9869
.pdfПусть функция z f (x, y) определена в некоторой окрестности точки (х0 , у0 ) . Точка (х0 , у0 ) называется точкой максимума
(минимума) функции z f (x, y) , если существует такая - окрестность точки (х0 , у0 ) , что во всех ее точках (х, у) , отличных от (х0 , у0 ) ,
выполнятся неравенство f (x, y) f (x0 , y0 ) ( f (x, y) f (x0 , y0 ) ).
|
|
|
|
|
|
Рис. 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
На |
рисунке 9: N1 – точка |
максимума, а |
N 2 – точка минимума |
||||||||||||||||||
функции |
|
z f (x, y) . Максимум и минимум |
функции называются |
ее |
|||||||||||||||||
экстремумами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема (необходимые условия экстремума). Если в точке (х0 , у0 ) |
|||||||||||||||||||||
дифференцируемая функция |
z f (x, y) имеет |
экстремум, |
то |
ее |
|||||||||||||||||
частные |
|
производные в этой |
точке равны |
нулю: |
f / (х |
0 |
, у |
0 |
) 0 , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
f / (х |
0 |
, у |
0 |
) 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Геометрически равенства |
f / (x |
0 |
, y |
0 |
) 0 и |
f / |
(x |
0 |
, y |
0 |
) 0 означают, |
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
что в точке экстремума функции касательная плоскость к поверхности,
изображающей функцию z f (x, y) , параллельна плоскости Оху , так
как уравнение касательной плоскости есть z z0 .
Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы
одна из частных производных не существует. Например, функция
100
|
|
|
|
|
z 1 |
х2 у 2 имеет максимум в точке |
х 0, |
у 0 (см. рис. 10), но |
|
не имеет в этой точке частных производных. |
|
|
Рис. 10
Точки, в которой частные производные первого порядка функции
z f (x, y) равны нулю, то есть |
f / |
0 и |
f / |
0 , и точки, в которых |
|
x |
|
y |
|
хотя бы одна частная производная не существует, называются
критическими точками.
В критических точках функция z f (x, y) может иметь экстремум,
а может и не иметь. Условия f / |
0 и |
f / |
0 являются необходимыми, |
x |
|
y |
|
но не достаточными условиями существования экстремума. Так, например, для функции z x2 y2 точка (0,0) является критической (в ней zx/ 2x
и z y/ 2 y обращаются в ноль), однако, очевидно, никакого экстремума в этой точке нет (см. рис. 11).
Рис. 11
101
Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой окрестности стационарной точки (х0 , у0 ) функция z f (x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно
причем |
f // |
(x |
, y |
) A, |
f // |
(x |
, y |
) B , |
f // |
(x |
, y |
0 |
) C . |
||||
|
xx |
0 |
0 |
|
xy |
|
0 |
0 |
|
|
yy |
0 |
|
|
|||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(x |
, y |
) |
A B |
|
AC B2 . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
B C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда:
1)если (x0 , y0 ) 0 , то функция z f (x, y) в точке (х0 , у0 )
имеет экстремум: максимум, если A 0 , и минимум, если A 0 ;
2)если (x0 , y0 ) 0 , то функция z f (x, y) в точке (х0 , у0 ) экстремума не имеет;
3)если (x0 , y0 ) 0 , то экстремум в точке (х0 , у0 ) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
|
Пример. Найти точки экстремума функции z 3x2 y x3 |
y4 . |
|||||
|
Решение. |
1) |
Найдем |
частные |
производные |
первого |
порядка: |
f / |
6xy 3х2 |
, |
f / 3x2 |
4 y3 . |
Точки, в |
которых |
частные |
x |
|
|
y |
|
|
|
|
производные не определены отсутствуют.
2) Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:
6ху 3х2 0,
3х2 4 у3 0.
Отсюда получаем две точки: М1 (6,3) и М 2 (0,0) .
