книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ
..pdfпрерывности перемещений или усилий — моментов. Для опреде ления неизвестных величин в узлах области применяется один из вариационных принципов: принцип минимума потенциальной энергии (Лагранжа), принцип минимума дополнительной энергии* (Кастилиано), принципы минимума полной энергии (Рейснера или Ху-Вашицу). В результате получается нелинейная алгебраическая система уравнений для определения узловых величин. Решение ее и определяет напряженно-деформированное состояние в задан ной области. Возможны и другие подходы к получению алгебра ических систем уравнений: например, можно использовать методы Ритца или Бубнова — Галёркина.
Если используется принцип минимума потенциальной энергии, то в качестве неизвестных функций (функций формы) должны за даваться перемещения; при использовании принципа Кастилиано— напряжения, при использовании принципов Рейснера или ХуВашицу — напряжения и перемещения. Систематизация схем МКЭ в теории упругости на основе вариационных принципов дана
вработе [Ь6].
'Одним из критериев достоверности получаемых результатов является сопоставление этих результатов с точными для модель ных задач или сопоставление результатов при увеличении числа узлов, т. е. применение принципа Рунге. Для простейших задач теории пластин и оболочек доказана сходимость МКЭ [60, 69].
Наиболее широкое применение для получения алгебраической системы уравнений находит принцип возможных перемещений Лагранжа. Поэтому МКЭ является вариационно-сеточным методом
ичасто трактуется как метод Ритца. Действительно, в методе Ритца (см. гл. 6) записывается выражение полной энергии в пе ремещениях и предполагается, что перемещения зависят от ко нечного числа неизвестных параметров. Система алгебраических
уравнений |
получается из |
условий |
минимума полной энергии. |
|||
В этом МКЭ эквивалентен |
методу Ритца. Разница |
состоит лишь |
||||
в способе |
задания |
перемещений: по методу |
Ритца |
они задаются |
||
во всей области G. |
Алгебраическая |
система |
будет |
иметь запол |
ненную, а не ленточную структуру. В МКЭ перемещения зада ются поэлементно, в остальной части области они равны нулю. Каждый узловой параметр связан только с примыкающими к этому узлу элементами, в результате для алгебраических уравнений по^ лучается частично заполненная, обычно ленточной структуры, матрица коэффициентов. Метод Ритца применяется для достаточно простых областей. В МКЭ простую структуру должны иметь только элементы. Поэтому МКЭ в принципе применим к иссле дованию пластин и оболочек произвольной геометрической формы при любых граничных условиях.
По виду задания функций формы МКЭ. близок к методам теории сплайн-функций.
Типы конечных элементов. Простейшим конечным элементом является одномерный элемент (рис. 9.3). Площадь поперечного
угольнику. Зто приводит к более точным результатам, чем при разбиении на треугольники с сильно различающимися размерами сторон. Кроме того, предпочтительным является разбиение, по казанное на рис. 9.7, а, по сравнению с разбиением, показанным на рис. 9.7, б.
Нумерация узлов. Использование МКЭ, как указывалось выше, приводит к системе алгебраических уравнений, большое число коэффициентов которой равно нулю. При рассмотрении нелиней ных задач теории оболочек все ненулевые и некоторые нуле вые коэффициенты линейной части членов уравнений находятся между двумя линиями, параллельными главной диагонали. Рас стояние между этими линиями называется шириной полосы матри цы, которая вычисляется по формуле
|
В = (R + 1) Q, |
(9.1) |
где R — максимальная |
по элементам величина наибольшей раз |
|
ности между номерами |
узлов в отдельном элементе; |
Q — число |
степеней свободы в каждом узле. Минимизация В связана с ми нимизацией R. Последнее может быть осуществлено последова
тельной |
нумерацией узлов |
при |
|
|
|
|||
движении |
в направлении |
наи |
|
|
|
|||
меньшего |
размера |
тела |
(см. |
|
|
|
||
рис. 9.1). Как видно, правильная |
|
|
|
|||||
нумерация |
узлов |
значительно |
|
|
|
|||
сокращает |
загружение машин |
ят |
|
£ |
||||
ной памяти, так как вычисли |
|
|||||||
тельная |
программа |
использует |
|
Рис. |
9.7 |
|||
только те коэффициенты матри |
|
|
|
|||||
цы, которые находятся внутри полосы. |
|
|
|
|||||
Нумерация элементов представляет собой простую структуру. |
||||||||
Номер |
элемента заключается в круглые скобки, |
например, эле |
||||||
мент |
(4) |
на |
рис. 9.1, а содержит узлы 6, 9, |
10; |
на рис. 9.1, б — |
|||
узлы |
3, |
17, |
18. |
конечных элементовг |
Как |
указывалось выше, |
||
Классификация |
в качестве функций формы элементов используются полиномы. Порядок полинома зависит от числа используемых в каждом узле элемента данных о непрерывной функции. В соответствии с по
рядком полиномов, применяемых в функциях формы, может быть проведена классификация конечных элементов. Рассматривают [37] три группы элементов: симплекс-, комплекс-, мультиплексэлементы. Симплексным элементам соответствуют полиномы, со держащие постоянную и линейные члены. Для двумерного тре угольного элемента он выражается функцией вида
© = 0.1 -}- CL2Х + tt3t/.
