книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

любой структуры, в том числе и вида (1.3.12) с какими-либо про­ стыми граничными условиями. Разнообразие возможных типов уравнений по сравнению с обыкновенными дифференциальными уравнениями здесь очень велико. Нельзя, однако, забывать, что выбор феноменологической модели сложного вида крайне неже­ лателен, так как затрудняет получение каких-либо полезных ре­ зультатов в обозримой форме. На практике чаще всего можно ограничиться уравнениями первого и второго порядков.

Уравнения первого порядка целесообразно выделять в особый класс в основном потому, что они решаются и изучаются во мно­ гом аналогично обыкновенным дифференциальным уравнениям, в то время как уравнения в частных производных высших поряд­ ков требуют существенно иного аппарата [52].

Уравнения второго порядка для скалярных		переменных под­
робно изучены и подразделяются	(в зависимости от знакоопре­
деленности квадратичной ф.ормы,	построенной	с использованием
их коэффициентов) на эллиптические, параболические,			гипербо­
лические, ультрагиперболические	и смешанные	[139].	Для каж­

дого из этих типов в настоящее время имеется хорошо развитая теория, разработаны методы построения решений, которые обыч­ но допускают обобщение и на случай векторных сигналов.

Некоторые типы уравнений в частных производных, используе­ мых в качестве феноменологических моделей стохастических ка­ налов, приведены в разд. 1.4.3.

Большой интерес представляет вопрос о возможности обобще­ ния на ПВ каналы метода переменных состояния, многочислен­ ные преимущества которого уже были отмечены. К сожалению, по причинам фундаментального характера обобщить в полной мере понятие состояния на пространственно-распределенные ди­ намические системы (в том числе ПВ каналы) затруднительно [37]. Действительно, описание динамической системы уравнения­ ми состояния предполагает, что процесс в ней связывается с по­ следовательностью состояний во времени: состояние в каждый последующий момент времени определяется состоянием в данный момент и входным сигналом1. Использование понятий «последу­ ющий» и «предыдущий» означает, что множество состояний упо­ рядочено. В обычной системе с сосредоточенными параметрами и «временными» сигналами такая упорядоченность естественно вытекает из упорядоченности моментов времени.

Если речь идет о системе с распределенными параметрами, в которой действуют ПВ сигналы, зависящие от многомерного ар­

гумента (/, г),	то для нее такого естественного способа определе­
ния состояния	не существует, так как множество векторов (t, г)
не упорядочено. Поэтому при введении		понятия состояния для
таких систем	на указанном множестве	искусственно задают то

или иное отношение порядка, исходя из каких-либо физических

или чисто эвристических	соображений. Так, для	дискретных мо-
1 При случайном воздействии указанное обстоятельство		выражает марков­
ское свойство процесса в системе	(см. § 1.4).

21

делей двумерных изображений предлагается задавать состояния

на	семействе взаимно перпендикулярных	прямых плоскости (гь
г2)	[37, 41, 172, 188, 202].	действуют сигналы в
	В пространственно-временных каналах

виде функций вектора (t, г), компоненты которого имеют суще­ ственно разный смысл — это временная и пространственные ко­ ординаты. В таких системах достаточно естественным по физиче­ скому смыслу является определение состояний, при котором сохра­ няется упорядоченность по времени, а координаты г рассматриваются как параметры. В случае одной пространствен­ ной координаты это означает, что состояния задаются на семейст­ ве прямых, параллельных оси t, в случае двух — на семействе соответствующих плоскостей и т. п.*(рис. 1.4).

г

Рис. 1.4. Упорядочение состояний в плоскости (t, г}

по времени

to tj t?.

При описанном подходе широкий класс уравнений с частными производными (в том числе и при наличии смешанных производ­ ных по времени и пространству) допускает представление в фор­ ме уравнений состояния

=	r) +	g ru((,	г)	(1.3.15).
с уравнением наблюдения
s (t, r) = CTx{t, r) +		55fu(^	г),	(1.3.16)-
где х (/, г) — п-мерный вектор	состояния; & ч			, Сг> & т—в общем-

случае нелинейные дифференциальные, интегральные или интегродифференциальные операторы по пространственным координа­ там.

