книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ
..pdf•Левые части этих выражений легко можно подсчитать по опера
торам (8.9) — (8.11). Смешанные производные в произведениях |
|
w Э2/ |
дЦ |
типа 2 |
аппроксимируем выражениями |
o i l |
**+ |
— d\d2fi, k • d\difyi, k4 - |
d\Ô2Îi, k • didÿ^i, *. |
(8*,4 > |
& МГЫ |
dÇdtj (i.k) |
|
|
|
' dÇcfr) |
|
|
||
Введем также |
следующие обозначения для производных: |
|
||
|
|
d i/= Д, d2f = /V), d if= Д, |
d2/ = /-, |
|
a,/=/Af a2/= |
fA, a,ai/.= /e0 |
d2a2/ = f -, |
|
||
Ç |
TJ |
|
|
1* |
|
d\d2f = д-, â,a2/ = /5V |
|
(8.i5> |
|||
Тогда для внутренних |
точек |
области |
Gx (1 < |
i < М — 1, |
К |
< /г < N — 1) система уравнений |
(8.6) с точностью 0 (X2 + X?) |
ап |
|||
проксимируется разностными уравнениями |
|
|
|
||
а4<РСШ + 2a2(P&w |
Т ( рТ^го+ |
+ |
т ( Сг£л + |
|
_____ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
[24 (1 — V2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
х |
(Чб * |
"Ь |
|
|
|
|
н». *1“ 32 |
А* |
(8,16> |
||
Если |
расписать |
систему |
уравнений для всех внутренних точек* |
||||||||
то в них войдут также значения функций |
С и <g в |
законтурных |
|||||||||
точках |
с |
индексами |
( — 1, |
к), (М + |
1, k), |
(t,.— 1), |
(г, |
TV4-1), а |
|||
также |
их |
значения |
в |
точках контура |
(вида |
(0, k), |
(М, |
k), |
(i, 0), |
(i, N). Эти точки необходимо исключить с помощью разностных
аналогов |
граничных |
условий. |
В |
случае |
|
шарнирного опирания |
|||
контура |
из (8.7) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Со, а = |
CAI. а= 0; |
|
срм+ i. к — ? м—i, ь\ |
|||||
|
C_l,fe—— |
Cl. а; |
|
Ср—I. ft = |
— tpl.feî |
||||
|
См-И, k~ |
— CM—i. ft*. <po. ft = |
<рм. ft= 0 |
||||||
|
|
(k= |
1, |
2, |
... , |
N); |
|
||
|
Zi, 0 = |
Cf. N = |
0; |
|
tpï, 0 |
= <?f, N = 0; |
|||
|
Ci.-i = |
— Ct-, i; |
|
«p*.—i — — ?i. r» |
|||||
|
Cf. W+ 1 |
= — Cf, N - Г. |
?i. N+l = |
— <?i,N-l |
|||||
|
|
|
(t = |
1, |
2, |
. . . , |
M). |
(8Л7)- |
Если контур оболочки жестко заделан, то из граничных условий:
и = |
V— w = 0 при х — 0, х — 2а, |
у = 0, у — 2Ь; |
|||
^ = |
0 |
при х = |
0, х = |
2а; |
|
ах |
|
|
|
|
|
0 = 0 |
при у = |
0, у = |
26 |
(8,18) |
находим соотношения:
С о ,* = С л м = 0 , С1—,й — C i,kt С м + i . f t = Сл1—I.л »
«ро, ft — îpÀl.Aî = |
О , < Р1-, А = |
|
C p M + l ,f t = срм- l . f t |
|||
|
(k = |
1, 2.........JV); |
|
|
||
Cf, 0 = |
Ci, N = |
0 , |
C i,—1 = |
Cf, ь |
Cf,N+ 1 = |
C*. W—1> |
«pf,0 = |
«Pc. N = |
0, |
Cpf, _1 = |
(pf.i; cpf, N+1= |
T*. W—l |
|
|
|
(i = |
1, 2......... M ). |
|
(8.19) |
Могут быть сформулированы и другие граничные условия, в частности, составленные из комбинаций условий (8.17) и (8.19). Нелинейные члены в уравнениях (8.6) можно аппроксимировать также обычными центральными разностями. Тогда придем к уравнениям:
+ |
2*2П&) + |
«Рчччч+ Т (77 |
|
|
^ |
С« ) + |
а2 |
ê |
— |
|||
|
|
|
С д л Т л л J I |
|
= 0 ; |
|
|
|
|
|
||
{ 24(1 — V2) |
( а4С^ |
Е+ |
2аК ' ^ + |
Cî w ) |
~ |
ТГ ( т г |
% |
+ |
|
*Pü^ — |
||
Т |
^ ч ч |
^ |
С е — ^ |
ç |
{ |
) |
J |
k)~ |
"32 |
ft* |
(8,2°) |
Исключив из уравнений (8.16) с помощью граничных условий контурные и законтурные точки, придем к нелинейной системе алгебраических уравнений вида
L M = Д, |
(8.21) |
где их — вектор размерности 2N\ = 2M N \ N\ — число внутренних точек прямоугольника <л;
м х = (<рх, Сх)т = [(ср, C )kf), T = lOpi. ь |
T i2, , |
, . . , <рл!,//)» (C i, î , |
|
Ci, .............. С л |
Ы |
Г ; |
|
L\ = L\\ + |
L2X; |
(8 .22) |
|
Lix — квадратная матрица размерности |
2ЛД; Ln — разностный |
аналог нелинейной части: Д — известный вектор.
