книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ
..pdfb
t m l = Vo|32 J ClmCl/dÉ;
a
|
b |
|
S |
N |
* |
b |
„ |
|
|
|
wmi (13) = 2vo f ClmCl/dÇ 4* |
фя Cfl)Î Ÿl/ClmCl/dÇ; |
|
|
|||||||
|
a |
|
t—I |
|
a |
|
|
|
|
|
|
ЛГ |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
U,ni (та) = 2 fS |
+2/ (r?) î fuCi„.Ci/d?; |
|
|
|
||||||
|
*=l |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
N |
|
b |
|
|
|
|
Vniiii)= vo|3” 2f CimCi/Æ— S |
С2/ (4)ÎCimCi^i/d5; |
|
|
|||||||
|
a |
|
*=l |
|
a |
|
|
|
|
|
G, (TJ) = |
J pCi/dÇ |
(/ = |
l, |
2, |
|
Af). |
|
|
(7.47) |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ясно, что коэффициенты (7.47) |
зависят от выбора систем функ |
|||||||||
ций Ciт и ф>î,л. Последние, как известно, |
должны удовлетворять |
|||||||||
граничным условиям |
на краях £ = |
а |
и £ =* b. В отличие от |
ли |
||||||
нейных задач, коэффициенты (7.47) |
зависят также от |
параметра |
||||||||
нагрузки, который входит в функции |
со |
звездочкой. |
Величины |
|||||||
со звездочками являются суммами функций, |
полученными систе |
|||||||||
мой к рассматриваемому, n-му этапу нагружения |
и вычисляемые |
|||||||||
по формулам вида |
|
f—î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.48) |
||
|
F*m = % F « A t |
|
|
|
|
|||||
|
|
Дг=I |
|
|
|
|
|
|
|
|
где Fmk — значения функций, |
вычисленные |
на |
&-ом |
этапе |
на |
|||||
гружения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, получена линейная система 2N обыкновенных
дифференциальных уравнений. |
Некоторые |
задачи о. |
|||||||
Решение задач |
в первом |
приближении. |
|||||||
деформации гибких |
пластин и оболочек исследованы в первом |
||||||||
приближении, |
т. е. |
когда |
в |
выражениях (7,44) оставлено лишь по |
|||||
одному |
члену |
(N = |
1). |
Полагая в (7.46) |
m=*j= 1, |
придем к- |
|||
следующей системе |
уравнений: |
|
|
||||||
, iv |
|
_ |
f |
d2 |
4- |
|
|
|
|
Ь |
- |
— а, |
bi Ал |
dl)2 —/и , + |
|
||||
|
dif |
|
|
||||||
C21 = — T |
— |
|
|
|
|
+{^W[ d |
2 + и \ ц + |
G|j. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.49) |
Коэффициенты этой системы вычисляются по формулам (7.47) при |
|||||||||
т = /== 1. |
Система уравнений (7.49) сводится к нормальной форме |
Коши, решаемой методом Рунге—Кутта. Решение по переменной '<31 отыскивается по 20 точкам.
Результаты численных расчетов о целью определения влияния величины ступени нагружения на величину прогиба Со в .центре
и верхней критической нагрузки рь для шарнирно подвижно опертых по контуру пластин и сферических оболочек под дейст вием равномерно распределенной нагрузки р — 49,6 приведены в табл. 7.5 и 7.6 соответственно. Величина приращения нагрузки за давалась одинаковой на всех ступенях нагружения. Она находи лась из решения первого нелинейного этапа, при заданном прогибе ь центре пластины.
