книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений
..pdfЕсли |
в системе (2.5.21) |
число уравнений |
Afo(Q— I) равно числу неизвестных: |
|—1)л |
и определитель ее |
отличен от нуля, |
то эта система имеет единственное- |
решение. В противном случае можно искать наилучшее (по среднеквадратиче скому или иному критерию) решение, для чего, в частности, можно прибегнуть, к процедуре линейного программирования. В результате решения находятся ко эффициенты диффузии ga и величины р,-а> определяющие согласно (2.5.20) ко эффициенты СДУ fг (х).
Если моментные функции процесса описываются выражения ми типа (2.1.14), (2.1.17) и т. п., то решение задачи синтеза можно искать в классе диффузионно-изотропных моделей для которых d a = b и СДУ имеет вид
i (х) “Ь ~Vь (х)5/ (/), / = 1, 2,..., и. |
(2.5.22) |
Уравнения такого вида удобно использовать при моделиро-. ваиии квадратурных компонент замирающего сигнала в канале связи, в том числе негауссовских и недифференцируемых в среднеквадратическом. При этом соотношения (2.5.14) и (2.5.16) остаются в силе, но дальнейшие этапы синтеза существенно упрощаются. Действительно, располагая плотностью ауст(х) [о>ст(х) =а>п(х)], в этом случае можно для определения Ь<(\) вместо (2.5.21) воспользоваться соотношением
а, (х)ш „(х) - |
1* (* )“ >«(*)] = 0 . |
(2.5.23) |
связывающим коэффициенты диффузии и сноса в изотропных мо делях [142]. Полученные выражения для а«(х) и Хч(х) подстав ляются в (2.5.17) с учетом (1.4.16)', что приводит к уравнению, определяющему Ь{х). При отыскании этой функции можно вос пользоваться какой-либо аппроксимацией, например искать ее в. виде
b(x) = 6o+bTiX-J-xTBx,
где bo, bi и В — соответственно некоторые скалярный, векторный н матричный коэффициенты.
Если b (х) = Ьо, то неизвестным оказывается только один по стоянный параметр и задача синтеза упрощается. В этом случае интегралы Ито и Стратоновича совпадают (см. гл. 1) и дальней шее использование СДУ также облегчается. Поэтому при синтезе. СДУ следует отдавать предпочтение уравнениям с постоянной ма трицей диффузии, за исключением тех случаев, когда это затрудня ет физическую реализацию функции а,(х) из (2.5.23).
Если функции а,(х), найденные из решения (2.5.23), являются' линейными или близки к ним, то отыскание Ьо можно производить на основе теоремы Дуба [120, 131, 142].
Отметим в заключение, что если все моментные функции мо
делируемого |
процесса описываются |
выражениями типа (2.1.14), |
||
(2.1.17) |
с |
вещественными |
а |
в использованных выше раз |
ложениях число членов (Mo, |
Q, N) |
стремится к бесконечности, то |
||
задача |
синтеза линейного оператора |
в (2.1.7) имеет единственное |
6—3490 |
81 |
решение. Действительно, при N- * оо рассмотренным выше способом могут быть найдены Хд до сколь угодно больших значений q, а оператор в (2.1.7) восстанавливается по собственным числам един ственным образом, поскольку обратная задача Штурма — Лиувилля имеет единственное решение [149].
2.5.3. Синтез СДУ для нормального случайного процесса
Рассмотрим в качестве примера синтез СДУ для нормального случайного |
|
процесса с |
энергетическим спектром б(ю ) = |M(iG>) |2/|W(itL>) |2, где |M(i<o)|2= |
—4©2-{-24; |
(W(itD) |2= 0 4-J-12(o2-f-4. |
Отметим, что случайный процесс с таким спектром является недиффереицируемым в среднеквадратическом.