Граничные условия шарнирного |
опирания |
|
||
u = v — w — Ot —- = 0 .при х — 0, х = 2а, |
|
|||
|
дх |
|
|
|
u — v==w= 0, |
Э2ю |
|
при у= 0, у—2Ь |
(8.26) |
- ^ - = ,0 |
||||
или жесткого защемления (8.18) записываются в виде: |
|
|||
ир. /.■= им, k= ÜO. k = VM,k —Co, k —См. k= Q; |
|
|||
C—i, k— aiCi, k\ |
CM+I, k= сцСм —\,k |
|
||
(Л -1 , |
2 / |
IV); |
|
|
Ut,0 = «i, W= |
Ui,0 = |
Vt,N= C», 0 = Cf, W— 0; |
|
|
Ct,- 1= |
aiCf, 1, |
Ci. w+i — <*iCi, N—1 |
|
|
(i = 1» 2.........iW). |
(8.27) |
Здесь ai = 1 для граничных условий заделки и aj = — 1 для шарнирного опирания. После исключения из уравнений (8.25) с помощью граничных условий (8.27) контурных и законтурных точек придем к системе 3М .= 3MN нелинейных уравнений отно
сительно переменных Щ, к, vt, k, Ci, k вида
|
|
U t h |
= fx, |
|
|
|
|
(8.28) |
где Lx = |
£ix + Z-гх, L\\ — квадратная |
|
матрица размерности 3ЛД; |
|||||
Ык — разностный |
аналог нелинейной |
части |
уравнений; |
Д — из |
||||
вестный |
вектор |
размерности |
3N\', |
ЛД— число точек |
сеточной |
|||
области |
Сх, |
|
|
|
будут |
рассмотрены ниже. |
||
Методы решения задач вида (8.28) |
||||||||
При p f 1 = pi-1 — 0 имеем -уравнения |
|
гибких |
пластин. |
|
||||
3; МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ |
||||||||
Выше приведены разностные уравнения |
для пологих оболо |
|||||||
чек в перемещениях и в смешанном |
виде |
с погрешностью Rn —■ |
crO (X2 + Xi). Для получения большей точности решения можно идти двумя путями: либо увеличивать количество узлов сетки, либо применять метод конечных разностей повышенной точности. Увеличение количества узлов (уменьшения шагов X и Xi) при водит к значительному увеличению количества уравнений, а, значит, и к увеличению вычислительной работы. Более эффек тивным в этом случае является метод сеток повышенной точности.