ПВ	Уравнения в частных производных, описывающие реальные
	каналы (например, волновое	уравнение), после приведения
их	к виду (1.3.15), (1.3.16) обычно	не содержат дифференциаль­

ных или интегральных операций над входным воздействием, поэто­ му ограничимся в дальнейшем частным случаем записанных выше

уравнений, когда оператором является только		$ ,	а остальные
коэффициенты — обычные матричные функции:
- -jj;’ f)	= f x ( t , Г)4 - О (/, г)и(/.	г),	(1.3.17)
s(*, r)=C(tf,	г)х(/, r)+D (/, r)u(f, г).		(1.3.18)

22

Для уравнений без смешанных пространственно-временных яроизводных, например вида (1.3.12), представление в переменяых состояния осуществляется полностью аналогично обыкновен­ ным дифференциальным уравнениям (см. разд. 1.3.1), а пере­ менная г рассматривается как параметр. При наличии смешанных производных оно менее очевидно, поэтому поясним такое пред­ оставление на примере.

Пусть задано линейное уравнение в частных производных вто­ рого порядка для поля с одной пространственной координатой:

В.. -|jr 4" B|.-gj- + B„s (f, г) + Вл!| ^ + В,1-Ц г +

			+	B „i-g p — u(<)-						(1.3.19)
Выберем в качестве переменных состояния
		хД/, r) =		s(t,	г),	x2{t, г )= -^ -.
Тогда	при условии		невырожденности				матрицы В20		получаем
уравнения состояния
(/, г)		дх2 ( t,		г) __				дх, (/,		г)
dt	Xj (t,	г),		= -		в» [в..х,(г, г)+в'01			дг	+
•+В02	д’х' £	r)- +	B		r ) + Bu* ^ - i ] ' ‘ + B - , u(i. г)
с уравнением наблюдения s{t,					r )— Xi(t, г).			(1.3.16)
Таким образом, в представлениях (1.3.15),
			0			I		1 _________
	~	“Ь		"Ь		]■ — в20* (^в« 4- в»*-аг)
	Ор. г) =		р	В -1]. С = [ J ],			D=	0.		(1.3.20)

В тех случаях когда в исходном уравнении нет производных чисто по времени, в качестве переменных состояния приходится выбирать пространственные и смешанные производные выходного сигнала или связанные с ними величины. При этом в уравнениях состояния и наблюдения появляются интегральные операторы.

Пусть, например, в (1.3.19)	В ю = В 2о=0. Тогда, выбирая
Х(* . Г) =	ds(t.	г)
	дг

23

получаем из (1.3.19) уравнения состояния и наблюдения:

^ г) = - В - 1[в .,	+	В „х (t, r ) + j x ( / , г) d r ] - f
		Го
	+ В -'и (< ,	г),
	Г
s(/,	r) = J \(t, г)dr.
	Го
Введение состояния ПВ канала		описанным выше способом,

как уже отмечалось, по существу означает переход от «многомер­ ной динамики» исходного поля s(t, г) к «одномерной динамике» поля состояний x(t, г). В отличие от систем с сосредоточенными

Рис. 1.5. Упорядочение состояний по т:

параметрами, у которых состояние в фиксированный момент f характеризуется числовым вектором х (Г ) (элементом конечно­ мерного евклидова пространства), в ПВ канале оно характеризу­

ется вектором	функций от г, x ( f , г) (т. е. элементом		бесконечно­
мерного функционального пространства).		может быть	осуществлен
Переход к	«одномерной динамике»
и иначе, чем	это сделано выше: можно	произвести	в уравнении

со смешанными производными замену переменных, при которой они устраняются, а затем, выделив одну из новых координат, упо­ рядочить состояния по ее значениям, рассматривая остальные ко­ ординаты как параметры. В результате получаются уравнения состояния вида (1.3.17) с указанной новой координатой вместо времени.