Из табл. 7.5 видно, что величина ступени нагружения незна чительно влияет на значение прогиба СоЧисло этапов нагруже
ния (и время |
счета) |
изменяется |
в несколько |
раз. |
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 7.5 |
|
|
0,100 |
0,131 |
0,150 |
0,200 |
0,254 |
Со |
1,595 |
1,595 |
1,606 |
1,619 |
1,631 |
р =-• 49,6 |
|
|
|
|
|
Число этапов |
22 |
17 |
15 |
11 |
9 |
натружения |
|
|
|
|
|
Высшие приближения. Результаты численного исследования сходимости метода Власова—Канторовича в высших приближениях для пластинок, сферических и цилиндрических оболочек при раз личных граничных условиях под действием равномерно распре деленной нагрузки приведены в [49].
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 7.6 |
|
Pf = |
Ра |
15 |
|
|
25 |
|
|
0,015 |
0,03 |
0,06 |
0,015 |
0,03 |
0,06 |
РЬ |
102,7 |
104,0 |
109,9 |
375,2 |
378,7 |
394,0 |
Полученное приближение считалось практически точным", если последующее приближение не улучшало искомых функций и их производных. В качестве аппроксимирующих функций выбиралась система {sinm^î-}. Эта система удовлетворяет условиям шар нирного опирания, скользящего защемления, жесткого защем ления и свободного опирания. В силу ортогональности системы функций на [0, 1] искомая система уравнений может быть разре шена относительно старших производных. Последнее значительно упрощает численное решение задачи. Анализ численных резуль татов показывает [49], что метод Власова—Канторовича сходится равномерно и устойчив до Со < 6. Практически точные результаты
находится поддействием поперечнрй нагрузки qv Положим в урав нениях (1.124):
DN — const;. DM= const; гт— *r = 0; h — const.
Вводя безразмерные величины:
|
|
Г |
w |
t |
. х |
|
«_■ |
a = iL. |
3 = i |
|
|
|||||
|
|
С= Т ; ï = â ; ^ |
6’ а |
b* Р |
Л* |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
<7^4 |
|
U |
|
|
V |
|
|
|
|
(7.50) |
|
|
|
|
|
Р “ |
|
|
А ’ |
° |
“ |
h * |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
уравнения |
(1.124) |
приведем к виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
* + |
|
|
|
|
|
|
i * |
ди |
|
1 |
/ôC\2 |
, |
dv |
, у а 2 |
||
|
5с ^"4 |
|
|
5-г)4 |
|
“ае |
|
2р (ае) |
~ ^v a ôtj |
2р х |
||||||
9Г |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
х |
|
d \ |
. |
2Г |
dv |
, |
а 2 (дЛ 2 . |
|
du |
. |
V |
/ aC |
V2лдI \ _ , |
|||
(Г ÔÉ2 |
|
|
а ÔT) + |
2р Цj + vd i |
+ |
2р ^ dS |
j |
дП2 + |
||||||||
|
|
—ô + а2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
п |
|
vï « Г» |
_L ô®" а- |
|
|
|
|
|
^ |
р |
|
|||
|
|
+ ( l - v ) a ^ + l r + T ^ - J 1 ^ r = P , |
|
|||||||||||||
д2и |
1 — v |
_2д2и , |
l - у 2_a2t> |
, |
1 d td \ |
, |
1 - и „ ?дса2с |
|||||||||
W |
+ ~ |
|
|
9-rj2 |
2 |
|
5ïdî) |
|
p dStfÇ2 |
"* |
|
2 |
дцдЬдт] |
|||
|
|
|
|
|
' |
2p |
ЛС - |
|
u * |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
^ÔT]2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
,ô2u |
1 — VÔ2Ü |