Число коэффициентов в симплекс-элементе на единицу больше размерности пространства.
Комплекс-элемент соответствует полиномам, которые содержат постоянную, линейные члены и члены второго, третьего и более высокого порядков, если это необходимо. Форма комплекс-эле мента такая же, как и симплекс-элемента, но они имеют допол нительные узлы, могут иметь и внутренние узлы (например, в центре тяжести элемента). Число узлов в комплекс-элементе больше числа размерности координатного пространства на единицу. Для двумерного координатного пространства интерполяционный поли
ном комплекс-элемента имеет вид
<р = a J а2х + аъу + а\х2+ о-ьху 4- а6у2.
Рассматриваемый элемент должен иметь шесть узлов.
Для мультиплекс-элемента также используются полиномы вы сокого порядка, но границы элементов должны быть параллельны координатным осям, что необходимо для достижения непрерыв ности при переходе от одного элемента к другому. Прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, является приме ром мультиплекс-элемента.
Потенциальная энергия. Запишем потенциальную энергию (1.88) в матричном виде. Для этого введем векторы-столбцы:'
[e]T = [ei, |
е2, wi2]; |
[*lr = l*i, |
х2, |
■'lî |
||
M r ~[[«i]r . W rIî |
[N]T = [Nlt |
N 2, |
S]; |
|||
[M]T = [MU |
M it |
2Я]; |
[T)T = [[N]T, [х]-г]; |
|||
M r = l[e ]r , |
М т ]; |
[»lr = |
[ÿ » î. |
Y bi> M s]; |
||
|
|
е, + |
4 » ? П |
|
|
|
|
f e i j - |
|
|
|
(9.2) |
(1)12 “Ь ^1^2
Тогда
= (A^IÊI + # 2e2-[-So>+'M i*i +Л12Х2 + 2Яг)ЛШ а^Р =
ù G
= ittle iflT lA B d a d ? = i î î (МГ + l»f)iT]ABdadp. (9.3)
Кроме исходных данных, определяемых формулами (9.2), вве дем еще следующие векторы-столбцы: ‘
[U]T = |
[ы, |
V, |
а>); |
[Q]T = |
1<7ь |
|
[ ( У г } 7 == L « v , |
ии |
о», |
0 VJ; |
[ Q r ] r = |
[N4, 5 v , Q v , A f J , |
(9-6) |
(верхний индекс «T» означает везде транспонированную величину). Тогда величины ВL и ЬА[. из (9.3) запишутся в матричном виде
Ы = H [W \T [Q] ABdad? + î [bVv]T [Qrl dsh
G Г
М л = Я ([be)T [N] -f [8x]г [Л4]) ABdadp =*
G
= i ï № ] T[T]ABdadp. |
(9*7> |
G |
|
Матричная запись 8Лнл имеет более сложную структуру, при чем элементы некоторых матриц будут зависеть от векторастолбца [е].
2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЛАСТИН
Рассмотрим слоистую ортотропную гибкую пластину перемен
ной жесткости, отнесенную к декартовой |
системе |
координат |
(X, |
|
У, Z), нагруженную усилиями q\, |
q.2, |
<7Т и находящуюся |
под |
|
действием заданного температурного |
поля Ti(X, |
У, Z). Пусть |
||
h = h(X, У)—толщина пластины; ho— толщина |
пластины в не |
которой точке; а\, Ь\ — характерные линейные размеры пластины
в направлениях X и У; G — область, занятая пластиной. В слу |
|||
чае прямоугольных пластин а\ |
и Ъ\ — длина и ширина пластины. |
||
Получим ниже все уравнения и соотношения теории пластин |
|||
в безразмерной форме. Для |
этого введем безразмерные коорди |
||
наты (х, у) и перемещения |
и, v, w по формулам: |
|
|
h 2 |
fj 2 |
|
|
X = а,х; У = Ь\у\ U = — u\ |
V = -^v,W=^ h0w, |
h0t, (9.8) |
|
|
Û] |
|
|
где U, У, W — размерные перемещения. |
|
||
Деформации ef, ш, xi, % из |
(1J22) связаны с «безразмерныг |
||
ми» деформациями в/, ш, х/, |
т с |
помощью зависимостей |
Г |
/ М 2 |
- |
/Ап\2 |
- |
*•2 |
|
/ noY |
AÀ |
|||||
• ■ - ( г г р 5 — ( i r Н |
|
|
||||
— |
= -В-ХГ, |
— |
HQ |
- |
ло |
|
X2 = |
||||||
■'•l |
|
|
(9.9) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
e |
da , i |
(dwŸ |
|
|
ô2ai |
|
E' ~ S + 7 Ы ;1 |
“ “ - « Г * |