Поясним смысл введенного таким образом состояния на при­ мере ПВ канала с одной пространственной координатой г. Вводя

новые переменные v(t, г),		т {t, г)	и упорядочивая состояния по v
(рис. 1.5,а), тем самым в		плоскости (t, г) задаем состояния на
системе кривых	Г/ (рис.	1.5,6),	определяемых параметрическим
уравнением v(t,	r ) = v t.

24

Состояние при этом можно определить, например, как вектор

* M = [s (f . г). -s^-r) ], (г, г )е г „

зависящий от параметра т. Аналогичную трактовку можно дать введенному понятию состояния и в случае ПВ канала с нескольки­ ми пространственными координатами.

Подчеркнем в заключение, что при описании стохастических ПВ каналов элементы матриц и коэффициенты тех ли иных про­ странственных операторов (дифференциальных, интегральных и т. п.), входящих в приведенные выше уравнения состояния, следу­ ет рассматривать как случайные поля.

1.4.ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК И ПОМЕХ

ВКАНАЛАХ СВЯЗИ СТОХАСТИЧЕСКИМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ

УРАВНЕНИЯМИ

1.4.1. Системные характеристики и помехи как случайные процессы и поля

Построение полной модели канала связи включает в себя представление преобразований полезного сигнала в одной из опи­ санных выше форм и представление аддитивных помех. Как уже отмечалось, во многих реальных каналах — радиоканалах различ­ ных диапазонов, оптических атмосферных и гидроакустических и других каналах указанное преобразование носит случайный ха­ рактер даже при отсутствии аддитивных помех. Системные харак­ теристики таких стохастических каналов (импульсные переходные характеристики, передаточные функции, коэффициенты уравнений состояния и т. п.) следует рассматривать как случайные процес­ сы, а при наличии пространственных координат — как случайные поля.

Указанные характеристики часто описываются негауссовскими распределениями вероятностей. Так, модуль передаточной функ­ ции канала даже в рамках гауссовской модели распределен по четырехпараметрическому закону, частными случаями которого являются распределения Рэлея, Райса, Бекмана и другие, харак­ теризующие различные виды замираний в радиоканалах [57, 58]. В оптических атмосферных каналах указанная величина имеет распределение, близкое к логарифмическн-нормальному. Кроме того, в оптических каналах необходимо учитывать квантовые яв­ ления в фотодетекторах, что приводит к. моделям в виде разрыв­ ных случайных процессов [26, 119]. Статистика процесса на вы­ ходе фотодетектора, находящегося под воздействием стохастиче­ ского поля, даже при сравнительно простых законах распределе­ ния последнего оказывается довольно сложной [26].

Что же касается аддитивных помех, то в задачах статистиче­ ской теории связи для них до последнего времени доминировала модель в виде гауссовского шума, чаще всего принимавшегося «белым», реже — «окрашенным», т. е. коррелированным. Во мно­ гом это объясняется простотой синтеза оптимальных алгоритмов

25

приёма на основе такой модели. Кроме того, для ряда помех она действительно является вполне удовлетворительным прбилижением [22, 54, 58, 97, 138]. Однако в каналах связи значительнуюроль играют и такие шумы, которые весьма далеки от гауссов­ ских: это, в частности, различного рода импульсные и сосредото­ ченные помехи. Чтобы получить удовлетворительные результаты при имитации каналов с такими помехами и тем более при синте­ зе оптимальных алгоритмов обработки сигналов, необходимоучесть в модели действительный закон распределения помехи, а в некоторых случаях и такие ее особенности, как нестационарность и разрывной характер. В ПВ каналах помехи следует рас­ сматривать как случайные поля. Конкретные особенности статис­ тики сигналов и помех в различных видах реальных каналов свя­ зи рассмотрены в § 1.5.

Перечисленные выше обстоятельства явились причиной интен­ сивного развития в последние годы методов синтеза оптимальных алгоритмов обработки сигналов для каналов с негауссовскими помехами и системными характеристиками [48, 57, 123, 125, 134, 135, 141, 153, 156, 162]. Это вызывает потребность в соответству­ ющем развитии методов анализа и синтеза негауссовских моделей случайных процессов и полей. К числу наиболее универсальных (и к тому же удобных для аппаратурной реализации и синтеза алгоритмов обработки) относятся модели в форме стохастических дифференциальных уравнений. Рассмотрим их подробнее.