Методами, изложенными в разд. 2.5.1, нетрудно установить, что практически для любых значений коэффициента корреляции г моделируемого процесса при ближение распределении по мере Кульбака достигается при п = 2, т. е. модель двумерна. Следовательно, в качестве адСт ( х ) необходимо рассмотреть двумерное нормальное распределение:
1
® ст(*г * 2) = 2^02(1— г2) ехР
Пусть в рассматриваемом примере x(t)=x\{t), c ^ l , г^О.5. Как видно из •выражения для б(ш ), корни знаменателя равны —0,35 и — 11,6, следовательно, в (2.5.12) Я,2,=0,35, Я2= 11,6. Приведенному выше выражению для б (со) соот ветствует корреляционная функция вида (2.1.14), где Лця^—0,91, h\i=a—0,4, откуда следует, что <T2I = <J^= 1. Ищем СДУ в диффузионно-изотропной форме,
.полагая Ь0=К . Тогда из (2.5.23)
в/ (х) = _К2 ‘^д“ 1па'ст(х), i = l , 2,
И, следовательно, СДУ имеют вид:
= ТГ ( ~ 2*' + 1’42*=> + |
^ 6. (О. |
= X (1,42*. - 2х.) + |
У к 5, ( 0 . |
Такими СДУ описываются квадратурные компоненты амплитуды замираю щего сигнала в рэлеевском канале.
Аналогично, полагая выполненными условия потенциальности, можно синте зировать СДУ для квадратурных компонент в рамках общей гауссовской модели канала и при различных негауссовских совместных распределениях wcт ( * ь Хг). Заметим, что в рассмотренном выше случае СДУ получилось линейным, посколь ку процесс гауссовский.
Остается определить &<р=/С. Как уже указывалось, это можно сделать либо обратившись к соотношениям (2.5.15)— (2.5.19), либо используя теорему Дуба, •только на основе спектра 6(G)).
<82
В первом случае выбрав, |
как и в [131], в качестве |
базисных функций (х) |
||
функции Эрмита 7/у (х) |
[128], |
из (2.5.15) полушм |
|
|
|
|
Q |
|
|
X? (*i« |
*2) = |
S % Wcv |
Я» (xt* |
Хг)‘ |
V — 1
Подставляя это разложение в (2.1.8), (2.1.15), (2.1.18) и выполняя интегри рование, приходим к системе уравнений вида (2.5.16) относительно неизвестных; коэффициентов(<7= 1, 2 , v = l , 2, ..., Q). После того как они найдены, с уче--
том (2.5.19) записываем выражение типа (2.5.18) при Я^О.б:
КЪг ('^1» *г) “ |
К |
( |
-f- 1,42х2) |
д |
||
2 |
Xi (Xj, ха) |
|||||
К |
( ^X2 |
|
д |
1\ (Хр |
К |
I д* |
2 |
1»42х,) |
*г) Н~ 2 |
|"5х^~^1^Xl’ Хг^ |
|||
|
+ |
дг |
|
1 |
—0,6х, (Хх, Хг). |
|
|
йРГХ. (*!, |
*г) = |
||||
Отсюда, |
умножая |
обе |
части на любую из функций / / v (х,, х2) и интегри-*. |
руя, получаем алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами, из
которого |
легко определяется К. |
Как показал расчет, |
air^l, Д|„ = 0 при |
= 2, 3, |
и /С=2. |
|
|
Для определения величины К с использованием второй теоремы Дуба не |
|||
обходимо сравнить коэффициенты |
в выражении G(о) и |
синтезированном СДУ, |
[120]. В рассматриваемом примере легко видеть, что К= 2.
2.5.4.Синтез СДУ для процессов с распределением Накагами
игамма-распределением
Вгл. 1 отмечалось, что распределение Накагами хорошо опи сывает быстрые замирания во многих радиоканалах различных диапазонов — от декаметрового до сантиметрового. Гамма-распре делению подчиняются флуктуации сигналов в некоторых оптиче-- ских каналах и радиоканалах дециметрового диапазона. Отметим, что замирания, подчиняющиеся экспоненциальному закону (част ный случай гамма-распределения при а = 0 ) являются самыми глу бокими по энтропийному критерию.
