9869
.pdf1
Пример. Вычислить xex dx .
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Решение. Обозначая u x , dv ex dx , |
получаем du dx , v ex . |
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
||
1 |
|
1 |
1 |
|
1 e e1 e0 e e 1 1. |
||
xex dx xex |
|
ex dx 1 e1 0 e0 ex |
|
||||
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 1. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Вычисление площади плоской фигуры |
|
|||
Если уравнение заданной линии есть |
y f x , |
то, как было |
|||||
показано, площадь S криволинейной трапеции определяется формулой: |
|||||||
|
|
|
a |
|
|
||
|
|
|
S f x dx . |
|
|
||
|
|
|
a |
|
|
||
Обобщим полученные результаты на случай вычисления площади |
|||||||
произвольной плоской фигуры. |
|
|
|||||
Площадь |
Q , ограниченная кривыми |
y f1 x |
и y f2 x и |
||||
прямыми x a , |
x b, при условии f1 x f2 x , будет, |
очевидно, равна |
разности площадей криволинейных трапеций S1 a,b и S2 a,b , то есть
Q S1 a,b S2 a,b
или
|
|
b |
b |
b |
x f2 |
|
|
|
|
|
Q f1 |
x dx f2 |
x dx f1 |
x dx . |
(2.7) |
||
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить площадь, ограниченную кривыми y |
|
|
|||||
|
2x и |
|||||||
y |
x2 |
(см. рис. 21). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
130
y |
y x |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
y 2x |
0 |
2 |
x |
|
|
Рис. 21
Решение. Находим абсциссы точек пересечения заданных кривых:
2x x2 ;
2 x2 b 2.
2 |
|
|
|
|
2x |
||||
Q |
||||
0 |
|
|
|
2x |
x4 |
; |
8x x4 ; |
|
|
x x3 |
8 0, |
откуда |
x a 0 |
, |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, в |
|
соответствие |
|
с формулой (2.7) |
||||||||||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 2 |
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
8 |
|
4 |
(кв. ед.) |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
6 |
3 |
||||||
|
|
|
|
Ответ: 43 кв.ед.
131
Контрольные задания
Задание № 1
Найти уравнения и построить линии уровня функции
zf (x, y):
1.1z у х 2 .
1.2z ху .
1.3 |
z |
у х2 |
. |
|
|||
|
|
х2 |
1.4z х2 у у .
1.5z ху .
1.6z х у 1 .
1.7z ху у .
1.8z х у .
1.9z у2 х .
1.10z у .
х3
132
Задание № 2
Для функции z f (x, y) в точке M 0 (x0 , y0 ) найти:
а) градиент,
б) производную по направлению вектора a .
2.1 z 3х2 2 у , M0 (1; 3) , a 6; 8 .
2.2 |
z ln( 3x 2 y) , |
M0 ( 1; 2) , |
a 3; 4 . |
|||||||||||||||||||||||||||
2.3 |
z |
|
arctg |
|
|
y |
, |
M |
|
(1; 1) |
, |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5; 12 . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.4 |
z |
|
|
x y |
, |
M |
(1; |
2) , |
a 1; 2 . |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x2 y 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.5 |
z хy3 x3 у , |
M 0 (1; 3) , |
|
a 2; 1 . |
||||||||||||||||||||||||||
2.6 |
z х2 cos у , M |
(1; ) , |
a 5; 12 . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.7 |
z sin( ху) , M 0 (1; 1) , |
a 1; |
1 . |
|
||||||||||||||||||||||||||
2.8 |
z |
|
|
ln |
|
x |
|
y |
2 |
, |
M |
0 |
(3; |
4) |
, |
a |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6; |
8 . |
||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
M |
(0; |
1) |
|
|
a |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x 2 |
y 2 |
1 , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2.9 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
1; |
1 . |
|||||||||||||||
2.10 |
z sin( x y) , |
|
M 0 ( |
; |
) |
, |
a 3; 4 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
133
Задание № 3
Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z f (x, y) в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) :
3.1z 1 х2 2 у2 , M0 (1; 1; 4) .
3.2х2 у2 z 2 1, M0 (2; 2; 3) .
3.3z ln( х2 у2 ) , M 0 (1; 0; 0) .
3.4z 1 х2 2 у2 , M 0 (1; 1; 4) .
3.5 |
x2 y2 z2 4x 6y 8z 1 0 , |
M |
0 |
(1; 2; 2) . |
|
|
|
|
3.6 |
z x4 2x2 y xy x , M |
0 |
(1; 0; 2) . |
|
|
|
|
3.7 |
x2 2y2 3z 2 xy yz 2xz 16 0 , M0 (1; 2; 3) . |
3.8x2 2y2 3z2 6 , M0 (1; 1; 1) .
