9869
.pdfОткуда
|
|
|
z |
|
|
F |
/ |
|
|
|
z |
|
|
Fy/ |
( F / 0 ). |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
и |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
F |
/ |
|
|
|
y |
|
|
|
F / |
z |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||
Пример. Найти |
z |
, |
|
z |
, где |
ez |
z x2 y 1 0 . |
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Здесь F(x, y, z) ez z x2 y 1, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
F / |
2xy |
, F / x |
2 , F / ez 1. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
||
Тогда по формуле (2) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
2xy |
|
, |
z |
|
|
x2 |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
e z 1 |
|
y |
|
|
e z 1 |
|
|
|
|||||||||
|
Касательная плоскость и нормаль к поверхности |
|
||||||||||||||||||||||
Пусть функция |
z f (x, y) , |
дифференцируемая в точке (х0 , у0 ) , |
||||||||||||||||||||||
задает в пространстве |
поверхность |
S . |
Пересечем |
эту |
поверхность |
|||||||||||||||||||
плоскостями |
х х0 |
и у у0 |
(см. рис. |
6). Плоскость |
х х0 пересекает |
|||||||||||||||||||
поверхность |
S |
по |
некоторой |
линии z0 ( y) , уравнение |
которой |
|||||||||||||||||||
получается |
подстановкой |
в |
выражение |
исходной функции |
z f (x, y) |
|||||||||||||||||||
вместо x |
числа |
х0 . |
Точка |
|
М 0 (х0 , у0 , f (x0 , y0 )) принадлежит |
кривой |
||||||||||||||||||
z0 ( y) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90
Рис. 6
В силу дифференцируемости функции z f (x, y) в точке М 0 функция
z0 ( y) также является дифференцируемой в точке у у0 . Следовательно,
в этой точке плоскости х х0 к кривой z0 ( y) может быть проведена касательная l1 . Проводя аналогичные рассуждения для сечения у у0 ,
построим касательную l2 к кривой z0 (x) в точке х х0 . Прямые l1 и l2 определяют плоскость , которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке М 0 .
Прямая, проходящая через точку М 0 (х0 , у0 , z0 ) и перпендикулярная
касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности,
называется нормалью к поверхности в точке М 0 (х0 , у0 , z0 ) .
Теорема. Если функция z f (x, y) дифференцируема в точке
(х0 , у0 ) , то касательная плоскость к поверхности, заданной уравнением z f (x, y) , в точке М 0 (х0 , у0 , z0 ) определяется уравнением
z z |
0 |
f / (x |
0 |
, y |
0 |
) (x x |
0 |
) f / |
(x |
0 |
, y |
0 |
) ( y y |
0 |
) , |
(1) |
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а нормаль к этой поверхности в заданной точке имеет уравнение |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x x0 |
|
|
= |
|
|
y y0 |
|
|
= |
z z0 |
|
. |
|
|
(2) |
|||||||||
|
|
|
f |
/ |
(x |
0 |
, y |
0 |
) |
f |
/ (x |
0 |
, y |
0 |
) |
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если поверхность |
задана |
неявно |
уравнением |
F(x, y, z) 0 |
и |
функция F (x, y, z) дифференцируема в точке М 0 (х0 , у0 , z0 ) , то
касательная |
плоскость к этой поверхности в |
точке М 0 (х0 , у0 , z0 ) |
|||||||||||||
определяется |
уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(x x ) F / |
|
|
( y y |
|
) F / |
|
|
(z z |
|
) 0, |
|
|||
F / |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
(3) |
||||||
x |
|
M0 |
0 |
y |
|
M0 |
|
z |
|
M0 |
|
|
|
||
|
|
|
91 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а нормаль к этой поверхности в заданной точке имеет уравнение
x x0 |
= |
y y0 |
= |
z z0 |
. |
(4) |
|||||||||
F / |
|
|
|
F / |
|
|
|
F / |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
M |
0 |
|
y |
|
M |
0 |
|
z |
|
M |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, то есть не особых точек
поверхности. Точка М 0 поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.
