книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

Таким образом, правые части выражения (6.6) при любых значениях ak, bk, ft являются геометрически допустимыми пере­ мещениями. Вариации их дают:

N	N	N
8« =	u^bak] 80= V vWbbk) 8ш =	V w^bCk-	(6.7)
Л=1	k=\	A=l

По выражениям (6.6) и (6.7) подсчитываем деформации и их

вариации. Используя	соотношения упругости для оболочек,	под­
считываем усилия и	моменты.
Внося полученные выражения в функционал (6.4) и вычислив
все интервалы, придем к выражению вида
N		(6.8)
2 [Lk (at, bk, ск) 8а/г-Ь Mk (ak, bk, ck) bbk-\- Nk(ak, bkt ck) 8ft}=0,

где Lk, Mk, Nk — известные функции переменных a*, bk, ft. Равенство (6.8) должно выполняться при любых значениях

вариаций bau, bbk, 8ft. Отсюда		приходим к системе 3N			уравнений
с 3N неизвестными
Lk (cik, bki ft) = 0; Mk (au,		bk, ft) = 0;	Nk (ak, bk,		ft) = 0
(A = 1 , 2 ....... N).					(6.9)
Решив систему нелинейных		уравнений	(6.9),	найдем постоян­
ные ak, bk, ft. Подставив	их в (6.6), получим			приближенные, в*
общем случае, выражения	для	перемещений. По перемещениям
можно с помощью формул, связывающих деформации					с переме­
щениями, подсчитать деформации, а далее			с помощью		соотноше­
ний упругости — усилия и	моменты.

Погрешность вычисленных методом Ритца величин по сравне­ нию с истинными будет тем меньшей, чем больше аппроксими­ рующих, функций взято в выражениях (6.6) и чем более удачен выбор координатных функций. Увеличение числа координатных функций повышает вычислительные трудности. Поэтому при реше­ нии задачи методом Ритца необходимо из каких-либо соображе­ ний выбирать координатные функции, чтобы их было по возмож­ ности меньше. Координатные функции иногда удается подчинить некоторым дополнительным условиям, например, чтобы они удов­ летворяли каким-либо статическим граничным условиям. Хотя последнего можно и не делать, однако удовлетворение дополни­ тельным условиям уменьшает произвол в выборе координатных функций и может улучшить сходимость метода. Метод Ритца существенно зависит от удачного выбора функций «(0), w<°>. Они должны улавливать основную часть искомого решения, удов­ летворяющую граничным условиям. В качестве таких функций можно выбрать какое-либо приближенное решение задачи. Тогда суммы в (6.6) будут представлять собой поправки к приближенному решению. Большинство задач теории оболочек содержат быстро

затухающие решения — краевой эффект. Поэтому при применении метода Ритца в функции и<°К и<°>, т>(0) необходимо включать краевой эффект.

Потребуем, чтобы при геометрически возможных перемеще­ ниях в форме (6.6) выражение полной энергии получало стацио­ нарное значение. Поэтому для получения системы уравнений (6.9) можно использовать выражение (6.1). Для этого по (6.6)

подсчитываем деформации и с	помощью	соотношений	упругости
усилия и моменты. Подставив	их в (6.1)	и произведя интегри­
рование, получим полную энергию упругой оболочки			как функ­
цию параметров a*, bk, ck, т. е.
П = П (ak, bk, ck).			(6.Ю)

Коэффициенты ак, Ьк, Ck могут быть теперь найдены из условия минимума выражения (6.10). Необходимым условием экстре­ мума функции многих переменных является выполнение равенств:

дак ~ U* дЬк

(fc=l, 2,

•* N).

(6.И)

Пример 1. Рассмотрим деформацию абсолютно гибкой квадратной пластины (мембраны) со стороной 2а, толщиной Н, защемленную по краям, под действием

равномерно распределенной нагрузки

qт =

q. Основное допущение для

абсо­

лютно гибких

пластин Du =

0.

исходя из (6,1),

(6.2) и (1.89), при

Выражение полной энергии мембраны,

Д — Вг=1, а — х,

р = у примет вид

Н = %

Î

Н

е1 +

е2 +

2^ ie2+

Y (1 — v)

—

î

î

qwdxdy.

(6.12)

" —o

—a

—CL —a

Перемещения должны удовлетворять граничным условиям:

и =

w —0

при

х =

± а;

V — W= 0

при

у =

± а.

Из симметрии нагрузки и граничных

условий можно

заключить, что w явля­

ется четной функцией переменных х и у, и и v

нечетные функции х, у соответ­

ственно.