Последнее утверждение проиллюстрировано на ряде примеров решения нелинейных задач теории пластин и пологих оболочек [45, 46]. Поскольку наиболее часто применяются центральные разности, то ниже разностные операторы будем аппроксимировать в основном такими разностями. Введем следующие разностные операторы, аппроксимирующие производные функции /(£, q) с
точностью до |
О ( Х 4 + |
X 4) : |
|
à\U, k = |
^ k= ^ |
(— ft f2, A + |
8Д+i,k — 8/t-_i, л + f t - 2. A).; |
difi, k = {f |
= |
— fi, A+2 + |
8ft, ft+1 — 8Д, ft_l -f- ft, A-2); |
â i = |
t |
|
|
Й (-/»+». *+ |
30ft. » + |
|
|
|
+ |
16Д_1,а — ft—2, A); |
|
àifI. k = |
( f . A |
|
= |
(—ft, а+2 + 16Д ft.|_i — 30Д-. * + |
|
|
|
|
+ |
Щ(, ft—I — ft. k—2); |
|
d l d 2ft, ft = ^f л д | ^ = |
|
щ |
[Д+2, ft+2 — 8Д+2. ft+1 + |
8Д+2. ft-1 — |
|
—f t + 2. ft—2 + |
8 (—Д+1, ft+2 + 8Д+1, ft+i — 8Д+1, ft_i -f Д+i,A—2)— |
||||
8 (—Д—1, A+2 |
+ |
8Д—1, ft+i —8Д—1, ft_i -f Д_1%ft_2) — |
|||
— Д—2, ft+2 + |
8Д-2, ft+i — 8Д_2, ft_j -f Д _2>ft_2]; |
. * |
[ |
- + |
— ) С2 _ |
12а2 |
а2и5+ vüt,— -Ц” |
+ ^ |
^ + Т (а?^ + |
|||||||
|
2\ |
?2 |
Pi / 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
vfj |
CES— 12 |ач + va2üe —4 ^ |
+ —j С+ у (с? + va2Ce)JСгЛ4- |
|||||||||||
|
|
+ |
24via2 (мч + Щ+ |
С«СЧ) Cî^}(.( k)= 4 (1 |
— v2) Л . ft- |
(8.31) |
||||||||
Здесь над символами производных |
опущен значок « Д » . |
|
||||||||||||
|
Из формул (8.29) видно, что если расписать уравнения (8.30) |
|||||||||||||
или (8.31) для первого ряда предконтурных |
точек, |
то |
в них |
|||||||||||
войдут по два ряда законтурных точек для |
функций о и С в |
|||||||||||||
случае |
применения |
разностных уравнений |
в |
смешанном |
виде, |
|||||||||
или по одному ряду законтурных |
точек для |
функций |
и |
и о и |
||||||||||
два ряда для функции Ç |
при |
применении |
разностных |
уравнений |
||||||||||
в перемещениях. |
Последние |
необходимо |
исключить из уравне |
|||||||||||
ний с помощью |
граничных |
условий. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Однако |
при жестком |
защемлении w — ~ = |
0 или при свобод- |
||||||||||
ном опирании w = |
d2w |
Л |
краев |
в сущности |
для •.исключения |
|||||||||
—-s = |
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
дп |
|
|
|
имеется |
одно условие: |
выра |
|||
функции С в законтурных точках |
жение первой или второй производной через центральные раз ности. Недостающие соотношения для исключения неизвестных
предлагается формировать, как это было |
сказано в |
первом пункте, |
||||
из конечно-разностных аналогов тех |
же |
самых производных |
||||
такой же точности, |
выраженных через |
те |
же узлы с |
помощью |
||
формул несимметричной структуры. |
В |
качестве |
таких |
аналогов |
||
могут быть взяты |
левые, правые |
или |
другие |
несимметричные |
производные [7,30]. Так, в работе [45] использованы следующие дополнительные условия:
Ê! |
Т2Х (— Д-3 |
+ 6Д- .2— 18ft_i -I- ЮД -f 3/i+i), |
|
д1 |
|
||
t l |
|
3 "Ь 4Д--2 + 6Д—i 20Д -j- .1 l/f+i). |
(8.32) |
Ô/2 i |
|
|
|
Совместно G соответствующими производными в центральных |
|||
разностях |
|
|
|
|
Ж |£= |
4 8^+| ~ ^ + 2)’ |
|
а |
^ ( - Д-2 + |
16Д-1 - ЗОД 4- 16Д+, - Д+2), |
(8.33 ) |
д12 i |
|
|
|
условия (8.32)- и (8.33) дают возможность выразить значения не известных функций в законтурных точках через контурные и внутриконтурные. При шарнирном опирании и жестком защем лении значения функций в''контурных точках известны. Исклю
чая законтурные и контурные значения неизвестных функций» придем к нелинейной системе алгебраических уравнений вида
|
|
L\U — %, |
|
|
(8.34) |
|
где |
Lx= L\\ + Lu, |
L w — квадратная матрица |
размерности |
2ЛД. |
||
или 3ЛД соответственно для уравнений (8.28) |
и (8.29); LÎX — |
|||||
нелинейные части |
тех же уравнений, Д — известный |
