книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

жеиие, тогда N — 4 и

4

wCT{ x ) ^ w CT{x\ %v	кл)-		ехр Vi Mini!
	= р-'\			U	s\
				5=1
Для конкретных значений {х5} обратное преобразование Фурье
F~1{ •}, входящее в эту формулу,		можно		вычислить аналитически
или численно с использованием ЦВМ.				также	методы	анализа
В заключение укажем, что известны
УКФ (1.4.18) на основе	интегральных			преобразований		Фурье и

Лапласа по переменным х и t и путем разложения решения w(x, t) по полной системе функций. Эти методы применимы только для линейных СДУ [104, 142, 157] и поэтому здесь не рассматрива­ ются.

3.2.1. Метод вырожденных ядер

Пусть плотность вероятности «амплитуд» р(А) определена на полуоси [0, оо). Представим в УКФ (1.4.18) интегральный член

в виде

ОО

J = v $ p ( x - z ) w ( z , t)dz

и разложим р(х—z) в ряд по полиномам		{Q i(*)}, ортогональным
с весом р (х ):
N
p ( x - z ) = < P W S	M z) <?<(■*)■	* > г ,	(3 21)
	0,	x<^z.
Определим функции {фл(2)} равенствами
ОО
Ф* (г) = J Р (X - z) Qk (х) dx,			(3.2.2)
о	2, ..., N.
k = l ,

Подставляя (3.2.1) в (1.4.18) и дифференцируя уравнение по х при /=&, получаем систему уравнений

JV

—	0 + v b c ( * ) J j P W Qi ( * ) F i(x > 0> * = 1 , 2,..., N ,

1= 1

(3.2.3)

где

Ft(x, 0 —	w(z, Odz-	(3.2.4)
	—OO

101

При решении уравнения (3.2.3) постоянные интегрирования могут быть найдены из условия нормировки и интегрального тож ­ дества

	00
	j f М		^ст (■*) dx =		vM [А] =			vmv
	о
Из (3.2.3) и (3.2.4)			легко видеть, что
			JC
Pi (х,		Q =	J	(z) b(x — x b)dz =					^i (Л'0),
			—00
	ъ(х,	t \х0, * о )= - 7 Т Т ~ Т ~ рь(х> *)•
				Фй(х)		дх
	wCT(x) =		lm -J— ± - F k(x,					t),		(3.2.5)
			t-+x> Ф*(х)		дх
где-фд(^) и Fh{x, t) —любая пара из функции вида (3 .2 .2 )										и реше­
ний уравнения	(3.2.3) соответственно.
Пусть, например, р(Л )=(5ехр(— (М), где р > 0 — некоторая кон­
станта.				полиномы Лагерра, получаем в раз­
Выбирая в качестве Qk{x)
ложении один полином и из				(1.4.18)		имеем			[16, 74]
—	Л (•*)--7 Г Т л			(• «)= —			е"**		fix)
dx	1 '	'	f(x)			fix)
Отсюда в силу	(3.2.5)
						Г	f w	—рх
						J				(3.2.6)
		wc v ( x ) = - ^ ~			е	**
				f(*)	интегрирования; х\, как					и ранее,
где с— произвольная постоянная

любая точка интервала, на котором определен процесс * (/) . В ча­ стности, в (3.2.6) можно принять xi= 0 . В общем случае, как пра­ вило, можно положить Х\-*— оо.

Если р(Л) =|р2ЛеРА, то аналогично предыдущему получаем

fix)	exp		(3.2.7)
где 7 (я )—решение уравнения вида
f(x) d- f c r +	v - £ - Y W -	vpY (x) =	0.
Результаты расчетов по	формулам	(3.2.6) и	(3.2.7) сведены в

таблицу (см. приложение 3). Из нее видно, каким нелинейностям
f (x ) в СДУ	(3.1.1) соответствуют стационарные плотности вероят­
ности WCT(X)	случайных импульсных процессов, порождаемых эти­

ми СДУ.	на вуСт М при заданной функции fix)
Оценим влияние р(Л)
в СДУ (3.1.1), В общем	виде это сделать невозможно, тем более,

102

что представить решение уравнения (3.2.3) аналитически удается далеко не всегда. Поэтому рассмотрим пример.