Положим:

Решение задачи найдем в первом приближении.

и =

XX

Tiy

о, sin— cos —•;

XX

,

пу

XX

ху

(6.13)

t » = 0, COS —

Sin

W —С, COS 2^ C0S2Â*

где о, и с, пока что неопределенные постоянные.

Учитывая,

что

du

]

fdw\2t

dv

1

[ддЛ* .

du

dv

dwdw

Н = дх +

'2[Ш )

’

=

+

•

<я==ду +

д х +

дхду 1

(6,14)

находим:

COS *1

„2„2

81 = 2 2 COS И

+

I

f i sin®2? cos® ÿ ;

a

a

a

8a®

2a

2a

		2	2
e2 = 3 cos ™ cos ^	+	71 cf
		1 Л cos2ï f sin2^ ï
		8aa		2a	2a
		*2cf
» = —Î!£isin—sinS + 12 sin—silÆ
a	a	16a®		a	a

Подставим эти выражения и w из (6.13) в (6.12) и произведем интегрирование.

При V= 0,25 получим

	5тс4С1	17г.а сцс]	'35к2	80\|	16а2	(6.15)
	64 о2	6 ~ Т + °1	4	+ Т l \ ~	qCl~ & ‘

Необходимые условия экстремума (6.11) для функции H = II(ai, сх) дадуг

уравнения:

	1^2.£ 1 -2 ах/3- ^				+ Ё0)=0|
	6	a	\	4	' 9 /
	Eh /5п* ,ci		__17л2	ûjcA __		I6a2	(6.16)
	7^5 (“б" ‘ а2		“3		сГ) "	q
Решая их, находим
а* = 0,147 — =		0,095а			Ci = 0,802а		(6.17)
	а
Подставив ах	и сх в (6.13), найдем перемещения,					по которым легко вычислить
деформации и растягивающие усилия.							пластины:
Прогиб,	деформации	и растягивающие напряжения в центре
	w0 = w (0,0) =		Ci = 0,802a

ef = ea= î£ î = 0 ,4 6 2 ^ 2l

0 “ у ~ 7 а (Si + v £а) =	0,616 —	? = 0,396 y	f 2 ^ 1 .
Пример 2. Рассмотрим деформированное состояние			прямоугольной равно­
мерно нагруженной пластины со	сторонами	2а и 2ft	толщиной А. Пластина

жестко защемлена по контуру.

В предыдущем примере аппроксимирующие функции выбирались в виде

произведений тригонометрических			функций.			Используем		теперь в качестве
координатных функций полиномы.
Положим:
и = х (а2— х2) (ft2— у*) {ai +					a2t/2+ а3х2+ а4х2у2);
V= у (а2— х2) (ft2— у2) (ftx +					62х2+ 63у2 + Ь ^ у2)',
w — (а2— л2)2(ft2— у2)2(сх +						с2у2+	с3х2).			(6.18)
Граничные условия
u =	o =	t o = 0i =		0 при х =s ±			а,
и =	о =	ш = & 2=		0 при		{/ = ±ft
при таком задании перемещений удовлетворяются автоматически.										(6.14)
Подсчитаем по перемещениям			(6.18)	деформации			согласно		формул
и подставим их с учетом (1.89)		и (6.2) в выражение					(6.1).	Из	условий	(6-И)

получим II нелинейных уравнений относительно 11 неизвестных ak, bk, dk.

Поскольку qt = q2 = 0, то три уравнения с q содержат члены третьей степени относительно параметра ск. Восемь уравнений линейны относительно ak и Ьк

в квадратны относительно постоянных ск Эти последние разрешаем относительно

ак и bkt а затем подставляем в первые

три уравнения. Таким образрм, полу­ чены три уравнения третьей степени от­ носительно трех неизвестных Cj, с2, с3. Эти уравнения решаются в каждом кон­ кретном случае одним из численных методов, например, методом Нью­ тона. На рис. 6.1 представлены

и .	^
/ /	J _
Г

щ

ч

^>1л!л1\1/'!4л!л

\y

i

il«àl Cï-

! 1n i a

Il b //

*:

Y		1
				О	wo				Р
	100	200	р					200
	Рис. 6.1				Рис.		6.2
зависимости безразмерного прогиба £тах = С0=					w(0,0)	центре пластины) от
					— — (в
нагрузки P	об4				• Ь		2	1
	М Для	различных значенийотношений — =					1; у		= 0,3).
_			b			решению		линейной
Прямые линии при тех же параметрах — соответствуют
теории. Кроме того, на этом же рисунке				нанесены кривые при — = 0					(гл. 2,
,		ь		2					к значе­
п. 1). Из рисунка видно, что при “			<	g" прогибы С0 весьма близки
ниям, полученным для бесконечно длинной пластинки.									усилия,
Зная перемещения,		по известным формулам найдем деформации,
моменты и,	наконец, напряжения. Наибольшие				напряжения будут в серединах
длинных сторон пластины (при х —0). Их безразмерные значения аг =								са2(1—V2)Ô2
								------—

по линейной и нелинейной теории даны на рис. 6.2. Детальные исследования показывают [13], что напряжения получаются несколько завышенными. Это, ло-видимому, объясняется тем, что для аппроксимации a, v, w выбирается ограниченное число членов Степенного ряда.