Впредположении экспоненциальной коррелированности замира ний решим задачу синтеза СДУ для таких каналов.
Рассмотрим случайный процесс с распределением Накагами;
(1.5.6) и энергетическим |
спектром Go/(o)2-j-l), полагая а2 = 1 и |
г _ |
Г2(ш + 0,5) Г2(0,5) |
ао оттеГ(т) Г ( ш + I)
Упроцесса с таким спектром корреляционная функция имеет экспоненциальный вид (2.3.4), и поэтому модель можно искать, как показано в § 2.3, в классе одномерных СДУ (я = 1). Из сравнения,
заданного <3(о>) с (2.5.12) видно, что A ,i=l, hl =- — VG0l4.
При определении собственных функций %q(x) согласно (2.5.15) выберем в качестве базиса разложения {<pv(*)} полиномы Лагерра [128]:
6* |
83; |
х М = Xi W = 2 a,®tT(•*) i (m 11 w . V=1
где а>Ст(^) определено из (1.5.6). Подставляя это разложение в
.(2.1.11), (2.1.15), получаем систему из двух уравнений:
Г ( у - 0 , 5 ) Г ( т + 0,5)
|
|
2Г (т) v! V ™ |
|
1» |
|
|
|
|
|
|
|
Г (m-f- v) |
= 1. |
|
|
v —1 |
Г (т) у ! |
|
|
|
S |
|
|
|
Решая ее с учетом hx= — ]/(?0/4 |
при |
Q = 2, находим ^ 5= |
||
= |
а2 — 0. |
|
|
|
Будем |
искать 6 (х) в виде 6 (* )= /( . Из |
(2.5.23) |
||
|
f (х) = 4 "^ Г 1п шстМ = ~ |
^ 2т-—-----2тхj . |
Подставляя найденные f{x), %(х), A a=l в (2.5.18), получаем JC=l/2m . Таким образом, СДУ при Я1 = 1 синтезировано:
т - т И - ^ - Ч + К З ^ о -
Рассмотрим теперь процесс с гамма-распределением |
(1.5.15) |
||
и энергетическим спектром прежнего вида, |
где |
G p = 4p2 (a+ 1 ) . |
|
Аналогично предыдущему получаем ?ы=1, |
hl = |
— p j/’a + |
l. |
Пусть |
|
|
|
* , м = 2 v=l
Подставляя %i{x) в (2.1.8), (2.1.16) и решая систему уравне
ний, получаем |
fli= (а + 1 )-1/2, |
а г= 0 . |
Таким образом, |
||
|
х.(х)= -уТ= -®ст (*) i f ' |
W , г,= 1 . |
|||
Ищем &(*) |
в виде 6 (л:)= 6 о+&1** Тогда |
||||
|
|
f (*)= 4|L ^ |
in |
+ -L ft' (x). |
|
Подставляя |
найденные /(я ), x iM » |
Ao в (2.5.18), получаем ре |
|||
шение: |
6 i = 2 fl, |
6о= 0 . Таким |
образом, |
СДУ, порождающее про |
|
цесс с |
гамма-распределением, |
при t a = l |
синтезировано: |
- = г = " ( т - т ) + т + ^ < ‘ >-
34
2.6. СИНТЕЗ СДУ МЕТОДОМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРА ПО СОБСТВЕННЫМ ЧИСЛАМ
2.6.1. Основные этапы синтеза
Первые этапы синтеза совпадают с описанными в § 2.5. Пусть
врезультате их определены размерность синтезируемой модели п
испектр собственных чисел {Л9} линейного оператора в левой ча сти (2.1.7), найденный по условиям приближения моментных функ ций или спектров. Сам оператор (точнее, его коэффициенты), ра зумеется, неизвестен: соответствующее ему УФПК как раз и тре буется найти. В принципе, располагая собственными числами kq,
можно восстановить по ним оператор — это известная в математи ке обратная задача Штурма — Лиувилля [149]. Однако общее решение ее при п > 1 встречает большие трудности. Рассмотрен ный выше приближенный метод синтеза СДУ на основе процедур линейного программирования позволяет обойти их. Тем не менее и такой подход к синтезу, который основан на прямом восстанов лении оператора по собственным числам, представляет практиче ский интерес. Ниже рассматривается приближенный метод вос становления оператора по собственным числам, в основе которого лежит идея «набора» многомерного оператора из одномерных опе раторов такого вида, для которых решение обратной задачи Штур м а — Лиувилля известно [144, 149]. Этот метод можно рассматри вать как приближение к решению обратной задачи Штурма — Лиувилля при п~> 1.
