книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

В выражении (6.43) введены обозначения:

R (ф. = Л^ и (ф, ч Н - ВщЦ (ф, ч);

^2 (ф, П) = фва'Оаа +

+ Фрр4рр5

	Зависимость (6.43) впервые получена в работе [38].				является
то,	Достоинством уравнения Лагранжа		в	виде (6.43)
	что в него не* входят	производные	от	жесткостей,	а также
то,	что в нем участвуют	всего две функции, уравнения равно­

весия удовлетворяются автоматически при любом задании Ф и

нет необходимости		интегрировать уравнение совместности де­
формаций, чтобы получить зависимость Ф через w.
При нахождении решения задачи,			используя функционал
(6.4), может	быть применен метод Ритца. Координатные функ­
ции при этом	могут	и не удовлетворять граничным условиям.
Из соотношения		(6.43) могут быть	получены дифференциаль­

ные уравнения типа Кармана, учитывающие неоднородность

материала.		В работе	[38] показано, что эта	система	для	одно­
родного	по	толщине	оболочки материала с переменными жест­
костями записывается в виде
	Д(ДиДо/)— £ il(l — V)D AÏ, ш] + Д*Ф — L\(wi,				Ф) —
		— F (un) = — + ДМ° —		P;
Д ^	ДФ) — Li		— ДАш + -i- Li (o)2,	w) =s — ДГ?•		(6.45)

Функционал (6.43), а также нелинейные разрешающие урав­ нения (6.45) можно обобщить на ортотропные оболочки. Исполь­ зовав обобщенный закон Гука в виде (1.145) с учетом (1.149), (1.150) и произведя все выкладки, как и для изотропного слу­ чая, придем к вариационному уравнению [4]

a

s

где

О ц =	Ol2 = — VJ 4 (1 = ; — V2022’, 022	E2h'; 066 — 2Gh ’

	a?i =	сцГо*, <Ач.		=	ÜZT oî П 11 “		T)\T\\ D22 ~		Dr/Г i;
	D\\ я Du («1 4* V20t2)',					D 22 =	£ 22(^2 4- vjai);
		T (a, P, 7) = To (a, P) +						7 T 1 (a, p).
Разрешающие дифференциальные уравнения в этом случае											будут
иметь вид:
		L z	(Dy, w )		4" Д*Ф	L ( w ,		Ф) = <7Т;
		— L4 (ay, Ф) + Д*Ф + J L						(^» о>) =	0,		(6.47)
где
	/г,	ч	1 5		1 Г 5 /олл ч, 1 5А2Я				дВ	,, I ,
	î (Dy,	К») —	JB Qa‘		,4 [аа (BMl) 4*			А др	да ^	2\
	. 1 5			1 Г5 (л м \ _L 1Лд И дА М 1
	^	АВд$		в	[а? ( Л М 2 ) 4 - 5			да	M i ]
необходимо значения моментов						заменить по закону Гука					изгиб-
ными	деформациями,			а	последние— через прогиб.					Выражение
L 4 (ay,	Ф) получается			из	Lz {Рцу ш) заменой w,				Dijy Dy на Ф, ay*

ay соответственно.

Многие задачи теории гибких пластин и оболочек решены методом Ритца с использованием для решения нелинейных алгеб­

раических уравнений метода		Ньютона.	п.	1) положим:
В соответствии	с идеей	метода Ритца (см.
N	akwk {a,	М	P),	(6.48)
w = V		р); Ф =* 2 ЬкФк{a,
k=\		ft=i

где ак, bk— неизвестные параметры, wk, Фк— заданные коорди­ натные функции.

Подставив (6.48) в вариационные уравнения (6.43) и исполь­ зовав соотношения типа (6.11), т. е.

iE . = 0 ( k = 1, 2 ........

щ , Щ . = 0 ( k = \ , 2.........

Af), (6.49)

придем к следующей системе нелинейных алгебраических уравне­ ний относительно щ и 6,-:

N	М
2	tyR (Wi, Wj) 4- 2 &/[# (avt Ф/) 4- (Д&Ф/ 4- L\ (&о, Ф,-)) ml —
« 1 1 = 1	/ = 1