Пример 3. Рассмотрим £72] осесимметричную деформацию сплянной круг­ лой пластины радиуса a G защемленным краем под действием равномерной

нагрузки q. Положив в (1.65) и (1.58)

— pi — 0» п е г , р = 0, А — it В — г

и использовав (1.87), при Т —0 для осесимметричного случая получим:

,	du	1 fdw,2	5
NÎ = DN (si + v e2); 4==-fr + Y \d r )
N 2 -	DNi&24- V£j)j E2 =	y 5
Mi — &M(*i+ « J »		î
Ma = &M	xa —— T ~dr'		(6.19)
Полная энергия деформации пластины с учетом приведенных зависимостей

П - * ° * Л ( $ , + ( f S j , + * 7 £ 5 ] ' * +
	*0
h"D" Î I [ т + т ( £ ) 7 + £ + 2Ч				[ |	+ т (у	)2] ) ^ - 2" 5 ^ -
О						«	/й О
						о	(6.20)
Зададим перемещения и и г и в			виде
« =	г (а—г) (ai + aar);			w =	q ^1 —	.	(6.21)
При таком задании перемещений			и и и>	удовлетворяются граничные			условия
защемления:			dw
	и = w =			при г = а.			(6.22)
			у - = 0
Подставив перемещения в функционал полной энергии (6.20) и проинтегри­
ровав полученное выражение,		придем к (v = 0,3)
П = у ^	С)2+	п° ма3 (0»250ÛI а2 + 0,1167af а4+
			ajcf • 8		•0,00682. 8а2С2 -Ь
Ч- О.ЗООа^а3— 0,00846
			‘1		1
	+ 0,00477 • 64 ü4				g icqCy		(6.23)
Использовав условие (6.11), получим систему уравнений
у %DM Я +		%DN a? ( - 0,00846 . 1б е л				• — +
+ 0,00682.					Ô\\	KQ
		16cia2 + 0,00477.256 - j				« 3*:!

$

0,250 • 2aaai + 0,300a2a8 — 0,00846 - 8 - 1 = ° ;

0,1167 « 2«*a, + О.ЗООя^а3— 0,00682 * 8с\ = 0.

(6.24)

a i — 1,185 -g I са ------ Ь 7 5 ^ - , Р	да4
	— $ ф м ь»	—
		(6 25)
Со + 0,488CQ =	Р	(6.26)
Кубический член зависимости (6.26) учитывает влияние		мембранного натя­

жения на равновесное состояние круглой пластины. По последней формуле

можно построить зависимость Р = Р (С0). Зная перемещения				и	и	и>,	находим
по формулам (6.19) усилия и моменты.		оболочка			с	толщиной А,
Пример 4. Пусть пологая сплошная сферическая
пролетом 2а и стрелой	подъема / загружена равномерной		нагрузкой				Q, прило­
женной по окружности	радиуса Ь, шарнирно оперта	при	г =	а [72].			Требуется
определить зависимость между прогибом и нагрузкой.
Положим

W=a{l —Ра) f1 —

v

J

P =

А

iR97\

L

5 +

a

(6.27)

При i = 0,3

w =

Ci (1 — pa) (1 — 0,2453p2).

Прогиб в таком виде удовлетворяет условиям при г = а

п

ял

п

(d2w

V ito\

rt

w= 0,

M

= DMI

_i_----- I = 0.

(6.28)

M \d r* ^

r dr)

Подставив w выравненна (1.114), которое в данном

случае принимает вид

/

d i d

\

2frdw

1

(dw\2 _ n

M dr~ F d r\

1 ) "^ a2 dr

2

\ dr/

проинтегрировав его и удовлетворив условию

Ni — 0 при г =

a, получим

Ni =

—

(0,54088 — 0,622б4ра +

0,08188р4) +

+ hEci

(0,29589 — 0,38828ра +

0,1011бр« -

О.ОЮОЗр").