1.4.2.Модели случайных процессов на основе СДУ

Спомощью дифференциальных уравнений могут быть описа­

ны не только отображения вход — выход динамических систем, как это было рассмотрено в § 1.3, но и случайные процессы в та­ ких системах, в частности в каналах связи. Действительно, если в некоторой динамической системе входной сигнал зафиксировать, то сигнал на выходе будет полностью определяться параметрами системы. Если, в частности, на входе действует случайный про­ цесс с заданными вероятностными характеристиками, то процесс на выходе также будет случайным, причем его вероятностные характеристики будут полностью определяться параметрами си­ стемы.

Следовательно, в качестве одной из моделей случайного про­ цесса можно рассматривать гипотетическую систему, формирую­ щую его из некоторого стандартного случайного процесса. Эту систему называют формирующим фильтром, а в качестве упомя­ нутого стандартного процесса обычно выбирают белый шум, если моделируется непрерывный процесс, и последовательность дельта­ импульсов в случае разрывного процесса.

Формирующий фильтр в принципе можно описывать по-раз­ ному, однако вследствие многочисленных преимуществ, о которых частично уже говорилось в § 1.3, в основном распространено опи­ сание в форме дифференциальных уравнений относительно пере­

26

менных состояния [22, 28, 29, 45, 48, 49, 65, 86, 122, 125, 126, 130— 135].

Разумеется, модели такого вида следует отнести к типу фено­ менологических, так как при их построении не ставится задача (весьма сложная) отразить реальные механизмы формирования описываемого случайного процесса (помехи или системной харак­ теристики канала), а требуется лишь воспроизвести случайный процесс, близкий по своим вероятностным характеристикам к на­ блюдаемому в канале.

Весьма широкий класс непрерывных случайных процессов (ограничения на него будут даны позже) может быть описан

уравнениями вида 1

m

	^ t = fi(x. 0+ 5]г/*(х.					«=1. 2.....я.	О-4-1)
				*=1
где	х (/) = [л*1 ( /) , ..., xn(t) ] т— вектор					переменных	состояния;
ft (х,	t), g ik(x,	t) — некоторые			детерминированные функции векто­
ра	состояния	и	времени; |n(t) — независимые гауссовские слу­
чайные процессы			типа	белого	шума,	т. е. процессы	с нулевым
средним и корреляционными функциями
			*/*(*,	т) =Vi8ik6(t—т).			(1.4.2)
Здесь и далее			bik =	‘	— символ Кронекера;		8 (£) — дель-
				0 ,

та-функция Дирака.

Без ограничения общности можно принять V t= l для всех /. Уравнения состояния (1.4.1) удобно, как и ранее, записывать

в векторной форме

-jr =	f(u, <) + G(x,	(1.4.3)
где
f(x, f) =	[fi(x,	t ) ] T;

=.......6*(01x;

g n (^» 0	• gvn (*»	0
G (x, f) =
gm (x* 0	•gnin(X,	t)

Моделируемый процесс у (г) представляется одной или не­ сколькими компонентами векторного процесса х (/), иногда их ли­ нейной комбинацией

		у ( 0 = С х ( 0 ,		(1.4.4)
где	С — постоянная	рХ^-матрица. В		уравнении наблюдения бо­
лее	общего вида, например		(1.3.4), при моделировании случайных
процессов в каналах		связи	(в отличие	от моделирования отобра­
	1 См. сноску на стр.	18.