2.6.2. Восстановление |
оператора |
|
|
|
Оператор, соответствующий левой части (2.1.7), будем искать в обобщенном |
||||
виде |
|
# = Д + /(х ), |
(2.6.1) |
|
где |
|
|||
|
|
|
|
|
|
дг |
д2 |
|
д2 |
|
А = дх2, + |
дх\ |
+ * * • + |
дх2п |
— оператор Лапласа |
в пространстве R"; |
/(х ) — некоторая неизвестная функция |
x e R n. В таких обозначениях уравнение на собственные значения для оператора 2 приобретает вид
AHq(x)+l(x)Hq{x)=kqHq(x), q=u2, |
(2.6.2) |
где (tfg(x)} — полная в L2(Rn) система собственных функций оператора 2 , удовлетворяющая заданным (например, нулевым) граничным условиям. Для отыскания этих собственных функций поступим следующим образом.
Пусть известна полная в Lz(R1) линейно-независимая система собственных функций {ф \(*л)}, * = 1» 2, соответствующего «одномерного оператора по каждой k-k координате (£ = 1, 2, ..., п), определяемая уравнениями вида (2.6.1):
(хь)
------ ^ ------ -h (ха) <tktk (х*) = \ьЛ1к (xk), (2.6.3)
85
£
Где Sh(Xi) — некоторые известные функции; ^ |
— вещественные |
собственные |
числа указанного оператора. |
|
|
Оператор в (2.6.3) с известным спектром собственных чисел |
Д°лжен |
|
быть либо выбран заранее, либо синтезирован на основе известного спектра. |
||
Введем в рассмотрение систему функций |
|
|
....i (’‘ )> = <v\, |
Ы ) |
(2.6.4) |
полную в R” , где X — знак декартова (прямого) произведения множеств. Такая система является системой собственных функций оператора
^=Д-fs(x), |
(2.6.5) |
где |
|
s оо = 2 |
(2.6.6) |
k=i |
|
и ей соответствуют собственные чцсла |
|
п |
|
|
(2.6.7) |
n s |
* |
В дальнейшем не требуется для собственных функций (2.6.4) и чисел (2.6.7) сохранять сложную индексацию, связанную со способом их построения, и удобно занумеровать их одним индексом подряд: Фу (х), xv ( v = 1, 2, . . . ) . Для отыс
кания собственных функций оператора (2.6.1) представим их в базисе |
{Ф„ (х )}: |
ОО |
|
# , ( * > = 2 ‘ ( A M |
(2.6.3) |
V = 1 |
|
— и будем искать коэффициенты этого представления aqv из условий приближения
функций (2.6.8) |
собственными |
функциями <I>V(х) синтезированного оператора |
(2 .6.5). |
|
|
Подставляя |
(2.6.8) в (2.6.2) |
и учитывая, чтоФу (х) есть собственные функ |
ции оператора (2.6.5), т. е.