3) Находим частные производные второго порядка данной функции:
f // 6y 6х , |
f // |
6х , |
f // |
12 y2 . |
xх |
xy |
|
yy |
|
|
|
|
|
102 |
4) В точке М1 (6,3) |
имеем: A 6 3 6 6 18, |
B 6 6 36, |
|||||||||||||
C 12 32 |
108, отсюда (6,3) 18 ( 108) 362 |
648 0, |
то |
||||||||||||
есть М1 (6,3) |
– точка экстремума. Так как |
A 18 0, |
то М1 (6,3) – |
||||||||||||
точка максимума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В точке |
М 2 (0,0) : |
A 0 , B 0 , |
C 0, |
отсюда (0,0) 0 . |
|||||||||||
Проведем |
дополнительное |
|
|
исследование. |
Значение |
функции |
|||||||||
z 3x2 y x3 |
y4 |
в точке М |
2 |
(0,0) равно нулю. Рассмотрим точки из |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
окрестности |
|
точки |
М 2 (0,0) |
такие, |
что |
х 0, |
тогда |
||||||||
z(х 0, у) y4 0, |
а |
теперь |
рассмотрим |
точки |
из |
той |
же |
||||||||
окрестности, но с условием |
у 0, |
х 0 : |
z(х 0, у 0) x3 0 . |
||||||||||||
Таким образом, в |
любой |
окрестности |
точки |
|
М 2 (0,0) |
функция |
|||||||||
z 3x2 y x3 |
y4 |
принимает как отрицательные, так и положительные |
значения. Следовательно, в точке М 2 (0,0) функция экстремума не имеет.
z
y
M x, y
x
y
Рис. 12
103
Наибольшее и наименьшее значение функции |
|
|
|
в замкнутой области |
|
Пусть функция |
z f (x, y) определена и непрерывна |
в |
ограниченной области |
D . Тогда она достигает в некоторых точках |
D |
своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D , или в точках,
лежащих на границе области.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z f (x, y) :
1)Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и
вычислить значения функции в них;
2)Найти наибольшее и наименьшее значения функции z f (x, y)
на границах области;
3) Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них
наибольшее и наименьшее. |
|
|
|
|
|||
Пример. |
Найти наибольшее |
и |
наименьшее |
значение функции |
|||
z x2 y ху2 |
ху в замкнутой области, ограниченной линиями: |
x 1, |
|||||
x 2, у 1,5, у |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
х |
|
|
|
|
|
Решение. Здесь |
z / 2xy y 2 |
y , |
z / 2xy x2 |
x . |
|
||
|
|
|
х |
|
y |
|
|
1)Находим все критические точки:
2xy y 2 |
y 0, |
y(2x y 1) 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, |
|
1) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
2xy x2 |
x(x 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
||
Решением системы являются точки (0,0) , ( 1,0) |
, (0, 1) , |
( |
1 |
|
, |
1 |
). Ни |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
одна из найденных точек не принадлежит области D .
104
Рис. 13
2)Исследуем функцию z x2 y ху2 ху на границе области,
состоящей из участков АВ ,
а)
В плоскости x 1
A
32
ВС , СЕ и ЕА (см. рис. 13).
z
3
0 |
|
B |
-1 |
1 |
y |
34
-1
Рис.14
105
Участок AB –отрезок вертикальной прямой x 1 при |
|
3 |
y 1 |
|
2 |
||||
|
|
|
(см. рис. 13). При x 1 функция z y y2 2y является функцией одного
переменного |
|
y . |
|
Находим |
производную |
|
z y2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 y 2 y 2 . |
||||||||||||||||||||||||
Приравнивая |
ее к |
|
нулю |
2 y 2 0 , |
находим |
стационарную |
точку |
||||||||||||||||||||
y 1 |
|
3 |
|
;1 |
. Значение функции |
z y y2 |
2y |
при |
y 1 |
равно: |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z 1 1 2 |
|
2 1 1 2 1, |
а значение функции |
z y на концах |
|||||||||||||||||||||||
отрезка |
|
3 |
;1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 2 |
|
|
3 |
9 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
z 1 12 2 1 1 2 3 .
Следовательно, наименьшее значение функции z на отрезке AB равно 1, а наибольшее 3 , то есть zнаим. 1, zнаиб. 3 . (см. рис. 14).