4. n |
i |
Ô2W |
|
+ |
|
â 2« |
3 d t |
fl2C |
|||||
a" |
+ |
|
|
4\ 2JL _j_ 1 ~rv Л |
° u |
. a |
№ 94 . |
|||||||||
|
|
|
|
962 + (1 + |
v)d№) + |
~ |
|
a щ |
|
+ r ^ ô ^ 2 + |
||||||
|
|
Ч" |
i + y, aç |
dh . |
i + v |
^ac |
a2t _ A |
|
(7.51) |
|||||||
|
|
2P |
a dç d&r) + |
2? |
|
dn dÇ2 |
~ |
|
|
|||||||
Граничные |
условия в безразмерных величинах запишутся так |
|||||||||||||||
|
|
|
ы = и = Ç=^=±=o при $ — 0; |
1; |
|
(7.52) |
||||||||||
|
|
|
— *С— |
|
ЛУ |
|
|
|
|
0; |
1. |
|
|
|||
|
|
|
ы = у = С= |
— = 0 при т) = |
|
(7.53) |
||||||||||
Решение системы уравнений (7.51) |
ищем в |
виде: |
|
|||||||||||||
|
|
|
W |
|
|
|
|
I |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с = |
.2 <рк (£) Т« (ч); |
и —УXii(Ç)X , fo); |
|
|||||||||||
|
|
|
J=1 |
|
|
ЛГ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.54) |
|
|
|
|
|
|
|
2ф н(6) »l>2t-(r?)« |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
t=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задаем функции cpu(S), хп(£)» фиф» удовлетворяющие усло виям (7.53). Умножив далее уравнения (7.51) соответственно на функции <pi*0i), x**(S). (0 и проинтегрировав по £ в пределах [О, 1], придем к системе нелинейных обыкновенных дифференци-
альных уравнений. Решаем эту систему уравнений методом ко нечных разностей. В результате замены производных конечными разностями получим систему нелинейных алгебраических уравне ний. Решаем последнюю методом Ньютона по алгоритму, описан ному в [48]. Найденные функции 921 fa), Х21 fa), ф21fa) используем теперь в качестве заданных и вычисляем уточненные функции с помощью метода Власова — Канторовича по переменной ig на отрез ке [0, 1] и метода конечных разностей по переменной i Процесс таких последовательных приближений продолжаем до тех пор, пока не получим на m-ом приближении определенной точности:
|
|
|
I /и (?) /?. (ч) - /ГГ' (Î) Я Г 1(ч) I < |
е, |
|
||||
где |
f и |
и |
/21 — одна |
из |
функций |
<рл, Х п , |
фи. |
Затем полагаем |
|
п = |
1 |
и с |
помощью |
той |
же процедуры находим |
f 22fa), 912fa) |
|||
и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Процесс продолжаем |
до i — N. |
Уже |
первое |
приближение, |
как показали исследования, дает практически достаточную точ ность [48].
В табл. 7.8 приведены значения прогибов С при определен ных значениях усилий Р при а = 1, |3 = 100 в двух приближе ниях. При применении метода конечных разностей отрезок [0, 1]
разбивался на 20 равных отрезков. Как видно из таблицы, |
уже |
|||||||
первое |
приближение дает хорошее совпадение |
результатов. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
7.8 |
|
п |
Р = 312 |
624 |
936 |
1248 |
1560 |
1872 |
2184 |
|
1 |
0,36916 |
0,64469 |
0,84879 |
1,00953 |
1,14240 |
1,25645 |
1,35665 |
|
2 |
0,36993 |
0,64630 |
0,85133 |
1,01312 |
1,14711 |
1,26240 |
1,36380 |
Рассматривалась [48] также задача при
<7Т= Q s in -- ^ c o s ^ - (s* = 1, 2, 3; sy = 1, 2, 3).