вектор; |
||||
Л Д — число узлов области (?х, |
и\ — вектор неизвестных функций. |
|||||
Заметим, что матрица 1ц в |
этом случае будет более заполнен |
|||||
ной, |
чем аналогичные матрицы, рассмотренные во втором пункте. |
|||||
При |
рГ1= рГ1= 0 имеем конечно-разностные |
уравнения |
повы |
|||
шенной точности для гибких |
пластин. |
|
|
|
||
Полученную систему нелинейных алгебраических уравнений |
||||||
(8.34) решаем одним из известных методов [45, |
36, 68, 12J. |
При |
||||
получении нелинейных систем |
алгебраических |
уравнений |
в |
п. 2, |
3 предполагалось, что в исходных дифференциальных уравнениях для оболочек жесткости D N и D M радиусы кривизны /?i и Я г постоянны. Такие уравнения применимы к цилиндрическим и
сферическим панелям, |
изготовленным из изотропного |
материа |
||
ла. Не представит принципиальных |
трудностей |
получение нели |
||
нейных уравнений для |
ортотропных |
оболочек |
переменной жест |
|
кости с произвольными |
радиусами кривизны. При этом |
появятся |
некоторые дополнительные члены, содержащие производные от радиусов кривизны и жесткостей.
4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
При применении к уравнениям теории пологих оболочек или пластин метода конечных разностей обычной или повышенной точности в итоге приходим к системе нелинейных алгебраических уравнений (8.21), (8.26) или (8.32), т. е. к уравнениям вида
|
= Д, |
(8-35) |
|
причем L\ = L\\ 4- Ьги где L ц — матрица, соответствующая |
ли |
||
нейной части;- |
— конечно-разностный аналог нелинейных |
чле-. |
|
нов уравнений. |
|
сеток задачах число уз |
|
Как правило, в решаемых методом |
|||
лов АД области GK достаточно велико. |
Поэтому решить систему |
нелинейных алгебраических уравнений означает: каким-либо методом найти приближенное решение этой системы, удовлетво ряющее заданному критерию точности.
Таким образом, чтобы решить систему нелинейных уравне ний необходимо иметь два критерия [35]: критерий предпочте ния одного метода другому, критерий точности приближенного решения.
Критерий предпочтения должен учитывать характеристику системы, критерий точности — устойчивость метода к ошибкам округления, логическую структуру вычислительного алгоритма, индивидуальные особенности электронно-вычислительной машины и др. На практике в качестве критерия предпочтения выбирают количество арифметических операций К, необходимое для полу чения решения заданной точности.
Критерий точности состоит в указании некоторого прост ранства Я , числа е > 0 и требования, чтобы норма разности
точного решения |
— ► |
— ► |
|
и и приближенного решения w, в пространстве |
|||
Н удовлетворяла |
условию |
* |
|
|
|
|
||« — «Ё||< е , |
На практике |
это |
условие применить нельзя, поскольку неизве |
|
стно решение |
и. |
Поэтому |
критерий точности заменяют другим, |
который можно реализовать.
Для решения сеточных уравнений в большинстве случаев применяются различные итерационные методы. Они являются устойчивыми по отношению к ошибкам округлений. Как -извест но, при решении сеточных уравнений с N неизвестными итера ционными методами количество арифметических операций
К = О (Я2 In N • 1п 1/е).
Укажем лишь, что метод исключения неизвестных Гаусса при отсутствии округления приводит к точному решению через К —
— 0 ( N 3) арифметических операций. При решении задач итера ционными методами погрешность т-ой итерации
1т= и — *ит
часто можно выразить через погрешность начального приближения
|
2° = к — и? |
|
при помощи |
соотношения |
|
|
> = Т т?, |
|
где Тт— линейный оператор. В качестве |
критерия точности мож |
|
но взять условие |
|
|
|
|| Тт Ц/У ^ 6» |
(8*36) |
Справедливо |
утверждение [35]: если |
|
ы — 5ж*+1)вв (Тт)к+'(и — ио) (k = 0, 1, ...) ,
||7,* | | w < e < 1,
то
И й - и « Х < |
1\ит- и Ц н, |
|