дифференцируемой в среднеквад
ратическом. В этом случае величина |
Y = |
(x)U=o |
должна быть |
конечной, |
тогда п = т + 1. |
т покажем на |
|
|
|
Выбор минимальной величины |
примерах. Пусть i?(t)= |
|||
=ехр (—ат2). Легко показать, что |
(уэ/уг^Ю а и |
|у*/у<-1|>Ю а |
при i>3. |
Таким образом, начиная с т—3 у возрастает на порядок и более. Приняв это значение т за минимально допустимое, получим п= 4.
Пусть теперь R (т) = (1 |
а |т|) е —а М; |
тогда т = 1, а /1= 2. Если R (х) = |
= ^ 1 а |т| -J- ^ ^ j e~a l-1!, |
то m = 2, а |
n = 3. |
К сожалению, этот способ применим не всегда, так как компонента марков ского процесса не обязательно является дифференцируемой случайной функцией. В таких случаях необходимо использовать описанную ранее процедуру выбора л.
77
Итак, будем считать, что на первом этапе синтеза размерность ОДУ п найдена. На втором этапе определяются коэффициенты СДУ /Дх) и gu(x), обеспечивающие наилучшее приближение моментных функций второго порядка согласно (2.4.2) и (2.4.3) или равноценное приближение спектров согласно (2.4.5). Для этого в указанные соотношения подставляются выражения Кх(х) или соответственно G(<o) в виде рядов (2.1.14) или (2.1.21), и полу ченные отклонения
Р*(Л, A) = sup ш |
- 2 v |
*,w |
(2.5.6) |
или |
;=i |
|
|
|
|
|
Р0 (Л, ‘Я)= sup G H |
(2.5.7) |
СО |
|
(с учетом U = I) минимизируются по Л=»[Ад]» Я =[Я д]. Найденные |
значения Яд,*, Кд, доставляющие указанный ' минимум, подставля ются в выражения (2.1.17) для моментов высших порядков. В ре зультате получается система нелинейных алгебраических уравне ний относительно ag, agi (верхний индекс i, поскольку здесь рас сматривается первая компонента, всюда равен 1 и опущен).
После отыскания этих величин восстанавливают х?(х)> опре деляют аДх), da, а тем самым и /Д х), g « (x ).
Рассмотрим намеченную процедуру приближения подробнее.
2.5.2. Переход к процедуре линейного программирования
При решении перечисленных выше задач одним из наиболее простых на практике оказывается подход, основанный на сведении их к задаче линейного программирования, для которой известны эффективные численные методы реше ния. Суть такого подхода в следующем. Как показано в [82], задача равномер ного приближения, т. е. в данном случае поиска
min |
sup [ G (со) — G (со, X, Л)|, |
(2,5,8) |
X, Л |
® |
|
эквивалентна задаче нелинейного программирования: при ограничениях типа не равенства
| G (o))-6(*), X, Л) |^б |
(2.5.9) |
найти значения параметров Я,. Я, доставляющие |
|
min д. |
(2.5.10) |
х, /» |
|
Эту задачу, в свою очередь, удается свести к задаче линейного программи рования, заменяя неравенство (2.5.9) парой эквивалентных ему неравенств без модуля:
G M - G K X, Л ) - 3 < О ,
( |
|
(2.5.11) |
|
+ |
(о), X, Л ) + 3 < 0 . |
||
|
78
Согласно (2.1.22) и (2.5.7) синтезируемой марковской модели соответствует спектр
^ |
|
|
4lqh2q |
|
|
|
||
0 (» . h h) = 2J |
+Х»~ |
' |
|
<2*5Л2) |
||||
|
|
9.-1 |
|
|
|
|
|
|
В этом и других подобных случаях спектр может быть представлен в форме |
||||||||
G (<о, |
М К , |
X, |
Л) |
’ |
|
(2.5.13) |
||
X, Л) = |
(to*, к, |
Л) |
|
|||||
где М{со2, X, Л), ЛГ(ш2, X, |
Л) — полиномы |
от |
со2с |
коэффициентами, зависящими |
||||
от X и Л. Тогда (2.5.11) приобретают вид |
|
|
|
|
|
|
||
G (о>) У (о>2, |
X, |
А) — М (/о2, |
X, |
А) — SW (о>2, |
X, |
А) < 0 , |
||
{ — G(a>)N (ш2, |
X, |
Л )+ М (со 2, X, |
A )-f aW(®2, |
X, |
(2.5.14) |
|||
А )< 0 |
и путем соответствующей замены переменных могут быть преобразованы в ли нейные неравенства.