27

жения вход — выход), как. правило, нет надобности. Если моде­ лируется скалярный («одномерный») процесс y(t), то его чаще

всего	отождествляют с первой			компонентой			вектора		состояния
y{t)z=x\{t), что		соответствует в		(1.4.4)	С— [1, 0			,...,0 ] .		если
Надобность в		уравнении	наблюдения		вообще			отпадает,
сам	моделируемый процесс		у {t)	описывается			векторным уравне­
нием	первого порядка. Тогда х (£ )= у (£ )				и	С = 1 ,		где	1 — единич­
ная матрица.						заметить, что оно				вы­
Анализируя уравнение (1.4.3), нетрудно
ходит за рамки		тех допущений,		на которых			строится		классиче­

ская теория дифференциальных уравнений. Вместо детерминиро­ ванного-входного воздействия в нем выступает случайный про­ цесс, к тому имеющий особые свойства: это «белый шум», т. е. недифференцируемый случайный процесс с корреляционной функ­

цией вида		(1.4.2), принадлежащей	классу обобщенных функций.
Даже	если	рассмотреть простой	линейный	вариант	уравнения
(1.4.3)	и формально записать его		решение	в виде	(1.3.7), где

и ( ? )= !(? ), то обнаруживается, что записанный интеграл, в кото­ рый входит белый шум, нельзя рассматривать как предел интег­ ральных сумм не только в смысле Римана, но и в смысле более общего определения Лебега [70]. Уравнения вида (1.4.3) и свя­ занные с ними интегралы получают рациональное истолкование только в рамках теории стохастических дифференциальных урав­ нений (СДУ), получившей развитие сравнительно недавно [28, 29, 86, 131, 132]. К этому типу относят дифференциальные урав­ нения, в которые входят обобщенные случайные процессы типа

белого шума.	характера вместо	белого шума
В работах математического
обычно рассматривается случайный процесс
	t
W ( /) =	f !(■ .)* ,	(1.4.5)

6

называемый еинеровским [28, 29, 86]. Винеровский процесс пред­ ставляет собой гауссовский процесс с независимыми приращения­ ми, имеющий корреляционную функцию вида

К(^, т) = М [W (^) W T (т) ] = V 0min {t, т).

(1.4.6)

При исследованиях СДУ обычно вводят стандартный винеров­ ский процесс, полагая в (1.4.6) V0= I . Как ясно из (1.4.5), бе­ лый шум формально можно рассматривать как производную винеровского процесса. С использованием процесса W (/) СДУ (1.4.3) записывается в виде

d x ( /)= f( x , t ) d t + G ( x , t)dW(t)

или в эквивалентной интегральной форме

х(<) = х(<„)-}-jf(x ,	+ JG(X, ^)rfW(x).	(1.4.7)
to	to

28

В свете сказанного выше второй интеграл в (1.4.7) требует особого, отличного от классических определения и носит название стохастического интеграла, а соответствующий ему дифференци­ ал также называют стохастическим. Стохастический интеграл може быть определен по-разному; наиболее распространены опреде­ ления Ито [173] и Стратоновича [132, 133].

Стохастический интеграл от некоторой детерминированной функции ср[ц(0> Ч вводится как предел интегральных сумм, по­ нимаемый в среднеквадратическом смысле:

T

N- 1

<p[»M. ч]4и(*) = l.i.m.		2	n	4+il +
mf	N-+oo	,
	**i+i- *»1-” 0’	*N=T ‘_0
+ (1 -	V) 9 И (,)■	ft] [ « (ft+1) ~ « ft)]}.		(1-4.8)
где v(t), u ( t ) — недифф|еренцируемые			случайные	процессы, пер­

вый из которых не зависит от «будущего» второго; один из них или оба могут быть винеровскими. Функция cp(u, t) предполага­ ется дифференцируемой по v, непрерывной по t и

т_______
J<pa(y,	t)dt<C оо.	(1.4.9).
to
Параметр v e [0, 1] в (1.4.8)	позволяет	по-разному выбирать

точки, в которых задаются значения функции при построении ин­ тегральной суммы. Интеграл, определенный (1.4.8) при v = 0 , т. е. на основе значений функции, взятых в крайних левых точках под­

ынтервалов {U, ti+\), называют		стохастическим интегралом		в
смысле Ито, а при	v — 1/2 (т. е. при выборе указанных		точек	в
серединах подынтервалов) — стохастическим интегралом			в смыс­
ле Стратоновича.	стохастических	интегралов Стратоновича		и
Преобразования

соответствующих СДУ в о1гличие от интегралов Ито осуществля­ ются по обычным правилам. Это существенно облегчает обраще­ ние с ними и позволяет интерпретировать СДУ с воздействием в виде белого шума как предельный случай уравнений, описываю­ щего систему с реальным'дифференцируемым процессом на входе, что очень важно для инженерных задач (белый шум, как извест­ но, нереализуем). В [193] также отмечается, что в системах с внешними шумами именно интегралу Стратоновича, а не Ито мо­ жет быть приписан определенный физический смысл.