ДФУ(х) = — s (х) Фу (х) + х,Фу ( х ) ,
получаем
00
|
V К — Ц) Ф„ (Х) = ts (Х) “ 1 (Х)1 2 aq & (х) • |
(2.6.9) |
|
V—1 |
v = l |
|
|
2 |
|
|
|
Обозначив h(x)=s(x)—l(x), из (2.6.9) находим |
|
||
|
S |
V К — М фу(х) |
|
|
А (х) = “ |
-----55------------------- |
(2.6. 10) |
|
|
2 «<,&(*) |
|
v= l
Левая часть (2.6.10) одинакова при всех q, следовательно,
оо
2 v |
к - |
i q) ф, (х) |
V = l |
ОО |
|
|
|
|
|
2 |
(х) |
откуда |
М=1 |
|
|
|
|
оо |
оо |
|
оо
2 аь к - *i) ф, (х)
V= I
00
S “ Ьф. w v =1
2 |
2 “ <7*^ (x* “ xv ~ |
+ |
(х) Фу (х) = 0' |
(2.6.11) |
V— |
I 1=1 |
|
|
|
Равенство (2.6.11) должно выполняться |
при любых x e R n, что |
будет иметь |
место в том случае, если равны нулю коэффициенты представления его левой части в любой линейно-независимой системе функций. В качестве таковой можно
выбрать, например, |
систему |
<ф,(х)), |
которая, |
как указывалось, |
образует базис |
|||||||
в L2(R"). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, полагая |
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(Ф1 (X), |
Ф„(*))“ 2 |
c /v.yФ/(*Ь |
|
|||||||
получаем условие |
|
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
||
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
a <7ia lv ( x t |
х » |
+ |
A j) С,- у , / |
( 2 . 6 . 1 2 ) |
||||
|
v = l |
|
г=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Помимо (2.6.12) |
|
неизвестные aqi должны удовлетворять условиям, вытекаю |
||||||||||
щим из ортонормированности (с весом) собственных |
функций оператора (2.6.1) |
|||||||||||
и равенства Парсеваля: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
С оо |
|
|
|
|
(//,, Н,) = f я, (х)н, (х) л = |
2 |
aV = |
/=с<7- |
|
||||||||
%=\ |
|
|
|
(2.6.13) |
||||||||
|
R" |
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
v |
аь = °* l £ q' |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
уУ=1 |
|
|
|
|
Объединяя |
(2.6.12) с |
(2.6.13) |
и учитывая, что в реальных условиях известен |
|||||||||
конечный набор |
собственных |
чисел |
|
получаем |
систему нелинейных урав |
|||||||
нений относительно неизвестных |
а |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
( М0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.6.14) |
|
|
Мо |
|
Мо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 a <?ia l v ( x i — |
x v — |
|
|
|
= ° > |
|
|||||
|
wv=l /=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
<?= 1 , 2 , . . . , |
Af0. |
/ - 1 , 2 .........М0/2 . |
|
|
|
|
|
||||
Подставляя найденные из нее величины |
|
в (2.6.10), определяем Л(х) и |
||||||||||
искомую функцию / (х) = s ( x ) —Л(х). Тем |
самым |
оператор (2.6.1) |
синтезирован. |
87
Ограничиваясь учетом лишь конечного набора собственных чисел из беско нечной их совокупности, допускаем в определении / (х) погрешность 6(х), кото рая имеет порядок
|
|
|
М0Af0 |
|
|
^<7“f“ ^1) St |
( K , X) , |
|
|
|
|||
|
|
|
^| |
aqia iv (*i |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
V=1 J=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
iMo/2 |
|
|
|
|
|
|
|
x) = еи. (X ) = (Ф7(x), |
|
|
|
|
|
|||||
|
Ev/ |
|
Ф; (x)) — |
2 |
Ci,t j Ф/ (X) • |
|
|
||||||
|
|
6o |
|
|
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
При Мь |
svI. (iV'o, |
x) -> О и 5 (x) |
-»• 0. |
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично, |
но |
более |
сложно |
оценивается |
погрешность в |
определении |
/(х) |
||||||
за счет неточности Лд. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Как видно из приведенного соотношения, погрешность синтеза /(х) |
опреде |
||||||||||||
ляется |
тем, |
насколько |
точно |
проведена |
аппроксимация |
(ф, (х), |
ф/ |
(х)) |
|||||
обобщенным |
рядом |
Фурье при |
конечном значении |
MQ. Задаваясь значением |
|||||||||
1К / (Л*.. х )||, |
можно найти необходимое число Мо< |
|
|
|
|
||||||||
Из |
вышеизложенного |
следует |
важное свойство |
спектральных обратных |
за |
дач: чем «беднее» исходный спектр собственных чисел, тем ниже точность реше ния задачи Штурма — Лиувилля. Поэтому, если известный набор собственных чисел Я, оказывается недостаточным для решения задачи синтеза с требуемой точностью, то необходимо дополнять его собственными числами какого-либо опе ратора в (2.6.1), первые М0 из которых совпадают с заданными Яд. Это накла дывает ограничения на возможность использования известных процедур решения обратных задач математической физики для синтеза СДУ.
