9869
.pdfДелаем проверку найденного решения 1; 2;3 :
1 2 3 2 верно,2 1 3 1 верно,3 1 2 5 верно.
Ответ: 1; 2;3 .
§ 2. Векторная алгебра
Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.
Вектором называется направленный отрезок. Чтобы отрезок стал направленным, один из его концов объявляется началом вектора, а другой
– концом вектора. На чертеже вектор изображается стрелкой (см. рис. 1), идущей от начала к концу. В записи вектор обозначается маленькой
буквой латинского алфавита с чертой a или стрелкой a сверху или парой
заглавных букв латинского алфавита с чертой AB или стрелкой AB сверху, из которых первая буква – начало вектора, а вторая буква – конец вектора.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
a |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
A |
Рис. 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Длиной вектора называется длина отрезка, изображающего данный |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор и обозначается: |
a |
или |
AB |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Назовем вектор ортом, если его длина в некотором масштабе равна единице. Для обозначения единичных векторов, или ортов, чаще
используют буквы: e , i , j , k e i j 1 .
Задание вектора с помощью орта и длины не фиксирует его начала.
Такие векторы называются свободными. Свободный вектор можно
переносить параллельно самому себе и его началом можно считать любую
11
точку пространства. В векторной алгебре всегда имеем дело со свободными векторами и будем их переносить параллельно самим себе,
меняя точку их приложения, то есть начало вектора.
Нуль-вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Он имеет нулевую длину, то есть 0 0 .
Линейные операции над векторами
Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножение вектора на число.
Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c , начало которого совпадает с началом вектора a , а конец – с концом вектора b ,
при чем конец вектора a и начало вектора b совмещаются и обозначается: c a b .
Пусть даны вектора a и b . (См. рис. 2)
a |
|
|
b |
Рис.2
Чтобы их сложить, то есть найти сумму a b этих векторов,
необходимо нарисовать a и b в одном и том же масштабе таким образом,
чтобы начало вектора b – второго слагаемого, совпало с концом вектора a
– первого слагаемого (см. рис. 3). Тогда отрезок, соединяющий начало вектора a с концом вектора b будет суммой a b в том же масштабе, в
котором представлены a и b .
12
b
a
a b
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
Противоположным |
вектору a |
называется такой вектор |
a |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
который при сложении |
с вектором |
|
a дает нуль-вектор, то |
есть |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что разностью векторов a и b является сумма вектора a
и вектора b , противоположного вектору b , то есть a b a b .
|
|
|
|
|
|
||
Произведением вектора |
a |
на число называется такой вектор |
|
a |
|
||
|
|
|
|||||
, направление которого совпадает с вектором |
a |
, если 0 |
|
и |
противоположно направлению вектора a , если 0 ; длина же вектора
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
в |
|
|
раз «больше» длины вектора a , то есть |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Пусть дан вектор a (см. рис. 4), |
тогда векторы |
b |
2 |
a |
, |
c |
a |
|
||||||||||||||||
изображены на рисунке 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b
a
c
Рис. 4 |
Рис. 5 |
13
Свойства линейных операций над векторами:
1.a b c a b c
2.a b b a
3.a 0 a
4.a a 0
5.a a
6.a b a b
7.a a a
8.1 a a , где , , , – действительные числа.
Действия над векторами в координатной форме.
Три единичных взаимно перпендикулярных вектора i , j , k
пространства, через которые условились выражать все векторы пространства, называются базисными векторами или базисом.
Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве
называется совокупность точки O и базиса |
|
, |
|
, |
|
. (См. рис. 6) |
||||||||||||
i |
j |
k |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
a2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a1 |
i |
|
|
O |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6 |
|
|
|
|
Точка O называется началом координат, оси Ox , Oy и Oz ,
проходящие через начало координат – точку O в направлении базисных
14
векторов i , j и k называются осями координат. Плоскости xOy, xOz и
yOz , проходящие через каждую пару осей координат называются
координатными плоскостями.
Если выбрана прямоугольная декартова система координат, то
любой вектор a пространства может быть единственным образом разложен по векторам i , j , k базисным как:
a a1 i a2 j a3 k ,
то есть для каждого вектора a пространства в выбранной прямоугольной декартовой системе координат найдется единственная тройка чисел – координат a1 , a2 , a3 , что позволяет написать равенство:
(см. рис. 6).
Если два вектора a и b в прямоугольной декартовой системе координат заданы своими координатами, то есть a a1 , a2 , a3 ,
bb1 ,b2 ,b3 , то
1)a a1 , a2 , a3 ;
2)a b a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 .
Пример. Найти координаты вектора c 2a b , если a 1; 2;3 ,
b 1;0;1 .
Решение:
2a 2 1; 2 2; 2 3 2; 4;6 .
c 2a b 2; 4;6 1;0;1 2 1 ; 4 0;6 1 1; 4;7 .
Ответ: c 1; 4;7 .
15
Для произвольной точки M x; y; z в прямоугольной декартовой
системе координат координатами вектора OM являются проекции вектора на оси Ox , Oy , Oz соответственно, то есть OM x; y; z . (См. рис. 7)
|
|
z |
|
|
M |
|
|
O |
|
B |
y |
x |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
Рис. 7 |
Длина вектора OM находится из двух прямоугольных треугольников OBA и OAM :
OA2 OB2 AB2 x2 y2 ;
OM OA2 AM 2 x2 y2 z2 .