Пусть f {х) = — ах, v ja — l, а	рх (А) = р1е- м , р2(Л) = (з22Ае“ ^
и их первые начальные моменты	равны, т. е. ^ = ^ /2 . В качестве

критерия расхождения распределений выбираем, как и ранее, меру Кульбака

					о
В	оговоренных			условиях получаем, что		при (32=1 h r = 1. При
том же значении (32 величина J N д л я W CT { X ) ,						соответствующих п.п. 1
и 7	таблицы		приложе­
ния	2,	равна	0,29,		т. е.
уменьшилась более чем в
3 раза. Это явление иллю­
стрируется рис. 3.2, из ко­
торого		видно,	что		при
v/ai< l		различие		между
распределениями				стано­
вится еще меньше. Анало­
гичная картина имеет ме­
сто, например, при f(x) —
= a x /(l-fe x ), где				е<1. С
другими		примерами, под­
тверждающими				относи­
тельно слабое влияние за­
кона	распределения				«ам­
плитуд»		р(А)	на	а>ст(я),
мы	встретимся			в	разд.

3.2.3.

Сказанное выше не следует понимать так, что возможен пол­

ный произвол в выборе р{А) при исследовании WCT(X),	но некото­
рые изменения р{А) при сохранении первых моментов	не могут,
по-видимому, привести к существенным отличиям в адст(*)		(см-
также гл. 6).
3.2.2. Метод анализа, основанный на разложении решения по степеням		___
параметра v		^

В основе материала этого раздела лежит идея метода последо­ вательных приближений, который использовался в гл. 2 для реше­ ния УФПК. Будем искать решение УКФ (1.4.18) в одной из сле­ дующих форм [16, 17]:

00	__
w{x, t) =	у,- (х, t) JL,	(3.2.8)
/=о	ll
w(x, *) = J ] /*/(•*• / ) ^ - e ~ v/,		(3.2.9)
/=о	Y

103

где уЦх, t) и pj(x, ^ — неизвестные функции, подлежащие опреде­ лению.

Можно показать, что при использовании начальных условий в УКФ и условия нормировки, для представления (3.2.8) полу­ чаем

Т/(л-,		t			,)Х
X i { F - ' [ F ( x ) + t - y ) } d y ,						(3’2Л0)
U x . t ) =		+		5 [ f - '( f ( x ) + / ) - x , ] ,
где
ф.(х, /) = / Г j/7(x —2)Y/-1(z, t)dz— y ^ r{x, *)].						(3.2.11)
	L—оо
Для представления		(3.2.9)
' At *.	П= ■'F1- '^ (-f+ 01		8 [f-1(F(x) + ( ) - x0],
		f\X)
	t) = J± L f((- y y			J	np-: U ® + M x	(3.2.12)
		0	—oo
			t — y)dydz.
Как видно	из (3.2.10)— (3.2.12),			величины уДх, t) и pj{x, t)
определяются	рекурсивно. Заметим,			что в отличие от функций
•уДх, t) каждый член ряда (3.2.9)			неотрицателен и удовлетворяет
условию нормировки. Поэтому представление w (х, t) в виде						(3.2.9)
имеет простой смысл: функции [{vt)ifj\]					exp (—vt) выражают без­
условные вероятности		наличия / импульсов на интервале				(0, t),

a pj(x, t)—условные плотности вероятности перехода. Необходимое число членов ряда (3.2.9) можно определить по

критерию

00

J \w(x, t)~w,-(x, t)\dx< в

-—00

при известном vt. Легко показать, что (vt)^lj\^e или

jlnvt— 1п(/!)^ 1п е.

(3.2.13)

Из соотношений (3.2.8) — (3.2.10) и (3.2.12) следует, что пере­ ходная плотность вероятности (решение УКФ) всегда содержит дельта-функцию, которая исчезает только при £->сю, т. е. в wCi{x).

Рассмотрим примеры определения переходной плотности веро­ ятности я(х, t |хо, к) с использованием представлений (3.2.8) и (3.2.9).