ЛГ м

— У У afisLi (Wj, Ф5) + /=1 s=l

M ràwi— q-,W( \dG = О j

ÿl /=»	( i » l . 2, ... . M);
	p i	Щ[R (wh Ф{) -f (Д*Фi 4-
2	(ф/> Ф/) — 2

	+ L\ (Wo,			,	N	M	ajpsWjLi (ws, Ф/) —
				Ф/)) Wj — Y S S
					1=1 s= i
		— ГгЛФ< J dG «			0 (f *= 1, 2, .			.	M).	(6.50)
При выводе			уравнений (6.60)			принято,		что на контуре обо
лочки	w *= 0.	В	силу этого контурный интеграл в							(6.43) про­
падает.	Систему			-J- AÎ квадратных			алгебраических			уравнений
предлагается		решать методом			Ньютона (см. п. 1, гл.					3).
Численная реализация метода Ньютона. Как указывалось
выше,	скорость		итерационного		процесса существенно					зависит от
удачно	выбранного			начального		приближения.			Опыт показал,
что если в нелинейной задаче					имеется параметр, каждому зна­

чению которого отвечает одно решение, то целесообразно искать не одно решение для заданного параметра, а последовательность решений для некоторого диапазона значений этого параметра. В качестве такого параметра в нелинейной теории пластин и оболочек принимают безразмерный параметр нагрузки или без­

размерный прогиб в определенной точке. Существует несколько методов отыскания решений для последовательности монотонно

изменяющихся значений			параметра	нагрузки 138J,
	Ниже изложим метод Ньютона в сочетании с экстраполяцией
начальных приближений.			параметра	относительный прогиб		Со»
	Выберем	в качестве
s=	со /а0, рл)	некоторой	характерной точке		(ао, Ро). Для	поло­
	— - в
	го			пластин	это полюс оболочки
гих оболочек вращения и круглых

или пластины. Такой выбор обусловлен следующими соображе­ ниями. При изучении хлопка пологой оболочки зависимость прогиба Со от параметра нагрузки qo неоднозначна, обратная зависимость до — q (Со) однозначна. Поэтому при монотонном изменении Со можно получить всю зависимость ç'(Co).

Однако в точках Со. где нагрузка qo принимает верхнее или нижнее критические значения, определитель матрицы относи­ тельно поправок kzi в методе Ньютона, составленной из вторых производных функционала по ri* и bk, обращается в нуль. В таких

точках	процесс Ньютона расходится, хотя именно такие точки
представляют интерес для		исследователя.
Дополняя систему уравнений,, получаемую из функционала
(6.43),	соотношением
	Со »	N
		йкСа(« о, Ро),	(6.51)
	Wk ( а0, Р0)	t=I
„

вде С* = — *-г— - , в котором до считается неизвестным, полу­

чим систему iV	Ц- 1	уравнений	с N + М -f 1	неизвестными
	Zi =	ai, Zt —qj,	zi = qo	(6.52)

соответственно при г= 1, N, i — N + 1, N + M + 1; i= N + M + l. Систему алгебраических уравнений (6.49), (6.51) сокращенно

запишем в виде

f # = ( Z | , 22, . . . » Z w + M + l),

или

—►—*•	—►		т	/	(^1, /2» • • •» /W-pM+l)		_
/ (z) =	О, Z = (2 1 ,	2 2 , I I •) ZAf+M*}-l) ,					•
						(6.52)
Тогда формула итерационного метода					Ньютона примет вид
		z(s+l) =	z<s) — A~]f(z^),			(6.53)
где z— вектор-столбец неизвестных				z<;	/ — вектор-столбец невя­
зок fi	уравнений	(6.52); А — матрица		с компонентами		(г ~ )	;
s — номер итерации;						\Л/ /г=г(*)
		дЛ	дА		dh
		дг{	дг2		&N+M+1
	А =	WN+ M+ 1	WN+ M + 1		d^N+M+1
		ÔZ,	дг2		02Л?+М+1

Начальные приближения вектора z рекомендуется вычислять по следующим экстраполяционным формулам:

z{0)= zo; z}0)= 2zi — z0; zl0,= 3z2 — 3zi + z0;

4°)== 4zp_i — 6zp—2+				4zp—3— Zp_4			(6.54)
В этих формулах		(p =	4,	5,	...).
Z p =	z ( C	p ) ,	С	р -	С	о + р Д С .	(6.55)
Выбор координатных функций. Координатные функции должны:
удовлетворять однородным граничным						условиям
дш	Л	Л	5Ф'		Л	на &	(6.56)
® = *Г=°>		ф = жг= 0

(при этих условиях получаем функционал (6.43)); быть непрерывными вместе со своими первыми производными, иметь интегрируемые с квадратом вторые производные; быть линейно независимыми.

Кроме того, система координатных функций должна быть полной.

В качестве координатных функций в теории оболочек и пла­ стин, как указывалось в п. 2, выбираются тригонометрические, гиперболо-тригонометрические функции или полиномы.

