9869
.pdfПределом функции y f x в точке x x0 называется такое число
A, что для |
любой последовательности |
xn значений |
аргумента x , |
|
сходящейся |
к числу x0 , последовательность |
yn , |
yn f xn |
|
соответствующих значений функции y |
стремится |
к этому числу A и |
||
обозначается: |
lim f x A . |
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
При нахождении пределов функций нужно использовать следующие
свойства предела функции: если существуют конечные пределы lim f x
x a
и lim g x , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
lim c f x c lim |
f x , c const ; |
||||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
2) |
lim |
f x g x lim |
f x lim g x ; |
|||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
x a |
|
|
x a |
||
3) |
lim |
f x g x lim |
f x lim g x ; |
|||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
x a |
|
x a |
|||
4) |
lim |
1 |
|
0 (или ), если lim f x (или 0); |
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
f x |
|||||||||||
|
x a |
|
|
|
f x |
|
x a |
|||||
|
|
|
f x |
|
lim |
|
|
|
||||
5) |
lim |
|
|
x a |
|
, если lim g x 0 . |
||||||
|
g x |
|
lim g x |
|||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
x a |
|||||
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить lim |
|
x2 |
1 |
. |
||||||||
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 3x2 |
|
Решение: Разделим числитель и знаменатель на x2 , получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
lim |
|
lim |
|
|
x2 |
x2 |
|
lim |
x2 |
|
|
||||||||||||
3x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
3x |
2 |
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
n |
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
|
|
lim 1 lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 |
|
|
1 0 |
|
1 |
|
|||||
|
x |
x |
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
3 0 |
|
||||||
|
lim 3 lim |
1 |
|
|
|
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
x x |
|
|
|
|
|
|
При нахождении пределов функций также полезно знать первый
замечательный предел: lim sin x 1 и следствия из него:
x 0 x
51
|
lim |
tg x |
1; |
|
lim |
arcsin x |
|
1; |
|
|
lim |
|
arctg x |
1; |
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
x 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и второй замечательный предел: lim 1 |
|
|
lim 1 x |
|
e . |
|||||||||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример. Вычислить предел |
lim |
|
|
sin 2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
arctg 3x |
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
sin 2x |
|
|
0 |
|
|
2 |
lim |
sin 2x |
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
arctg 3x |
0 |
|
|
|
arctg3x |
|
|
|
||||||||||||||||||
x 0 |
|
3 |
|
x 0 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
lim |
sin |
2x |
lim |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 x 0 |
2x |
x 0 |
arctg3x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
t 2x |
|
|
2 |
|
sin t |
|
|
y |
|
2 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
lim |
lim |
|
|
1 1 |
. |
||||||||||
y 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 t 0 |
t |
y 0 |
arctgy |
|
3 |
|
3 |
|
2
Пример. Вычислить предел lim 1 3x x .
x 0
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 lim |
|
1 |
|
|
3 x |
|
lim 3 x |
2 |
|
|
1 |
|
||||||
2 |
1 |
x |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim 1 3x |
x |
|
3x |
3 x |
|
ex 0 |
x e 6 |
|
|
|
|
. |
|||||||
|
e |
|
|||||||||||||||||
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Общий метод (правило Лопиталя) вычисления пределов в случаях |
|||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
неопределенности |
|
и |
|
|
рассматривается в дифференциальном |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
исчислении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть y f x функция от x , имеющая пределом число |
A, когда |
||||||||||||||||||
x стремится к числу a . |
Предположим, |
что все значения величины x |
|||||||||||||||||
меньше, чем число a , |
то есть x a . Символически это выражается очень |
||||||||||||||||||
удобной записью: |
x a 0 |
(вместо |
x a, x a). |
|
Тогда |
|
предел |
||||||||||||
lim f x A1 называют пределом функции |
f x в точке |
x a слева или |
x a 0
левосторонним пределом.
52
Аналогично, при x a, x a , то |
есть |
x a 0 предел |
lim f x A2 называют пределом функции |
f x |
в точке x a справа |
x a 0 |
|
|
или правосторонним пределом.
Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке называются односторонними пределами.
Дадим определение непрерывности функции в точке.
Функция y f x называется непрерывной в точке x x0 , если:
1)функция f x определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности, содержащей эту точку x0 ;
2)функция f x имеет одинаковые односторонние пределы в этой
точке x0 , то есть lim |
f x lim |
f x ; |
|
x x0 0 |
x x0 0 |
|
|
3) эти односторонние пределы должны быть равны значению |
|||
функции f x в этой точке x0 : lim |
f x f x0 . |
|
|
|
x x0 |
|
|
Функция y f x называется разрывной в точке |
x x0 , если она |
||
определена в сколь угодно малой окрестности точки x0 , |
но в самой точке |
x0 не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.
Точки разрыва функции можно разделить на два типа.