2.7. СИНТЕЗ ОДНОМЕРНЫХ МАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ
2.7.1. Постановка задачи
Рассмотрим ситуацию, когда для моделируемого случайного процесса в канале известны только одномерная плотность вероят
ности |
wCT{x) |
и моментная |
функция второго порядка, например |
К х Ь ) . |
Если |
функция /Се(т) |
близка к экспоненциальной, то с уче |
том § 2.3 можно |
ограничиться синтезом марковской модели в клас |
се СДУ первого |
порядка |
|
|
at |
|
|
|
|
(2.7.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
приняв g { x ) * & V К, где К — коэффициент |
диффузии. |
|
|||||
Кроме |
того, из экспоненциального характера функции |
Кх {х) |
|||||
следует, |
что для |
оператора |
в |
(2.1.7) |
при п— 1 известно |
только |
|
одно собственное |
число fa. |
|
|
|
|
|
|
Когда |
известны wcт{х) |
и |
g {x ) = |
] / % |
то f(x) в (2.7.1) эле |
ментарно отыскивается с точностью до значения К. Знание кор реляционной функции Кх(х) необходимо для определения К.
88
Моделями такого типа можно описать амплитуду замирающе го сигнала во многих из указанных в § 1.5 стохастических кана лах, а также широкий класс аддитивных помех, включая низко частотные негауссовские, помехи, действующие в полосе стандарт ного канала тональной частоты, некоторые помехи в гидроакусти ческих каналах и др.
Рассмотрим три возможных подхода к решению поставленной задачи синтеза 1.
2.7.2. Синтез СДУ на основе решения обратной задачи Штурма-Лнувилля
В соответствии с [149] коэффициент 1(х) оператора (2.6.1) может быть най ден по формуле
dB (х ,
(2.7.2)
dx
где В (х, z ) — функция, удовлетворяющая интегральному уравнению Вольтерра второго рода
х
|
|
|
|
F(x, 2) + |
^ F (z, |
s) В (х, s) d s+ B (x , г) |
= 0 . |
|
(2.7.3) |
|||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
дги (х , z) |
|
|
СО |
|
sin J^XxsinV\: |
|
|
|||||
|
F (х, |
г) |
и (х, |
г) |
|
|
|
|
||||||||
|
= |
дхдг |
|
—эо |
|
|
|
d i (X), |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=Г |
|
|
|
|
|
|
|
где |
z (X) = |
о (X) — 2jn -V X, |
a a (X) — неубывающая спектральная функция опе |
|||||||||||||
ратора (2.6. 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Как уже указывалось, при синтезе СДУ (2.7.1) может быть известно только |
||||||||||||||||
одно |
собственное |
число |
Xj— коэффициент |
в |
показателе |
степени |
выражения |
|||||||||
Кх(х) вида (2.3.12). Оценим эффективность |
излагаемой процедуры |
в |
этом вы |
|||||||||||||
рожденном |
случае. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учитывая, что собственные числа оператора (2.6.1) при л=1 равны 2Х/А\ |
||||||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
F (х, z) = cos |
|
XjXcos |
|
Х^. |
|
|
|
||||
Легко показать, что при п=1 в |
(2.6.1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Их) = |
f2(*) + |
f' (х) К |
|
|
|
|
К |
d |
|
|
|
|||
|
|
|
к |
-- * где ' |
|
~ “Г |
"ЙГ1п*«<*>• |
|
|
|||||||
Решая |
(2.7.3) |
методом |
последовательных |
|