(6 2Э)

Из соотношения

N3 = dr W

(одно из уравнений

равновесия (1.83)) находим

/Vfl =

ihEc-i

1,86782р2 + 0,40940Р4) +

'

__(0,54088 -

+ “ JT (0,29589—1,16484Р2+

0,50580р4 — 0.07021Р15).

(6.30)

По полученным данным легко вычислить полную энергию (6.1),

П = —* ^

QCo + 0,3300 —

tjj +

nEhb

(0 ,0 4 1 8 4 ^ -

0,08500/еСВ +

0,043351

$,

(6.31)

где

_Fa3 (1 -

«а) (1 __ 0,2453а2);

		b	_	а	2f
		» = - ;	е = 2жь<п c , =	f	; * = • £ .
Из условия	дП	0 (см. (6.11)) имеем
	=
	Q =	(0,6600 +	0,08368*2) С0— 0,2550*Cjj + 0,1734t(J			(6.32) •

Таким образом, получена зависимость между прогибом в центре оболочки

Щ и внешней нагрузкой Q. Зависимость Q от Со для различных * приведена на рис. 6.3.

		'«Ай
	h	6
		Рис.	в.4
Исследуя зависимость Q = Q (С0) на экстремум, легко		найти	значения Q,
при которых происходит «хлопок» и «обратный хлопок» (потеря			устойчивости
оболочки). Для данного случая.
Q-iax =	(0.3236А+ 0.0001588*3) + 0,00774 (** — 16)3/2		(6.33)
л	(0,3236* -f 0,0001588*3) — 0,00774 (** -
Qmin =		1 6 )3 /2 .

Зависимости Qmax и Qmin от * даны на рис. 6.4.

Замечания. 1. Как видно из рассмотренного примера, метод Ритца можно применять также с использованием некоторых известных зависимостей теории пластин и оболочек (например, некоторых уравнений равновесия, соотношений неразрывности).

2. Как видно из рис. 6.4, при * > 8 QmIn > 0. В действительности при

более точном задании прогиба w, т. е. при большем числе координатных функций, Qmin увеличивается и представляет положительную величину (13).

8. МЕТОД РИТЦА ДЛЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ

Уравнение Лагранжа для пологих оболочек. Нели рассма­ триваются оболочки переменной жесткости или неоднородные по толщине, то выражение уравнения Лагранжа (6.4) в явном виде, т. е. в перемещениях достаточно сложно. Поэтому на практике часто применяются соотношения и уравнения для пологих оболочек (см. п. 3, гл. I). Кроме того, в уравнениях

для пологих оболочек необходимо аппроксимировать всего дзе функции — прогиб w и функцию усилий Ф.

Приведем дзывод уравнения Лагранжа для пологих оболочек [33]. Предположим, что рассматривается такая оболочка, для которой можно пользоваться уравнениями упрощенного вариан­ та теории гибких оболочек, описанного в первой главе (п.З).

Примем, что механические характеристики и толщина обо­ лочки суть величины переменные:

Е =*Е{a, P); h = h (а, |3);	v = vo “	const.
Следовательно, жесткости DN и DM из	(1.85)	также будут пере­

менными величинами.			Начальные несовершенства оболочки будем
считать	известными	и	заданными		как		начальная	погибь	wo =
= wo (а,	р). Деформации срединной					поверхности зададим в виде:
	ei = *| +	-g-ft? + ftift?;			Е2 = е2 + у $2 +			^2^2",
	Ш= 1012 + ~Б--- Ь ®$2 +					th$2 +			(6.34)
где ft? и	ft2 — углы	поворота, обусловленные начальными							поги-
бями (несовершенствами)				оболочек;		1/Яар— геодезическое			круче­
ние. Если координатная сеть на					оболочке совпадает с линиями
кривизн	оболочки,		то	1/Яар=0.		Остальные деформационные
величины задаются		формулами			(1.58), с той лишь разницей,
что радиусы кривизны R\ и Яг					необходимо заменить соответст­
венно на Яа и Яр — радиусы кривизны							по направлениям		а и р .
Введение начальной погиби. WQ дает							возможность исследовать

весьма пологие оболочки, исходя из основных уравнений теории гибких пластин [38J.

Предположим, что участки края, на которых не заданы про­ гибы w и углы поворота ftv, свободны от усилий. Все обозна­ чения (если особо не оговорено) совпадают с ранее введеннымй.