Только при |
sx = |
1, |
sÿ = 3 и s* = 3, sa — 1 |
коррекция второго |
||||||
приближения |
становится |
ощути |
|
|
|
|||||
мой для |
максимального |
значения |
|
|
|
|||||
прогиба. Поправки соответственно |
|
|
|
|||||||
составляют |
13,3% |
|
и 9,8%. Для |
|
|
|
||||
остальных сочетаний sx и sy уточне |
|
|
|
|||||||
ние второго |
члена не |
превышает |
|
|
|
|||||
1,6%. |
На |
рйс. |
7.7 |
приведены |
|
|
|
|||
зависимости |
С(Q), |
где |
р |
|
|
|
||||
Q = jg, |
|
|
|
|||||||
полученные |
по |
методу |
конечных |
выше методике |
[48] (кри |
|||||
разностей (кривая |
1), по приведенной |
|||||||||
вая 2) и по методу двойных рядов |
(кривая |
3), где |
наблюда |
|||||||
ется хорошее совпадение |
результатов. |
|
|
Глава 8
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Метод конечных разностей (метод' сеток) широко применяется при решении задач математической физики, в. том числе для ре шения задач теории упругости и теории оболочек, и является приближенным.
По методу конечных разностей область G, в которой ищется решение, заменяется сеточной областью Gx, граница области Г заменяется границей сеточной области Гх; исходные дифференци альные уравнения и граничные условия аппроксимируются (в уз-, лах построенной сетки) конечно-разностными уравнениями, гра ничные условия — условиями на границе Гх.
Итак, основная идея метода конечных разностей заключается в том, чтобы задачу теории пластин и оболочек в дифференциаль ной форме привести к алгебраической системе уравнений с коли чеством уравнений N\ti, где N \ — число узлов, п — число диф ференциальных уравнений исходной задачи. Для нелинейных за дач теории оболочек система уравнений оказывается нелинейной. Как правило, для получения достаточной точности решения необ ходимо область G разбить на большое число, ячеек. При этом получаем систему алгебраических уравнений достаточно высокого порядка. Структура этой системы уравнений имеет некоторые специфические особенности. Матрица коэффициентов линейной
части является редко |
заполненной |
матрицей |
ленточного |
типа, |
||||||||
т. е. такой, что ее элементы ац = |
0 для |
всех |
I/ — /I > |
к\ |
величи |
|||||||
на к легко находится из формы |
разностного |
оператора, |
|
число |
||||||||
диагоналей в'полосе равно 2/г+ 1- Поэтому |
матрица |
линейной |
||||||||||
части уравнения иногда называется (2k -f 1)-диагональной. |
|
|
||||||||||
Эта специфика системы уравнений при решении ее итерацион |
||||||||||||
ными методами дает, возможность применять при каждой |
итера |
|||||||||||
ции (для линейной системы |
уравнений) |
хорошо |
разработанные |
|||||||||
стандартные программы. |
|
|
|
|
|
|
систему |
нели |
||||
Таким образом, решив тем или иным методом |
||||||||||||
нейных алгебраических |
уравнений, |
мы получим’ значение искомых |
||||||||||
величин в дискретн ых точках (узлах области Gx и |
границы Гх). |
|||||||||||
Значения неизвестных в других точках |
области находятся с |
по |
||||||||||
мощью интерполяционных формул. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выбор сеточной области производится в зависимости от конк |
||||||||||||
ретной задачи, но во всех случаях контур Гх. сеточной |
области |
|||||||||||
Gx следует выбирать так, чтобы он возможно |
лучше аппроксими-. |
|||||||||||
ровал контур Г области G. Сеточная область |
может, состоять |
из |
||||||||||
квадратных, прямоугольных, |
треугольных, |
шестиугольных и дру |
||||||||||
гих ячеек. Обычно в практике пользуются |
равномерными |
сётка- |
ми, чаще |
всего <; прямоугольными ячейками размеров X х Xi |
(рис. 8.1). |
От выбора основных размеров ячейки зависит величи |
на погрешности R n, получаемой при замене дифференциальных операторов конечно-разностными. Для достижения большей точ ности решения необходимо увеличивать количество узлов аппрок симации. Однако это приводит, как указывалось выше, к системам алгебраических уравнений слишком большой размерности. Реше ние таких систем уравнений на ЭВМ достаточно сложно.