Точка разрыва x0 функции y f x называется точкой разрыва 1-
го рода, если существуют конечные односторонние пределы функции в этой точке, которые не равны между собой или равны между собой, но не равны значению функции в этой точке. Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке x0 не существует или равен бесконечности, то x0 – точка разрыва функции 2-го рода.
53
Пример. Исследовать на непрерывность функцию и построить ее
|
|
1 |
, при x 0 |
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
||
|
|
|
|
график y x2 , при 0 x 1. |
|||
|
2 x, при x 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Областью определения данной функции y является вся |
||||
числовая ось, то есть |
D R . |
Точками «подозрительными» на точки |
|||
разрыва являются точки |
x1 |
0 |
и |
x2 1, так как при переходе через эти |
|
точки функция |
y меняет |
свое |
аналитическое выражение с дробно – |
рациональной на квадратичную и с квадратичной на линейную, соответственно.
Исследуем непрерывность функции y в точке x1 0 :
lim |
y lim |
1 |
|
|
1 |
|
|
||
x |
0 |
|
|||||||
x 0 0 |
x 0 |
|
|
|
|||||
lim |
y lim x2 |
0 2 0 |
|
||||||
x 0 0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
y 0 x2 |
|
|
|
|
02 |
0 |
|
||
|
|
x 0 |
|
|
|||||
Поскольку |
условие |
непрерывности функции |
y в точке x1 0 |
||||||
нарушается, то |
x1 |
0 – |
точка разрыва функции y , |
т.к. левосторонний |
предел функции y в точке x1 0 равен бесконечности, то x1 0 – точка
разрыва 2-го рода.
Исследуем непрерывность функции y в точке x2 1:
lim y lim x2 |
1 0 2 |
1 |
|
x 1 0 |
x 1 0 |
|
|
lim y lim x2 |
2 x 2 |
2 1 0 1 |
|
x 1 0 |
x 1 0 |
|
|
y 1 2 x x 1 2 1 1
54
Условие непрерывности функции y в точке x2 1 выполняется,
значит, функция y в точке x2 1 непрерывна.
Построим график функции y :
|
y |
y x2 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
1 2 |
x |
y |
1 |
|
y 2 x |
|
x |
|
|
Рис. 54
Производная
Пусть функция y f x определена на некотором интервале a;b .
Аргументу |
x a;b |
дадим |
приращение |
x , получим точку |
||||||||||
x x a;b . |
Найдем |
соответствующее |
приращение |
функции: |
||||||||||
y f x x f x . |
Составим отношение приращения |
y |
функции |
|||||||||||
y к приращению x аргумента |
x : |
y |
и найдем предел этого отношения |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
при x 0, то |
есть |
lim |
y |
. Если |
этот |
предел |
существует, то |
его |
||||||
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называют |
производной |
функцией |
от |
данной |
функции |
y f x |
и |
|||||||
обозначают одним из символов: |
|
|
dy |
, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y x , |
|
f x , |
yx . |
|
|
|
dx
Итак, по определению
55
|
|
y x x y x |
. |
||
|
|
|
|
||
y x lim |
|
x |
|||
|
x 0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Функция y f x , |
имеющая |
производную в каждой точке |
интервала a;b , называется дифференцируемой в этом интервале, а
операция |
нахождения |
производной |
функции |
называется |
||||
дифференцированием. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения производной |
функции |
|
y f x |
|
|
в |
точке x x0 |
|
обозначается одним из символов: y x0 , |
f x0 или |
y |
|
x x0 . |
||||
|
Пример. Найти по определению производную функции y x2 .
Решение. Областью определения D данной функции является вся числовая ось, то есть D R . Выберем произвольную точку x R . Дадим
ей приращение x , получим новую |
точку x x R . Находим |
соответствующее приращение y функции |
y x2 : |
y y x x y x x x 2 x2
x2 2x x x 2 x2 2x x x 2 .
Составим отношение |
y |
|
2x x x 2 |
2x x |
и найдем предел |
|
x |
x |
|||||
|
|
|
|
|||
отношения при x 0: |
|
|
|
|
||
lim |
y lim 2x x 2x 0 2x . |
|
||||
x 0 |
x |
x 0 |
|
|
Поскольку данный предел существует, то производная функции y x2 в
точке x равна 2x , то есть x2 2x .
Пусть материальная точка (тело) движется неравномерно по закону прямолинейного движения S S t . Каждому значению истекшего времени t соответствует определенное расстояние S до некоторой фиксированной точки O . Тогда средняя скорость Vcp движения точки за время t равна:
56
Vcp St , где S S t t S t .
Предел средней скорости Vcp движения при стремлении к нулю
промежутка времени t называется скоростью V движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью)
.