б)
z |
2;0,5;3,5 |
|
1;1;3 |
y
|
|
1 |
|
|
1 |
B |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
C |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
1 |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 15 |
|
|
|
|
Участок BC – дуга гиперболы y |
1 |
при 1 x 2 (см. рис. 13). При |
|||||||
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
1 |
функция z x x |
1 |
1 |
является функцией одного переменного x . |
|||||
x |
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
106
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Находим производную |
|
x |
|
1 |
1 |
|
. Приравнивая ее к нулю |
||||||||||||||
|
x2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
0 , находим |
x |
1, |
|
x |
|
1, |
из |
которых только одна точка |
x |
|
1 |
||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
принадлежит отрезку 1;2 |
(см. рис. 15). Значение функции z x x |
1 |
1 |
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
при x 1 равно: z 1 1 |
1 |
1 3, |
а |
значение z x на правом |
конце |
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
отрезка 1;2 равно z 2 2 |
|
1 |
|
1 3,5 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Следовательно, наименьшее значение функции z на участке BC |
||||||||||||||||||||
равно 3 , а наибольшее 3,5 , |
|
то есть zнаим. 3, |
zнаиб. 3,5 . |
|
|
|
|
в) |
z |
В плоскости |
|
||
|
|
|
|
3,5 |
x 2 |
|
|
E 0 C
|
3 |
1 |
y |
|
|||
|
2 |
2 |
|
4,5
Рис. 16
107
|
|
Участок |
CE – отрезок вертикальной прямой x 2 |
|
при |
|
|
3 |
|
y |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(см. рис. 13). При x 2 |
функция z y 2y2 |
6y является функцией одного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменного |
y . |
Находим производную |
|
|
z 2 y2 |
|
|
|
|
|
4 y 6 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Приравнивая ее к нулю: 4y 6 0 , |
находим |
|
точку y |
3 |
|
, совпадающую |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с |
левым |
концом |
отрезка |
|
|
|
|
; |
|
|
|
(см. |
|
рис. |
16). |
Значение |
|
|
функции |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z y 2y2 6y |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
при y |
|
|
равно: |
z |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
4,5 , |
а |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
значение z x |
на правом конце отрезка |
|
3 |
; |
1 |
, |
то есть при |
y |
1 |
равно: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
1 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z |
|
2 |
|
6 |
|
|
3,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, на отрезке CE наименьшее значение равно 4,5, а |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
наибольшее 3,5 , то есть zнаим. |
|
4,5 , |
zнаиб. 3,5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В плоскости |
|
|
y |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
108 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Участок AE – отрезок горизонтальной прямой y |
3 |
|
при 1 x 2 |
|||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(см. рис. 13). При y |
3 |
функция z x |
3x2 |
|
|
3x |
является функцией |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
одного переменного x . Находим производную z |
|
|
3x2 |
|
3x |
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
4 |
|
Приравнивая ее к нулю: |
3x |
|
3 |
0 |
находим точку |
x |
1 |
, которая не |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||
принадлежит отрезку 1; 2 (см. рис. 17). Значения функции z x на концах |
|||||||||||||||||||||||||||||||
отрезка 1; 2 равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z 1 |
3 12 |
|
|
|
3 1 |
|
3 |
|
3 |
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z 2 |
3 22 |
|
|
|
3 2 |
6 |
3 |
|
4,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, наименьшее значение z |
на отрезке AE равно 4,5, |
||||||||||||||||||||||||||||||
а наибольшее |
3 |
, |
то есть z |
|
|
|
|
4,5 |
, z |
|
|
3 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
наим. |
наиб. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)Сравнивая полученные результаты в пунктах а), б), в), г),
имеем: z |
|
|
z(2; |
1 |
) 3,5 |
z |
|
z(2; |
3 |
) 4,5 . |
|||||||||
наиб |
|
|
наим |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
1,1,3 |
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2; |
|
;3,5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
E |
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
1; |
|
; |
|
|
|
1; 1; 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2; |
|
; 4,5 |
|
|||
|
|
2 |
|
Рис. 18
109