Осесимметричная деформация пологих оболочек вращения. Рассмотрим осесимметричную деформацию замкнутых в'вершине пологих оболочек вращения и круглых пластин под действием

нормальной нагрузки		<7-, =	q (г) и	температурного поля		Т (г, т)
Положим Р = 0, Мп = О,			= 0.
Будем	считать, что	оболочки весьма пологи. В этом случае
оболочки можно считать пластинами с начальной погибыо WQ.
Метрика	поверхности	заменяется		метрикой	плоскости.	В ка­
честве криволинейных		координат		выбираются	полярные коорди­

наты (г, 0).

Тогда:
% = ц	= т	: г 0' ' A,w=0;	А‘ф = 0 :
/4 = 1;	В —	г, а = г, (3 = 0;	w — w(r)\

(6,57)

Двойные интегралы в (6.43) и (6.50) заменяются одинарными с пределами интегрирования по г от 0 до R. Если выполнено ин­ тегрирование по 0, то одинарный интеграл по переменной г не­ обходимо умножить на 2тс. Начальную погибь wo (форму средин­ ной поверхности) удобно задать формулой

оболочки.		представляет конус; при
При	ci = l, с2 = 0 уравнение (6.58)
ci = 0,	а — 1— поверхность, близкую	к сфере; при &= 0 —

пластину.

Для дальнейших вычислений удобно перейти к безразмерным величинам:

Е0*0Тo^o
Ста) ^	тгл1» Сшср =s - jr2-; Cw = Æo^o^ÿç*»
	c o,lo	rt°
s	„ ^3 î •Dutip 5=5	«, ^ > .Oipifi — Et/ioB^f.	(6.59)
t Q/IQ		ло

Здесь Ло, o-o, To — характерные значения модуля упругости, коэффициента линейного расширения и температуры.

Система алгебраических уравнений (6.50) в безразмерном виде запишется так:

дг

м

Й

М* (С/»

С/) -

£

и/ [Я (С/,

9/) + *W* (Со,

<р/)] -

£

у=1

/=1

N

М

_____

ч

-

£

Е

6Л1.№ (Cf»

?«) +

ГоМгДС,—

Р 0ЛС/

Р^Р «=* О

Ï=1 e=l

J

(<•=1, 2, ... . N)-

М

N

—

jj U/i? (<рь

?/)—

E M # (С/»

<р*) +

ÆC/Li (Со, <р*)]—

НI

N

N

_____ч

~~"~2 Е

S

(Cs,

tpf)— ToNT&ft 1 ç>dù==; 0.

Ï=1 s=l

}

( f s

1, 2, . .. ,

M).

(6.60)

В операторах

A, R и Li из (6.40)

и (6.44), используемых в

(6.60), необходимо вместо г брать р.

Внося в (6.60) вместо one*

ратора

R его значение

из (6.44), получим:

1

f

JV

_

î |

S

Ï/Ом [Д »(М / -

(1 -

Vo) Z.I (С,, С,)] -

M

JV M

х

•“£

£ Tj/C/Li (Со, <Р/) — £

£ ^sCfLi(С/, (pi) —

роС/1pdp == О

ï=l

/=1s=l

J

1

м

V -

I,

2.

... ,

/V);

I {—S

% ^

I

— (! +

vo) U (fi,

f f)J —

Ô

/=*1

N

-

а 2

«A i,(U , « ) - у

S

j

«,№ («..

« ) -

ï*=l

x=I

s«=i

- r 0W0r% jpdp= 0 (i = l, 2.........

M).

(6.61)

Здесь

Безразмерные изгибные и тангенциальные напряжения опреде­ ляются по формулам:

{«(< :;+ у ф

|	М	f V *\	| A f		* * %
°1м = у	S	(*р‘ <Рр)/’	а2м ^ 7 S	^	WPP/Ï *	(6.63)
	i=i	H	i=I
В случае оболочек постоянной			жесткости			h = ho. Тогда
Е — \, t = 1, Du — 1,		£ AI ~ 1.		Ритца составлена блок-
Для решения	краевых задач методом

схема алгоритма. Процесс нахождения для всех искомых вели­ чин, начиная от вычисления интегралов в функции Лагранжа и кончая вычислением прогибов и напряжений, полностью авто­ матизирован [38].