Таким образом, скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t , то есть
V St . В этом заключается механический смысл производной. |
|||
Если функция y f x описывает какой-либо физический процесс, |
|||
то производная y есть |
скорость протекания этого процесса. В этом |
||
состоит физический смысл производной. |
|
|
|
y |
|
y f x |
|
|
|
|
|
|
n |
M x; y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
l |
|
M 0 |
A |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
|
|
0 |
x0 |
Рис. 55 |
x |
|
|
|
Под касательной l к графику функции y f x в точке M 0 понимают
предельное положение секущей M 0 M , когда |
точка M движется по |
|
кривой к точке M 0 (см. рис. 55). |
Нормалью |
n называется прямая, |
проходящая через данную точку M 0 |
перпендикулярно касательной l (см. |
|
рис. 55). |
|
|
57
Пусть касательная l образует с положительным направлением оси
Ox угол 0 , а секущая M 0 M – угол x . Тогда из прямоугольного треугольника AM0 M , получаем: tg x yx . Переходя к пределу при
x 0, находим:
lim tg x lim |
y |
y x0 tg 0 |
k , |
|
x 0 |
x 0 |
x |
|
|
То есть производная |
y x0 в точке x0 равна угловому коэффициенту k |
касательной l к графику функции y f x в точке, абсцисса которой
равна x0 . В этом заключается геометрический смысл производной.
Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку M0 x0 ; y0 в заданном направлении y y0 k x x0 , запишем уравнение касательной l к графику функции y f x в точке M0 x0 ; y0 :
y y0 y x0 x x0 .
Поскольку нормаль n перпендикулярна касательной l , то ее угловой
коэффициент kn
кривой y f x
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
. |
Поэтому уравнение нормали n к |
||
|
|
|
|
||||||||
|
kl |
|
|
y x0 |
|
|
|
|
|||
в точке |
M0 x0 ; y0 |
имеет вид: |
|||||||||
|
y y0 |
|
|
|
1 |
|
|
x x0 . |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
y x0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y x2 в точке M0 1;1 .
Решение. Поскольку x2 2x , то
y x0 2x x 1 2 1 2
и искомое уравнение касательной:
y 1 2 x 1 или y 1 2x 2 ,
откуда 2x y 1 0, а искомое уравнение нормали:
58
y 1 |
1 |
x 1 или 2y 2 x 1, |
|
2 |
|||
|
|
откуда
x 2y 3 0.
Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с некоторыми трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью правил и формул.
Запишем формулы производных элементарных функций:
|
|
c |
const ; |
|
|
n xn 1 , |
|
n R , n 0 ; |
|||||||||||||||||||
c 0 , |
|
xn |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex ; |
|
|
|
|
|||||
ax ax ln a , a |
0 , a 1; ex |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
log a x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, a 0 , a 1; ln x |
|
|
; |
|
|
||||||||||||
|
x ln a |
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sin x |
cos x ; cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
tg x |
|
|
|
|
|
|
; ctgx |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
cos2 |
x |
sin 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
arcsin x |
|
|
|
|
|
|
; arccos x |
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 x2 |
|
1 x2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
arctg x |
|
|
|
; |
arcctg x |
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||
1 x2 |
|
1 x2 |
|
|
|
а также формулы, выражающие правила дифференцирования:
|
|
|
|
|
|
|
c const , u u x ; |
||
c u c u , |
|||||||||
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
u x , v v x ; |
u v |
|
v , u |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v u |
v u v |
, u u x , v v x ; |
|||||||
|
|
|
|
u v u v |
|
|
|||
u |
|
|
u u x , v v x . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
v2 |
|
|||||
v |
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти производную функции y 2x 1 ex .
59
Решение. По правилу дифференцирования произведения двух
функций, находим:
y 2x 1 ex 2x 1 ex 2x 1 ex .
Далее, по правилу дифференцирования суммы двух функций и произведения числа на функцию и формул производных степеней и показательной функций, находим:
|
|
|
e |
x |
2x 1 e |
x |
|
0 |
e |
x |
2x 1 e |
x |
|
y 2x |
1 |
|
|
2 x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 0 ex 2x 1 ex 2ex 2x 1 ex 2x 3 ex .
Производная сложной функции
Пусть функция y f u определена на множестве D1 , а функция u g x определена на множестве D2 , причем для любой точки x D2 ,
соответствует значение u g x D1 . Тогда на множестве D2 определена функция y f g x , которая называется сложной функцией от x (или функцией от функции).
Переменную u g x называют промежуточным аргументом сложной функции y .
Пример. Функция y cos 3x является сложной функцией, так как
y cos u , u 3x .
Пусть y f u , u g x , тогда y f g x – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x . Тогда производная сложной функции y по независимой переменной x равна произведению производной функции y по промежуточной переменной u
на производную промежуточной переменной u по независимой
|
|
|
|
переменной x , то есть yx |
fu |
ux . |
Пример. Найти производную функции y e3 x .
60