104

Вначале используем ряд (3.2.8). Пусть f(x) = 0. Заметим, что стационарное распределение в этом случае отсутствует. Из (3.2.10) и (3.2.11) получаем

Yo (х,	f) = 8 (jc— х0), Y,(x,			0 = № (х — х0) — 3 (х — х0)] t,
	[	ОО
			— z) p (z — xe)clz — 2p (x — x0) - f 8
		—00
и т. д. В итоге из		(3.2.8)	имеем
			Я (х, 1 1х,, f0) =5:8 (х —х0) e~w — р (х — х0) Vi +
■■Ь			2 ) (2 — Х 0)	rf2 — 2р (х — Х 0)	00
					Ы)г
—00
Это соотношение может быть использовано для расчетов моментных функций
ПЛОТНОСТИ я ( Х ,	11А'о, to)		при малых vt.

Pi(x,t)

Рис. 3.3. Эволюция Pi(xf t) при различных t для

/=0, 1, 2

Пусть теперь используется представление п(х, t |хо, U) в виде (3.2.9). Ра«- смотрим случай, когда f(x) = —ах, р(Л )=5(Л —Л0). Тогда У7-1f/7(дг) =» =хехр (at), и из (3.2.12) получаем:

	Ро(х, 0	= еа/8(хеа/ — х0) = 8(х — х0е а/),
О = {	(я —х0) ехр"( — аО "Р" (х. + Л )е - '< * < .х е - '+ Л .
v	0	при остальных х

и т. д. Графики ро(х, t), р\(х, t) и р2(х, t) показаны на рис. 3.3, где обозначено:

х, =			х0е—“,/а,	х2=	xte	1,	Х3— (XQ“Ь Л0) ®		> Х4— х0,
х	5		xtte	А0,	х, =	(х, -j- А0) е ~ * '1,		х, =	х0е~а'« + Л0,
	=
Ха —	(х	0			х„ --	(х0+	2Л0) е~а/‘ ,	Xjo =	х0+ е” а' а + 2Л0,
			+ 2Л0)
					х и =	х0е'_а<1+ 2Л0.

105

Пусть v /= l, а е=0,1, тогда необходимое число членов ряда (3.2.9) равно четырем. При vf<l это число еще меньше. Таким образом, метод последователь­ ных приближений эффективен при малых vt.

В заключение этого раздела рассмотрим простой приближенный метод определения п(х, t\xo, U) или w (x , t) при л’тСист<1 С1 , что представляет интерес при исследованиях редких импульсных по­ мех. Здесь и далее под тСпст понимается постоянная времени си­

стемы, определяемая как min [142]. Ее отыскание не

всегда является простой задачей, поэтому указанное условие ино­ гда заменяется эквивалентным неравенством для интервала корре­ ляции ткор решения СДУ (3.1.1) в стационарном режиме 'VTKOp<Cl. Последнюю величину, как правило, удается оценить, хотя бы в ус­ ловиях статистической линеаризации СДУ [3].

Из физических соображений ясно, что при VTKOP<C1 плотность вероятности скачков не зависит от времени и начальных условий Хо, так как скачки происходят редко и все переходные процессы в системе за интервал между ними заканчиваются. Тогда с учётом

того, что интегральный член в УКФ			(1.4.18)	есть интеграл свертки
двух плотностей вероятности, это		уравнение записывается в виде
ot	~г~~— [f М w (х,	t)]	vw (х,	t) — vW0(x, t),
	дх			(3.2.14)
	со
*.(•*,	0 = § p (A )w (x — A, t)dA.
	—00
Ищем общее решение уравнения			(3.2.14)	в виде суммы общего