Вариацию потенциальной		энергии (1.88)	можно записать	в виде
суммы
где	Ы/ = Ьии + Ьис,			(6,35)
	я
büu =		+ М2Ь%2+	2# Вт) ABdadfl\
	G
Ъис— Я (N iBei -f- JV2Ве2 -{- 58(Ü) АВdadfl.				(6.36)

Первое слагаемое в (6.35) соответствует деформации изгиба, вто­ рое— тангенциальной деформации срединной поверхности.

Учитывая, что усилия в срединной поверхности выражаются через деформации, вариацию Ы!с запишем в виде

W c*=b]j(NîEi -Ь Л^2«2 Ч- 5(Ü) ABdadfl —

— (eiBiVi -f e2BN-2 + (DBS) ABdadfl.

(6.37)

Формально выражения (6.36) и (6.38) равносильны, но ис­ пользование формулы (6.37), где варьируются уже усилия, при­ водит к вариационному уравненпо смешанного типа. Так как тангенциальные деформации с помощью соотношений упругости

заменятся	через	усилия, то варьироваться					будут функции уси­
лий и нормальный прогиб.
С помощью обычной процедуры получения уравнения равно­
весия из уравнения Лагранжа [81] Для						тангенциальных факто­
ров Пе полной энергии				найдем
8ПС=	8	(Nlei ф- N^2 4- 5со — q\u — <721») ABdadfi —
— J(№,и, + süu/) dS(] =				— 8 JJ{з е [ ~ s r —			Nl +	+
+ * и ^ ь № - * * + ^ ) + 4 *°+
+ i »Я{*[(*£)’+					-%]+4	Ш + 2 шж]+
G
, 9 « 1	Гdwdw	, d w		дщ	dw0 d w ] \ . r		. ( Ç f N l N2
	wdG 4- 8f [				— JVÎ) «v 4- (Sv — 5v) ttt\ dst
				g	'
				(dG =* ABdadÇ).				(6.38)
Выражения в фигурных скобках первого и							второго интегралов
равны нулю, так		как	они		выражают собой уравнения равнове­
сия рассматриваемого			варианта теории оболочек (см. п. 3,					гл. 1).

Контурный интеграл также равен нулю: он выражает граничные (статические) условия для тангенциальных усилий.

Преобразуем далее оставшиеся члены в (6.38). Для этого к третьему слагаемому применим интегрирование по частям, а к

четвертому—формулы Кодацци — Гуасса			(1.46).	Окончательно
получим		'
— L\ (ю2, Ф) +		F (Юг) +	2	р ] wdG 4-
+	т ' [ ( в . £ +	л ? ) « * .		(6.39)
где	w 4- WQ\ W2 = w 4- 2ауо;
wi

' ( « - " т й + и г З - " *

	л	1	(д		В	d_j_± . J.				.i.V
	û "" АВ (da			*	A	’ da		dp *	fi	dpj’
A	1 r à В д			д А д				e _ J _ Э_ , 3.
ûft “	ЛЯ [da ЛЯр да +			dp BRa dp +				да Ra?dp dp Ra? да J’
	II Ob	n) =	t “« *^pp-- 2t|»apT3«p + фрр • Ъ*\
	«		1	d	j 1	dz\		1	d4 dz,
	Zaa ==		Л* dâ		Л* даJ		~~ д в - dp			dp’
	»	__	l	д	/ 1	dz\	,	1	dA dzt
	Za9==~ 1 F a \ B					dp/ +		A*B dp		dp;

-__1 d_(±dz\____ 1_ dB dz.

Zpp—	fl dp [ B dpj	A 2B да da>	(6.40)

P — потенциал	объемных	сил	в срединной поверхности,			Ф —
функция усилий,	причем:
Ni ■* Ф«а + Р\ S = -г ФаР,				N2	— Фрр + Р;	(6-41)
	1	дР		1	дР
	А да »		q2 ~	P	dp*	<6,42)

Контурный интеграл в (6.39) равен нулю: на закрепленной части

w=	dw	=	^	^
	0, ^		0, на свободной Qy = О, S v = 0.
Внося		в	выражение

Я (MiBxi + МгВхг + 2НЬх) dG —

G

— Я M N 1+ es8N2 + w8S) dG

G

вместо моментов и деформаций их значения из соотношений упругости (1.87), а вместо усилий их выражения через функцию усилий Ф согласно формул (6.41), преобразуем соотношение (6,4) с учетом (6.35)—(6.40) к виду

8ГТ = 8 J J | у R (w,	w) + R(w, Ф) — у R (Ф, Ф) -f- Mràw —
G
— N °ДФj dG — 8	J J ДЙФ — Il ( y W2, ф| + y P (W*) +

+(^+i) p+?’J®d<3+

+ 4

+ QÎt») dst ™ 0.

6ЛЗ)