Эти неравенства должны выполняться для всех значений to, но на практике,
разумеется, |
они записываются для ряда дискретных значений частоты, взятых |
с достаточно |
малым интервалом. Тогда условие (2.5.10), представляющее собой |
требование минимума простейшей линейной формы из одного члена, в сочетании с ограничениями (2.5.14) можно рассматривать как задачу линейного програм
мирования [82]. Решая ее известными методами, определяют величины Х5и Я, (<7=1, 2, Afo). Их число М0 зависит от числа неравенств, т. е. шага дискре тизации, который, в свою очередь, определяется точностью аппроксимации. Най
денные величины подставляются в выражения высших моментов, и из получен |
|||||
ных уравнений определяют a q и a qi |
(q, 1=1, 2, .... Mo). |
|
|||
Затем |
находят собственные функции |
%д(х) |
и, наконец, конечный результат |
||
синтеза СДУ — коэффициенты da и f,(x) |
(i= l, |
2, ..., п). |
|
||
При определении функций x<j(x) удобно представить |
их в некотором базисе |
||||
(<pv (х) } . |
ограничиваясь конечным числом |
Q членов ряда |
|
||
|
Q |
|
_______ |
|
|
|
Ъ] (х) = 2 |
VPv |
(Jt) VwCT (х ), |
(2.5.15) |
|
|
V = 1 |
|
|
|
|
и искать затем коэффициенты aqv. |
Подставляя |
(2.5.15) в |
(2.5.8), (2.1.9), (2.1.15) |
||
и (2.1.18), |
получаем систему уравнений: |
|
|
|
Q |
a%vYv = 1. |
2 |
|
V — 1 |
|
Q |
aqt Kl — hqn |
2 |
|
Lv=i |
|
где
Q
OCX |
II |
О |
> |
(2.5.16) |
|
V = 1 |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
2 V Cvl ^ |
a9i> |
|
v = l |
|
|
- I |
<P2, (x) rfx; |
pv = f |
<P, (x) УЩт(x) |
|
|
i |
|
|
|
R" |
|
Rn |
|
|
*iVv (зО^ст |
(X) dx\ |
cw, = 5 |
(x) d*' |
|
J* |
|
|
R« |
79 |
Для решения полученных уравнений относительно {(aqу} можно использо вать разные методы, в том числе и процедуры линейного или нелинейного про граммирования. Для этого в соответствии с (2.5.16) составляются неравенства
|
2 |
|
Q |
|
|
|
|
V— 1 |
|
|
|
|
V— 1 |
|
|
|
|
Q |
< 8, |
Q |
|
|
|
S |
aq*b> \ - hq |
2 |
|
(2.5.17) |
|
V— |
1 |
|
V = 1 |
|
|
играющие роль ограничений, и ищутся |
(v = l, 2, |
..., Q), |
доставляющие |
||
min б. Когда они |
найдены, тем |
самым |
в соответствии с |
(2.5.15) |
определены и |
функции xq(х).
Теперь обратимся к уравнению (2.1.7), связывающему указанные функции и собственные числа %q с коэффициентами СДУ. В противоположность рассмот ренной ранее задаче анализа в данном случае Хв(х) известны, а /ч(х) и du требуется найти. Продифференцировав произведение в (2.1.7), перепишем это уравнение в виде
S |
|
(х) |
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
(2.5.18) |
|
»=1 |
<х>~Ш Г + |
fl 1х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
д% (х) |
|
|
|
Ф iq (х% |
d ) — |
2 d u |
d x 2i |
( x )* |
( 2 . 5 . 1 9 ) |
Будем искать функции fi(x), как и ранее %g(x), в виде представления в ба зисе {?„ (х)}:
А
f i ( x) = 2 |
(*)• |
(2.5.20) |
а=1
Подставив (2.5.20) в (2.5.18) и умножив скалярно полученное уравнение поочередно на функции (х) (v = l, 2, ..., Q), нетрудно свести его к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов
Р,а и da:
А п п
Е |
2 |
Гй в (. + |
Е |
n % i - с * » . |
(2.5.21) |
а=1 /=1 |
|
/= 1 |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
[%q (X)- |
( x ) |
i « |
ш d b ( I ) |
|
|
dXi |
|
||||
1 |
d x . |
|
|||
R" |
|
|
|
|
|
b f = |
- |
& tq (x ) |
|
||
|
fat. |
¥* ( x ) d x , |
|
||
|
- |
+ j |
|
||
|
|
|
|
cv<?= — J xq (х) yv (х) dx.
Rn
80