решения однородного уравнения и частного решения неоднородно­

го. В силу условий, оговоренных выше, ^¥Q(X, t ) ^ ¥ a ( x )						и решение
уравнения	(3.2.14)	имеет вид
	<в(х,	f(X)	evf M<f[F(x)-\-t\-{-w„{x),			(3.2.15)
где ф (-) определяется из			начальных условий, a		дост(х)	рассчиты­
вается кумулянтным методом по формулам § 3 .2 .
Если w(x, t0) = 6 (x—xо), то
	%(х,	t \х0, t0) & {blF- 1 (F (x) + t) — х о] —
-	[F-' (F (* )+ /)]}			W + 01 е- « +Шст (je)>		(3.2.16)
где				f(X)
	F(x) =	f —7 ^ -	и lim F - 1 [F(x)-\-t] = c < o o .
	J f(z)		(->00
	Xi
Из (3.2.16) видно, что			при	t= 0 плотность	п(х, t\xo, /0) =
= 6 (х—Хо),	а при	оо она стремится к ауСт(х). При этих значе­
ниях переменной t		выражение для я(х, /|х0, t0)			в (3.2.16) являет-

106

ся точным. Оценим погрешность, которую оно дает при других значениях t.

Пусть f(x) =	— ах. Тогда из (3.2.16)
ъ{х, t\x0, t0) =	Q~vt [Ь(х— x 0e~at) — eTatwCJ{xeat)]-\-wcr(x). (3.2.17)
Известно [156]. что точные значения кумулянтов при f(jc) =
= — ах равны:

^ 1 (0 ===^'0б—at-}-XicT (1— е-сс<), Кп (0 ^Кпст (1 6 na*),

где Хпст— кумулянты распределения W CT(X). Непосредственным вы­ числением из (3.2.17) получаем:

щ (/) =Ar0e_a^l+v/a^+xicT (1— e-at(,+v/a)) ,

Кх (т) =% 2ст ехр [— ат (1+ v /а) ].

Таким образом, при v./a<Cl точные и приближенные значения первых кумулянтов практически совпадают, а при v//za<Cl совпа­ дают и высшие кумулянты. Можно показать, что если допустима погрешность 10% в определении Кх (х) при т/тКОр^1» то v/a^0,l, т. е. л>тсист^0,1. Из физических соображений ясно, что для нели­ нейных СДУ (3.1.1) допустимая величина V T CH C T имеет тот же по­ рядок.

П р и м е р . Пусть задано СДУ

	dx	4(0
	-JJ-------- *. +
II
Р{А) =	— е АЧ2я’	— о о < л < со
Из уравнения	V 2я a

2 C 'S <*[*-']. К,{х)) = 0,

1 = 1

используя правила раскрытия кумулянтных скобок [90], получаем систему урав­ нений для х« в эксцессном приблюкенни:

( Xj — Xj 0,

II *4 + Зх22 = -^ -,

I п

^2хах4 + х32 = — ,

где	/C2= v ; /(</24^0 при a2= l , v<C 1. Решая	эту систему, получаем	кумулянты
_	о,46 Kv”, х4= —0,1 lv и коэффициент эксцесса у<=—0,62.		/ и 2 вы­
	На рис. 3.4 представлен соответствующий	график W CT ( X ) . Кривые
числены с помощью преобразования

107

Рис. 3.4. Аппроксимация адСт(*) при f(x) = —ах3

для значений у4—0 и —0,62 соответст­

венно, кривая 3 — с помощью ряда Эдж­ ворта для 74= —0,62.

Из рисунка следует, что приближе­ ние с помощью ряда Эджворта

Y		^
wCT(x) =*юг (х) +	- ^ Z wr (* ).
где
1	/	х2 \

■ к * » —

вполне приемлемо.

Выражение для плотности вероятности п{х, /|х0, t0) вычисляем с использо­ ванием функций

f - [ " W + 4 - y = = - •

Подставляя F(x) и (х)-|^] в (3.2.16), с учетом представления в виде ряда Эджворта получаем при VTCHCT^ 0,1 выражение

л(х, Л х0, /0) =8 (х — y ^ = = = - je ^ + шст(х)(1 — е					v*),
где о>Т(х) = wr {x) -	d4		1,5	/	х2	\
	0,03 —	шг(х); шг(х) = у ^ /4		exp	Q^ 2 y	f J •
При VTcncr^l	можно	использовать	диффузионные	приближения		УКФ
(1.4.18), когда v-»-oo,	а тг+ 0	при 1>2.
В заключение отметим, что метод вырожденных ядер применим
при быстрой сходимости		ряда (3.2.6), в то время как метод разло­

жения по степеням малого параметра v целесообразно использо­ вать при v t < \ в существенно нестационарном режиме.