Вёжное значение в решении задач теории пластин и оболочек методом конечных разностей имеет способ замены в исходных уравнениях частных производных аппроксимирующими их много членами и оценка точности такой замены [7, 30].
По соображениям, связанным с решением системы на ЭВМ, исходные дифференциальные операторы желательно аппроксими ровать во всех узлах области G\ однотипными разностными вы ражениями симметричной структуры При этом) в зависимости от порядка старшей производной дифференциального оператора и принятой погрешности аппроксимации Rn, в сеточные уравнения войдут несколько рядов законтурных точек. Например, при за мене бигармонического оператора с погрешностью # Я= 0(Х4) в систему равнений входят два ряда законтурных точек. Законтур ные точки должны быть исключены с помощью граничных усло вий. Заметим, что граничные условия также должны быть ап проксимированы с такой же степенью точности.
Выражения производных для наиболее часто встречающихся операторов через левые, центральные и правые разности с раз
личными погрешностями R„ приведены в [7, 30]. Там же |
приве |
|||
дены способы получения таких операторов. Поэтому |
здесь мы |
|||
не будем останавливаться на этом |
вопросе. Вопрос о замене диф |
|||
ференциальных уравнений конечно-разностными также |
не |
пред |
||
ставляет труда. |
подробно |
на аппроксимации |
граничных |
|
Остановимся более |
||||
условий. Рассмотрим |
оболочку, исходные уравнения которой за- |
Пусть оболочка цшрнирно оперта по своим сторонам. Усло вия шарнирного опирания в безразмерном виде имеют вид
Я2„ |
я2-„ |
С= |
02С |
(8.7) |
ÔÈ2 |
dt&q |
Ч = 0 при тз = 0, 71= 2. |
||
|
д-Ч |
|
Область G покрываем равномерной прямоугольной сеткой. Пусть X и Xi — шаги сетки соответственно по осям х и у:
. |
2 |
а . |
|
2b |
Xi — |
.. |
Ifk |
,, |
|
|
К— дц м —.J J , |
ÎX, |
KK\ |
|
|
||||||
(i= 0, |
1 , |
. . . » |
M\ k= 0 , |
1, |
N). |
(8.8) |
||||
Введем следующие разностные |
операторы: |
|
|
|
||||||
difi'k— у |
(А.* — fi—i,k)] d2fi,k — |
|
(fî, k — fi, k—i)\ |
(8.9) |
||||||
difi, k= y |
(A+1. k— h. *)» drfi. k==Tx(A, *+i ~ |
fi. *)ï |
(8.Ю) |
|||||||
^1fi. k = |
2 (dl/f, k + |
|
ft) =2X7 (ft+l. k ~ f i - 1. ft)‘> |
|
||||||
difi. k = |
y (^2/i, k + d 2fi, |
k) = ^ |
(A, ft+i ~A . ft-0» |
(8 H) |
||||||
Щи. ft = Д /А . * |
(/ = |
1, |
2 ) ; |
Д/ = |
Д1 |
+ |
Д 2, Д/ = |
д -0/ . |
(8.12) |
|
Разности (8.9) называются левыми разностями (разностями на |
||||||||||
зад), (8.10) — правыми разностями (разностями вперед), |
(8.11) — |
|||||||||
центральными разностями- (симметричными разностями). |
|
|||||||||
Четные производные искомых функций будем |
аппроксимиро |
вать центральными разностями. Таким образом, имеем следующие аппроксимации:
Ll d |
&\fi,k— didifi,k = jb(fi+\, k— 2fi,k + A-i.ft); |
|
|||
ôç2 fi» k) |
|
|
|
|
|
tL |
= W i , k; |
d4f |
|
|
|
àf? ал) |
|
(1. k) = dididid\fi,k = AiAiA.ftî |
|
||
t l |
|
J * |
=d\did2d2ft.k* |
(8,13) |
|
dr,4 |
(<.ftJ |
||||
д£дт} |
Ci. >0 |
|
SIO