Пример. Найти a , если a i 2 j 2k .
Решение. Координаты вектора a : a 1; 2; 2 . Длина вектора a : a 12 2 2 22 3.
Ответ: a 3.
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b
называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними и обозначается: a b , то есть
a b a b cos (a b) .
16
Свойства скалярного произведения:
1)a b b a ;
2)a b a b , R ;
3)a b c a b a c ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4) |
|
a |
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
|
|
|
1, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
, если |
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример. Найти длину вектора |
c |
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
a |
|
b |
60 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Решение. По формуле (2.1), находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
c |
|
c |
c |
a |
b |
a |
b |
|
a |
|
a |
b |
|
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 4 |
|
a |
|
|
|
b |
|
cos |
a |
|
b |
4 12 |
|
|
4 4 2 1 cos 60 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 8 |
|
|
12 2 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
c |
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Если |
два |
|
|
|
|
вектора a |
|
|
|
|
|
|
|
|
и b |
|
заданы своими |
|
|
|
координатами: |
a a1; a2 ; a3 и b b1;b2 ;b3 , то их скалярное произведение находим по формуле:
|
|
a1 b1 a2b2 a3b3 . |
|
|
a |
|
b |
(2.2) |
Пример. Найти скалярное произведение векторов 2a и 3b , если
a 1; 2;3 и b 0; 1;1 .
Решение. Координаты векторов 2a и 3b :
2a 2 1; 2;3 2 1; 2 2; 2 3 2; 4;6 ;
17
3b 3 0; 1;1 3 0; 3 1 ; 3 1 0;3; 3 .
По формуле (2.2) искомое скалярное произведение равно:
2a 3b 2 0 4 3 6 3 0 12 18 6.
Ответ: 6 .
Некоторые приложения скалярного произведения:
1. Угол между двумя ненулевыми векторами a a1; a2 ; a3 и b b1;b2 ;b3 из определения скалярного произведения вычисляется по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( |
a |
|
b |
|
) arccos |
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a1b1 a2b2 a3b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(a b) arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.3) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a2 |
a2 a2 |
b2 |
b2 |
b2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Пример. Найти угол |
между |
|
векторами |
|
a |
|
i |
j |
k |
и |
b j k .
Решение. Координаты векторов a и b : a 1; 2; 2 и b 0; 1;1 .
Тогда по формуле (2.3), угол между векторами a и b равен:
|
|
|
|
1 0 2 1 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( |
a |
|
b |
) arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
22 22 02 |
12 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
arccos |
arccos 0 , следовательно, ( |
a |
|
b |
) 90 , то есть |
a |
|
b |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Ответ: 90 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2. Проекция вектора a на вектор b вычисляется по формуле: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
np |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти |
np |
|
|
b, если |
a |
|
i |
|
k |
|
и |
|
b |
2 |
i |
|
j |
. |
||||||||||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1;0; 1 , |
|
|
2;1;0 . Тогда |
||||||||||||||||||||||||
Решение. Координаты векторов |
a |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 0 1 1 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
np |
|
|
b |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
12 02 1 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: np a b 2 .
Векторное произведение векторов
Три некомпланарных (непараллельных одной плоскости) вектора a , b и c , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если из |
конца третьего вектора c поворот |
от первого вектора a ко |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
второму |
вектору b по кротчайшему пути виден против хода часовой |
||||||||||||||||||
стрелки, и левую, если по часовой. (См. рис. 8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
||||
|
|
c |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
a |
||||||||||||
|
|
|
|
правая |
|
левая |
|||||||||||||
|
|
|
|
тройка |
тройка |
Рис. 8
Векторным произведением вектора a на вектор b называется такой
вектор c , что:
1) c a , c b ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|||
2) |
|
c |
|
|
a |
|
|
b |
|
a |
|
b |
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) тройка векторов a , b , и c – правая, и обозначается a b c .
19
Из определения векторного произведения непосредственно вытекают
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следующие соотношения между ортами i , |
j , и k : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
i |
|
j |
k |
|
|
j |
k |
|
i |
|
|
k |
|
i |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Поскольку тройки векторов |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
, |
|
и |
|
|
, |
|
|
, |
|
левые, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
j |
, |
|
i |
, |
k |
k |
j |
i |
i |
k |
j |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
j |
|
i |
k |
|
k |
j |
i |
|
|
|
i |
k |
j |
Свойства векторного произведения:
1)a b b a ;
2)c a b c a c b;
3)a b a b a b , R ;
4)a b 0 a || b .
Векторное произведение двух векторов a a1; a2 ; a3 и b b1;b2 ;b3 находится по формуле:
|
|
|
|
|
a2 |
a3 |
|
|
|
a1 |
a3 |
|
|
|
a1 |
a2 |
|
|
. |
|
|
|
|
a |
b |
i |
j |
k |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b2 |
b3 |
|
|
|
|
b1 |
b3 |
|
|
|
b1 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
произведение векторов |
|
1; 2;3 и |
||||||||||||||||||
Пример. Найти |
векторное |
a |
b 0;1; 1 .
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a |
b |
i |
j |
|
k |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
2 3 i 1 0 j 1 0 k 5i j k .
Ответ: a b 5i j k .
20