3.2.3. Корреляционная функция разрывного марковского процесса

Вид корреляционной функции случайного процесса, порождае­ мого СДУ (3.1.1), при п— 1 в стационарном режиме может быть оценен без получения выражений для wcт (х) и п(х, £|хо, ?0). Вы­ веденные в [90] формулы для гауссовского и эксцессного прибли­ жений корреляционной функции справедливы и для СДУ (3.1.1), однако их точность не определена.

В гауссовском приближении механизм воздействия любого дель­ та-коррелированного процесса на линейную систему одинаков. Поэтому указанная в разд. 2.3.2 20-процентиая погрешность этого приближения сохранится и в случае разрывных процессов. Эксцес-

108

сное приближение предполагает удержание трех членов в разло­ жении корреляционной функции, т. е. [90]

			<?=1
где %q— корни характеристического уравнения
Л22 --X		Л2з		A%\	^23
^32		А33-	X	А34	А35	= 0,
>4.12		А-1з		-	X А»
в котором			5—1
•	/	dk- 1
			\ \ с 1		-1 \л
		dxk~l
- 1 ) !	\		Ь	s-
			1=1

Здесь Ki(x)—локальные характеристики процесса x(t), опреде­ ленные в § 3.2, a B2q находятся из системы уравнений

(	з
I	2
!<= '
!	3	4
	— 2	2
I	<7=1	к= 2

Целесообразность дальнейшего использования эксцессного при­ ближения можно оценить путем определения верхней границы кор­ реляционной функции и сравнения ее с результатом гауссовского приближения.

Рассмотрим модель, для которой Случай VTCHCT> 1 практически соответствует диффузионному процессу, и для него справедливо все, что говорилось в гл. 2, поэтому здесь его рас­ сматривать не будем.

При указанном условии можно считать, что процесс * (/), по­ рождаемый СДУ (3.1.1), есть пуассоновский поток импульсов со средней частотой у. Для корреляционной функции используем фор­ мулу (11.6) из [118]:

	00
К, (т) = \>М [л-!] Г Л-(/) X у +		г) dt.
	о
Форма импульса x(t)	определяется решением уравнения
■2L+f(x)*=A&(*)		(3.2.18)
при нулевых начальных	условиях ,v0= 0 . Это	решение представим
в виде
	-*(/„)= 2 6*е "	(3.2.19)
	<=о

109

где ^н=^/тспст. Полностью аналогично § 2.3 можно доказать, что при t ^ \ в сумме (3.2.19) для приближения с точностью 10% до­ статочно удержать три члена, т. е.

	•*(У — 2			6/е	1/н*		(3.2.20)
Справедлива оценка			i=0
	•*(*„)		1— е		*“		(3.2.21)
используя которую в выражении для /<х(т), получаем
Я Ы	= Кх		<	е“ ’ "/( 1 -		е_ ,“).	(3.2.22)
Оценка (3.2.22)	близка к действительному значению при тп^ 1 .
Для обеспечения условия		П т ^ (т н)= 1 перепишем (3.2.22)					в виде
		V *0
	V	й	е		при хй< 1 ,
Я (хн)			1 — е				(3.2.23)
	е	и	_9		при	хи > 1
			е	н
Известно [118,	142], что		при f(x) = — ах
							(3.2.24)

Для сравнения (3.2.23) и (3.2.24) на рис. 3.5 приведены соот­ ветствующие графики, из которых видно, что интервал корреляции Ткор изменяется при отклонениях f(x) от линейной не более чем в 1,2 раза. Из рисунка также следует, что # (т н) допускает доста­ точно точную аппроксимацию экспоненциальной функцией с «ис­ правленным» интервалом корреляции (тКор.н=1,2 вместо тКОр = 1 ).

Рис. 3.5. Возможные изменения г(тп) при различных аппроксимациях

110