приближений, |
получаем |
для пер |
|||||||||
вого приближения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Ж 1) (х, z) — F (х, |
z), |
B(l) (х, |
x ) = F ( x , |
х), |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
F (х , |
д) = ~2 ~ ^ 1+ cos 2 |
|
|
|
Xtx^ |
|
|
|
|||
1Примеры построения |
СДУ вида |
(2.7.1) |
только по и)ст(х) путем подбора |
|||||||||||||
f(x) |
и |
g(x) |
рассмотрены |
в |
[142]. |
Результаты |
синтеза СДУ (2.7.1) |
|
изложены |
|||||||
также в |
разд. |
2.5.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89
1 d |
f* (x) + |
f' (x) К |
/(,) ( * ) = - T s r B(1)<x> x>= |
I * |
— ’ |
Если потребовать выполнения последнего равенства «в среднем», т. е. при усреднении либо невязки решения, либо ее квадрата, то
4 " j / " s i n 2" j / д- XjX = |
|
in ^ст (*) |
|
d2 |
|
(2.7.4) |
|
+ 2~dxTlnwcr |
(*)• |
||
|
Умножая обе части (2.7.4) на Д ост(х) и интегрируя в пределах 0—°°, при ходим к трансцендентному уравнению (предполагается, что указанные интегралы сходятся), из которого определяется К■ Подобные уравнения получаются и при других приближениях в процессе решения уравнения (2.7.3). Определяемые та ким образом оценки сходятся к величине Кг
Оценим точность определения К в первом приближении на следующем при мере. Пусть
о;ст (х) = / 2/тш2ехр ( — х2/2а2) , х €= [0, оо) . |
|
|
|||||||
Это распределение является частным случаем |
распределения Накагамн |
||||||||
(1.5.6) при т= 1/2 и описывает самые |
глубокие (в рамках |
этого |
закона) |
зами |
|||||
рания принимаемого |
сигнала |
(см. раз. |
1.5.2). Пусть |
а2=1, |
Xi = l. |
Тогда |
легко |
||
показать, что трансцендентное |
уравнение, следующее из (2.7.4), имеет вид |
|
|||||||
|
|
|
¥ (2 //К )= 4 К к , |
|
|
|
|
||
2 |
г |
а |
|
|
|
|
|
|
|
Г |
dt. Решая его, получаем |
1,8. Точное значение |
К = 1 |
||||||
где ЧР (z) = -у — |
I е |
|
о
(см. разд. 2.5.4), поэтому погрешность равна 80%.
Такой результат является вполне естественным, так как легко показать, что невязка решения в первом приближении недопустимо велика. Второе приближе ние уменьшает величину К, но незначительно, т. е. процедура решения медленно сходится.
Из результата приведенного примера следует, что эффективность использо вания изложенной здесь процедуры синтеза в случае вырожденной спектральной функции невысока, что является следствием «бедности» исходного спектра соб ственных чисел. Этот факт заставляет искать более простые и конструктивные методы синтеза в указанном случае. Отметим, что при полном задании функции о(к) метод Штурма — Лиувилля является конструктивным [149].
2.7.3.Определение коэффициента диффузии по показателю экспоненты
Всоответствии с (2.3.10) коэффициент при |т| в показателе
экспоненциального представления |
корреляционной |
функции име |
|||||
ет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
-= п й Г"(0) f |
f- ( 0 ) = — |
d* |
, |
( х ) |
lnw„(x) |,=,1. |
|
‘кор |
3! |
' |
2 |
I 31 |
|
*=, dx‘ |
(2.7.5) |
|
|
|
|
|
|
|
90