Пример 5. Рассмотрим [38] деформацию круглой пластины переменной толщины с жестко защемленным краем под действием равномерной нормальной нагрузки qy

Закон изменения толщины как функции безразмерного радиуса р зададим в виде

ЛД)
* = 1 + ( Р - 1 ) р , Р = - г - ' .		(6.64)
ï0	*
В качестве координатных функций выбираем

С/ (Р) = 0 - Pa)f+I. Ь (Р) = Р2/ *		(6.65)
		dw
Функции (6.65) автоматически удовлетворяют граничным условиям w — -^ = О
или С= Тр = °*		Подставив
Положим N = М = 4, т. е. примем < = / = 1, 2, 3, 4.
t= iW t(P > .	1 = '2 h n l! )	(6.66)
ft=l	Jfc=l
в выражения (6.61), получим систему девяти уравьений относительно неизвест­

ных ak, bk, q0. Полученная система решается методом Ньютона с начальными

данными С0=	0,	z (0) = О, Д£ =	0,5.	Итерационный процесс	Ньютона	закан­
		(S-1)
чивался при	Rn = 1 —. zp)		< 1 0	5 . Расчеты показали	достаточно	хоро­
шую сходимость		метода.

14Т

На рис. 6.5—6.7 приведены зависимости P(Uλ з1и(С0), aiM(^o) при различ-

ных значениях р. Параметр р принимался равным 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 3,0.

Изгибное безразмерное радиальное напряжение а1н вычислялось при р = 1, мембранное в1м — при р = 0.

На рис. 6.8 показаны зависимости ojH(p) при С= 4 для различных р.

Вычисления показывают," что последовательные приближения практически совпадают после третьего приближения.

*1» 30

10
о
Рис. 6.7		Рис.	6.8
Сравнение приведенных результатов для		пластин постоянной			толщины
0 = 1 ) с результатами,' полученными	методом Бубнова—Галеркина в четвертом
приближении, показывает, что они	отличаются	не больше		чем на	единицу
в четвертом знаке [38].					толщины
Пример 6. Пусть гибкая круглая пластина радиуса а переменной
h = h (р) находится под действием	поперечной	нагрузки	q.	Края	пластины

подчинены скользящей заделке

так,

что выполняются

условия

Ni =

0,

си =

0,

=

0 при г =

в.

Закон

изменения толщины пластины зададим формулой

/ = 1

+

(P - I)p ,

1Ш

%

Прогиб и функцию усилий возьмем в виде

4

4

----------

с = Е

(р).

<р= 2

%

л(р)!

k=\

к=\

^ = ( 1 — p2)*+1,

<?k=

(1 -

pa)*+1 •

1/

'

Задание координатных

функций в

таком

виде

Г

/

удовлетворяет выписанным выше краевым усло­

Î * 1

виям. Далее задача решалась,

как в примере 5.

Зависимости безразмерной нагрузки Р0 =

Р (С„)

и безразмерного изгибного

напряжения о1н =

/

у

= о1и (Со) при

р =

0

приведены

соответственно

i

?

г

-

на

рис. 6.9 и 6.10.

ортотроп-

/

1 ,j/

ная

Пример 7.

Однородная круглая

пластина

постоянной

толщины А

изги­

1

/

/ /

1 /

бается

равномерно

распределенным давлением

=

const. Край

пластины жестко

закреплен.

Ось

анизотропии

проходит

через центр

плас­

тины.

так

же,

как и в приме-

и

2,5

%0

Задача решалась

ре 5. В табл. 6.1 приведены значения Р0=

P (Ç0)

Рис.

6.9

для

ортотропной

пластины

E t

2,

=

при -g-, =

= 0,036, иллюстрирующие сходимость решения по числу параметров. Исследования показали, что для прогибов С< 4 при расчетах можно огра­

ничиться вторым приближениемПри С0 > 4 пятое и шестое приближение отличаются менее, чем на 0,1%. На рис. 6.11 приведены зависимости P = Р (Со)

для ортотропных		пластин	с различным	отношением	жесткостей: X =		Е%
							=
16; 8; 0,25;	0,0625.
					Т а б л и ц а		6.1
Приближение			P» = Р «„)
	Со	= 0,5	1.0	1.5	5	б
Второе		3,85	9,96	21,06	600,1	1058,6
Третье		3,91	10,18	21,36	424,4	701,3
Четвертое		3,94	10,25	21,44	438,2	741,2
Пятое		3,95	10,33	21,66	433,2	723,3
Шестое	3,95		10,30	21,65	433,0	722,1

Пример 8. Рассмотрим деформацию гибкой конической оболочки перемен­ ной толщины А с жестким и скользящим краем.

Начальную погибь Ç0 и толщину t пластины зададим в виде

С = — k(1 — р),