Пример. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: а) z x2 y2 в точке М 0 (1, 1, 2) , б) x2 4y2 2z2 6 в
точке М 0 (2, 2, 3) .
Решение. а) Поверхность задана явно, поэтому воспользуемся
формулами (1), (2). Здесь
f / 2x, |
f / |
(1, 1,2) 2 1 2, |
|
x |
|
x |
|
f / 2 y , |
f |
/ (1, 1,2) 2 ( 1) 2 . |
|
y |
y |
|
Тогда искомое уравнение касательной плоскости имеет вид:
z2 2 (x 1) ( 2) ( y ( 1)) или 2x 2y z 2 0
иуравнение нормали:
x 1 |
|
y 1 |
|
z 2 |
|||
|
|
= |
|
|
= |
|
. |
2 |
|
2 |
1 |
б) Поверхность задана неявно, поэтому воспользуемся формулами
(3), (4). Здесь
F(x, y, z) x2 4y2 2z 2 6 ,
Fx/ 2x , Fx/ (2,2,3) 2 2 4 ,
Fy/ 8y , Fy/ (2,2,3) 8 2 16 ,
Fz/ 4z , Fz/ (2,2,3) 4 3 12 .
92
Тогда искомое уравнение касательной плоскости имеет вид:
4 (x 2) ( 16) ( y 2) 12 (z 3) 0
или
x 4y 3z 3 0
и уравнение нормали: x 2 = y 2 = z 3 .
4 16 12
Полный дифференциал функции двух переменных и
его геометрический смысл
Дифференциалом dz дифференцируемой в точке (х0 , у0 )
функции |
z f (x, y) |
называется главная |
линейная, относительно |
|||||
приращений независимых переменных |
x |
и |
y , |
часть |
полного |
|||
приращения этой функции в точке (х0 , у0 ) , то есть |
|
|
||||||
|
|
dz z |
х |
z у . |
|
|
(1) |
|
|
|
х |
|
y |
|
|
|
|
Если |
положить |
z х , то |
dz dx 1 х 0 у x , |
то есть |
||||
dx x . |
Аналогично, |
полагая z у , |
получим, |
что |
dу у . |
Таким |
образом, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, то есть
dz |
z |
dх |
z |
dу . |
(2) |
|
х |
|
y |
|
|
Геометрический смысл дифференциала: если полное приращение функции z представляет геометрически приращение AC аппликаты поверхности z f (x, y) , то дифференциал функции dz есть приращение
AB аппликаты касательной плоскости к поверхности z f (x, y) в
данной точке, когда переменные x и y получают приращения x и y
(см. рис.7).
93
z f ( x, y)
M( x, y, z)
N ( x, y, Z ) |
|
|
M0 |
|
|
P( x, y, z0 ) |
MP z |
|
NP dz |
||
|
z0
x0 , y0
( x, y)
Рис. 7
Напомним, что если функция z f (x, y) дифференцируема в точке
(х0 , у0 ) , то ее полное приращение в этой точке может быть представлено
в виде
z |
|
z |
(x , y ) x |
z |
(x , y ) y ( х, у) x ( x, y) y |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
(3) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
0 |
|
0 |
|
y |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Из соотношений (2) и (3) следует, что при достаточно малых |
| x | и |
||||||||||||||||||||||||
| y | |
|
|
имеет место приближенное равенство |
z dz . |
Отсюда получаем |
|||||||||||||||||||||
формулу для приближенных вычислений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
f (x |
0 |
х, y |
0 |
у) f (x , y |
) f |
/ (x , y |
) x f / (x , y |
) y |
|
|
|
(4) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
x 0 |
0 |
|
|
y |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пример. Вычислить приближенно ln 1,98 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1,01 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y) ln x |
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
Решение. |
Рассмотрим |
функцию |
|
|
|
y |
Тогда |
||||||||||||||||||
ln 1,98 |
|
ln (x0 x) |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1,01 |
|
y0 |
y |
где |
|
x0 |
2, |
x 0,02, . |
94
y0 |
1, |
y 0,01. |
Воспользуемся |
|
формулой |
(4), |
|
предварительно найдя |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
f / |
и f / : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
f / |
|
|
1 |
|
|
, |
|
f / (x , y |
|
|
|
) |
f / (2,1) |
1 |
|
|
|
1 , |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
x |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f y/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
f y |
(x0 , y0 ) f y |
(2,1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1,98 |
|
|
||||||||
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,01 |
||||||||||||
ln 2 |
|
|
1 ( 0,02) ( 0,5) 0,01 0,025 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Для |
сравнения: |
|
используя |
|
|
|
микрокалькулятор, |
находим: |
ln 1,98 1,01 0,025305051.