3.9x2 4y2 2z2 6 , M 0 (2; 2; 3) .
3.10 z 3x4 xy y3 , M 0 (1; 2; 9) .
134
Задание № 4
С помощью дифференциала найти приближенное значение числового
выражения:
4.1 3 7,98 (1,04)7,98 .
4.2 3 (4,97)2 (1,06)2 1 .
4.3 ln(3 0,98 2 1,03 1) .
5,03
4.4 (5,03)3 (1,96)2 .
(3,04)2
4.5 arctg (2,97)2 .
4.6 5 (4,03)2 (0,96)5 15 . 4.7 ln((2,02)3 5 0,96 8) .
6
4.8(2,97)4 (2,03)3 .
4.9ln(3 8,02 0,96) .
4.102 3 0,97 4,03 .
135
Задание № 5
Для функции z f (x, y) найти точки экстремума.
5.1f (x, y) х2 6x у2 2 y 1.
5.2f (x, y) х2 2x у2 4 y 2 .
5.3f (x, y) х2 6x у2 8 y 3 .
5.4f (x, y) х2 2x у2 2 y 4 .
5.5f (x, y) х2 4x у2 6 y 5 .
5.6f (x, y) х2 8x у2 2 y 6 .
5.7f (x, y) х2 10x у2 2 y 7 .
5.8f (x, y) х2 2x у2 6 y 8 .
5.9f (x, y) х2 10x у2 8y 9 .
5.10f (x, y) х2 2x у2 4 y 10 .
136
Задание № 6
Найти наибольшее и наименьшее значение функции z f (x, y) в замкнутой области D .
6.1z 6xy 9x2 9 у2 4x 4 y ,
D : 0 x 1, 0 y 2 .
6.2z xy x2 2 ,
D : y 0, y 4x2 4 .
6.3z 4xy 4x2 у2 8 y ,
D : x 0, y 2x, y 2.
6.4z 2xy x2 у2 4x ,
D : x 0, y 0, y x 2.
6.5z 3xy 5x2 у2 ,
D : 1 x 1, 1 y 1.
6.6z 0,5x2 xу ,
D : y 2x2 , y 8 .
6.7z xy 3x y ,
D : y x, y 4, x 0 .
6.8z xy 3x 2 у ,
D : 0 x 4, 0 y 4 .
6.9z xy x2 3x y ,
D : 0 x 2, 0 y 3 .
6.10z xy x 2 у ,
D : y x, y 0, x 3 .
137
Задание 7
Найти неопределенные интегралы.
7.01а) x 1 2 dx ;
x3
7.02 |
а) |
x 2 3 |
|
dx ; |
|||
|
|||
|
|
x |
7.03а) x4 x 1 dx ;
7.04 |
а) |
3x 4 xex |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
||||
7.05 |
а) |
|
2 |
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
dx ; |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
7.06 а) |
x cos x 3 x2 |
|
|
dx |
|
|
||
|
x |
|
; |
|
|
dx
б) x 1 2 ;
dx
б) x 1 3 ;
dx
б) 3 1 x ;
б) 3 x 1 2 dx
;
б) xe x2 dx ;
в) x 1 cos xdx
.
в) x3 ln xdx.
в) 3x 1 ex dx .
в) x sin xdx.
в) 1 x ex dx .
б) 3 4x 7 dx ; |
в) x ln xdx. |
7.07 |
|
2x 1 2 |
б) |
|
|
dx |
|
|
||||||||
а) |
|
|
|
|
dx ; |
2 |
|
|
|
5 ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|||||||||
7.08 |
а) |
x 1 3 |
б) |
x dx |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
1 |
|
||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 x2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||
7.09 |
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
|
|
|
|
|
dx ; |
б) |
x |
|
|
|
5 ; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
3 |
|||||||
7.10 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
2 x 1 dx ; |
б) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
3x 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) x cos xdx.
в) x sin xdx.
в) x5 ln xdx.
в) x 1 ln xdx .
138
Задание 8.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
8.01y x2 ; x y 2 0.
8.02y 16x ; y 17 x .
8.03xy 4 ; x 1; x 4 ; y 0.
8.04 |
y ln x ; |
x e ; |
y 0. |
||||
8.05 |
y e2 x ; |
x 1; y 1. |
|||||
|
|
1 |
x |
|
|
x 0. |
|
8.06 |
y |
|
|
|
; |
y 9; |
|
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
x 4 . |
|
8.07 |
y |
|
|
|
; |
y 4 ; |
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
8.08 |
y 4 x2 ; |
y 0. |
8.09y ex ; y x2 ; x 1; x 2 .
8.10 y x3 ; |
x 0; |
y 8 . |
139