В результате этих очевидных для прикладных задач преиму­ ществ в данной книге всюду, где это не оговорено особо, подра­ зумевается определение стохастических интегралов по Стратоновичу. Лишь в некоторых случаях, где это позволяет упростить выкладки, использован интеграл Ито.

Для СДУ в книге в основном принята наиболее привычная для инженеров форма записи (1.4.1) или (1.4.3), которая при условии правильного ее истолкования, о котором говорилось вы­ ше, вполне допустима.

29'

Остановимся теперь на свойствах случайных процессов, опи­ сываемых СДУ вида (1.4.3). Обычно предполагается, что в (1.4.3) функции f (х, /), G(x, t) непрерывны и удовлетворяют ограниче­ ниям на их рост

Ilf(X, t)— f(x ',	t) |+ ||G(x,	t)— Q{x',	^)||^^||x— x'||,		(1.4.10)
II f (x,	t) II+11G (x,	*)||</(l +	||x[|),		(1.4.11)
где l, q — некоторые положительные константы;				||-|l— знак норм

векторов и матриц в соответствующих пространствах. Ограниче­ ние (1.4.10) называют условием Липшица.

Случайные процессы, описываемые СДУ вида (1.4.3) при ука­ занных условиях, образуют особый класс диффузионных марков­ ских процессов.

Случайный процесс x(t) называется марковским, если при лю­ бом выборе последовательных моментов времени U<Lt\<Ltz<C

для его условной функции распределения	с вероятностью
1 имеет место равенство 1 [28, 29, 127, 133 и др.]
P { x { t N) ^ xN|X(ftf—О = x N- u . . . , x {to) = x 0} =
= P { x ( t N) ^ x N\x{tN- i ) = x N-i}.	(1.4.12)

Если марковский процесс непрерывный, то аналогичное усло­ вие справедливо для его плотности вероятности ш (х^|х^_ь. . . , х0).

Иначе говоря, это такой случайный процесс, у которого в каж­ дый момент «будущее» зависит (в смысле условных вероятнос­ тей) только от «настоящего» и не зависит от «прошлого». Остав­ ляя здесь в стороне подробное доказательство марковского свой­

ства	(1.4.12) для процесса, определяемого СДУ (1.4.3)	[28, 29 и
др .],	обратим внимание на одно важное обстоятельство: это свой­
ство	тесно связано с представлением СДУ в форме	уравнений

состояния. Действительно, если для детерминированной модели

(1.3.3)		рассмотреть			последовательность состояний x ( t 0), x(t\),...
в моменты to C tiC					. . . , то в любой момент U состояние x{U) пол­
ностью		определяется предшествующим				состоянием x(fr_i) и вход­
ным	сигналом и(^) — это вытекает из					самого	понятия состояния.
Если	же		входное	воздействие — случайный процесс, значения				ко­
торого		в	любые	различные моменты		времени	независимы, т.	е.

гауссовский белый шум, то отмеченное свойство состояний влечет зависимость х(/*) от всех x(ti-k) при k > \ в смысле условных вероятностей, т. е. марковское свойство (1.4.12).

Условие (1.4.12) записано для общего случая многомерного (векторного) процесса и, разумеется, остается справедливым и в скалярном случае. Если, однако, рассматривается многомерный марковский процесс, то его скалярные компоненты марковским свойством вообще говоря не обладают.

1 Здесь запись вида х ^ а использована как общепринятое сокращение для системы неравенств х\^а\, х ^ а * ..., хп^ а п.

30