Производная по направлению. Градиент
Пусть в области D , в которой определена функция z f (x, y) , в
некоторой внутренней точке M 0 x0 , y0 задано направление вектором l
(см. рис. 8). Нас интересует поведение функции при движении точки
M (x, y) |
в этом направлении. Пусть t расстояние между точками M 0 и |
|||||
M , а |
|
|
|
|
|
|
e |
cos i sin j – единичный вектор заданного направления l . |
|||||
Тогда |
|
координаты |
точки |
M (x, y) |
равны: |
x x0 t cos , |
y y0 |
t sin . Если точка M стремится к точке |
M 0 по заданному |
направлению, то t 0.
95
y
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
M x, y |
D |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 x0 , y0 |
|
|
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Рис. 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Производной функции z f (x, y) |
в точке M 0 x0 , y0 в заданном |
|||||||||
направлении l называется предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
f x0 |
t cos ,y0 t sin f x0, y0 |
|
df |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
t |
|
|
|
|
|
||||
t 0 |
|
|
|
|
|
dl |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z |
|
|
|
|
|
|
В частности, |
частные производные |
x ; |
|
это производные по |
||||||
y |
положительному направлению координатных осей Ox и Oy
соответственно. Оказывается, что для функции, имеющей непрерывные частные производные, производная по направлению выражается через частные производные в данной точке. Чтобы это доказать, нам необходимо научиться находить частные производные сложных функций.
|
|
Производная |
z |
характеризует скорость |
изменения функции в |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
l |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
направлении l . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Теорема. Если |
функция |
z f (x, y) дифференцируема |
в точке |
|||||||
(х |
|
, у |
|
) , то производная |
z |
по направлению |
l {cos , |
sin } в |
||||
0 |
0 |
l |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точке (х0 , у0 ) определяется формулой
96
|
|
|
|
|
z |
(x , y ) f / (x , y ) cos f / (x , y ) sin , |
(1) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
x |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
y |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где |
|
|
cos , sin – единичный вектор заданного направления l . |
||||||||||||||||||||||
e |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Замечание. Если направление l задано вектором a {a1 , a2}, то |
||||||||||||||||||||
производная |
z |
функции |
z f (x, y) |
по направлению l |
может быть |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подсчитана по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
z |
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
/ |
|
|
a2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(x0 , y0 ) fx |
(x0 , y0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
f y (x0 |
, y0 ) |
|
|
|
|
. |
(2) |
|||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
a2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
a2 a2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти производную от функции z 3x4 xy y3 |
в точке |
||||||||||||||||||||
М(1,2) в направлении, составляющим с осью Ox угол в 600 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. Направление задано углом наклона к оси Ox , поэтому |
|||||||||||||||||||||
воспользуемся формулой (1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f x/ 12x3 y , |
f x/ (x0 , y0 ) f x/ (1,2) 12 13 2 10 , |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f |
|
/ x 3y2 , |
f / (x , y |
) f |
/ (1,2) 1 3 22 |
11, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
0 |
0 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
zl (1,2) 10 cos60 11 sin 60 10 0,5 11 0,53 5 5,53.
Пример. Найти производную от функции z ln( x2 |
2 y) в точке |
||||||||||||||||
М(1;2) по направлению вектора a 3i 4 j . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение. Направление задано координатами вектора a , поэтому |
|||||||||||||||||
воспользуемся формулой (2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f / |
|
2x |
|
|
, |
f / (x , y |
) f / (1,2) |
|
|
2 1 |
0,4 , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x2 2 y |
|
|
2 2 |
|||||||||||||
x |
|
|
|
x |
0 |
0 |
x |
12 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f / |
|
|
2 |
, |
|
f / (x , y |
) f |
/ (1,2) |
|
2 |
|
|
0,4 , |
||||
y |
x2 |
2 y |
|
|
|
y |
0 |
0 |
|
y |
12 2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97
|
z |
(1,2) 0,4 |
3 |
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
0,08 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
|
|
32 ( 4)2 |
|
|
|
32 |
( 4)2 |
|
||||||||||||
|
Рассмотрим понятие градиента функции z f (x, y) . |
|
||||||||||||||||||||
|
Градиентом grad z функции z f (x, y) в |
точке M0 x0 , y0 |
||||||||||||||||||||
называется вектор с координатами { f / |
|
|
, f / |
|
|
|
}. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
M |
0 |
|
y |
|
M |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Свойства градиента |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1. Производная |
функции |
z f (x, y) |
по |
направлению l |
равна |
||||||||||||||||
скалярному произведению градиента |
grad z |
и единичного |
вектора |
|||||||||||||||||||
e {cos , cos }, задающего направление l |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
grad z e . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Модуль градиента grad z функции z f (x, y) в данной точке –
это «скорость» изменения функции в направлении вектора e наибольшего
возрастания функции в данной точке, причем
z |
|
|
|
. |
|||
| grad z | |
f / 2 |
f / 2 |
|||||
|
|
|
|||||
e |
|
x |
y |
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
3. Если градиент grad z дифференцируемой функции z f (x, y) |
||||
в точке М 0 (х0 , у0 ) |
отличен от нуля, то вектор grad z перпендикулярен |
линии уровня, проходящей через данную точку.
Пример. Найти градиент функции z 3x4 xy y3 в точке М(1,2).
Решение. Находим
fx/ 12x3 y , fx/ (x0 , y0 ) fx/ (1,2) 12 13 2 10 ,
f / x 3y2 |
, |
f / (x , y ) f / (1,2) 1 3 22 |
11. |
|
y |
|
y 0 0 |
y |
|
|
|
98 |
|
|
Следовательно, grad z(1,2) {10, 11}.
§ 2. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Частные производные высших порядков.
Экстремумы функции двух переменных
Если частные производные f x/ и f y/ функции z f (x, y) сами
являются дифференцируемыми функциями, то можно найти также и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка, то есть
f |
// |
f |
/ / |
, |
f |
// |
f |
/ / |
, |
f |
// |
f |
/ / |
, |
f |
// |
f |
/ / . |
|
xx |
|
x x |
|
|
xy |
|
x y |
|
|
yx |
|
y x |
|
|
yy |
|
y y |
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д.
порядков. Частная производная второго и более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.
Имеет место следующая теорема. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Теорема. Если частные производные |
второго |
порядка |
функции |
|||||||||||
z f (x, y) |
непрерывны в |
точке М 0 (х0 , у0 ) , то |
в этой точке |
||||||||||||
смешанные |
частные |
производные |
|
равны, |
то |
есть |
|||||||||
f // |
(x , y |
0 |
) f // |
(x |
, y |
0 |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
0 |
|
yx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример. Найти частные производные второго |
порядка |
функции |
||||||||||||
z 3x4 xy y3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение. Так как |
f / 12x3 y , |
f / |
x 3y2 , то |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
// 12x3 y / |
36x2 , |
|
f // |
12x3 y / |
1, |
||||||
|
|
|
xx |
|
|
|
x |
|
|
xy |
|
y |
|
|
|
|
|
|
f // |
x 3y2 / |
1, |
f // |
x 3y2 / |
6 y . |
|||||||
|
|
|
yx |
|
|
|
|
x |
|
|
yy |
|
y |
|
|
Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной.
99